前言：數學迷思

數學就是在講數字。

你可能會認為電鍋就是拿來煮飯的。雖然沒錯，但電鍋其實也可以有其他用途：像是做凝乳油、煮蔬菜、蒸雞。同樣的，數學除了和數字有關，也和許多其他事物有關。

數學是要找到正確的答案。

烹飪是用不同方法調理食材，做出美味的食物。有時作法比食材更重要，像是凝乳油的食譜只有一種食材，而整份食譜的關鍵其實就在作法。數學則是將想法集結起來，創造出更有趣新點子的方法。有時候，方法比「素材」更重要。

在數學中，不是對就是錯。

烹飪的時候可能會出錯──你的卡士達會凝結、舒芙蕾（soufflé）表面會塌掉、雞肉可能沒煮熟，讓吃到的人都食物中毒。就算你沒有導致別人食物中毒，還是會發現有些食物就是比其他食物來得好吃。而且有時煮菜煮一煮看似「出錯」的時候，竟也會意外創造出另一道美味的食譜。像是塌掉的巧克力舒芙蕾，吃起來是又濕軟又美味的黑巧克力。如果你在做餅乾的時候忘了將巧克力融化，做出來的成品就會變成巧克力豆餅乾。數學的道理也一樣。在學校，如果你寫10 + 4 = 2，老師會說你的答案錯了，但其實在某些情況下，這個答案是正確的。例如在討論時間的時候：十點再加四個小時，的確就是兩點。數學的世界比一般人說的還要來得奇怪和奧妙……

你是數學家？那你一定很聰明。

雖然我也喜歡讓別人以為我很聰明，但其實這個普遍的迷思只是反映了一般人都覺得數學很難。很多人都不知道，數學的目的其實是要將事情變得更簡單。而問題就在這裡：很多人會以為，如果要把事情變得更簡單，那代表這件事一定很難。數學本身很難，但數學能讓困難的事情變得簡單。所以如果數學本身就很難，那數學也可以讓數學變得簡單。

很多人都很害怕數學，或被數學難倒，或兩者皆是。還有些人在學校學數學的時候，一點興趣也沒有。這我可以理解，因為我以前就是因為學校的體育課，搞得一點都不喜歡運動，而且一直到現在還是如此。我在學校的時候，運動表現超級差，差到連我的老師都很驚訝這世上竟然有人的運動細胞可以差成這樣。但我現在的體能還算不錯，曾經參加過紐約馬拉松賽。至少我現在已經開始喜歡運動，不過還是很怕各種團體類型的運動。

研究數學到底要研究什麼？你又不可能發現新的數字。

我在本書將會回答這個問題。如果要在雞尾酒派對中快速回答這個問題，但答案聽起來不陳腔濫調、不占用別人太多時間，或嚇到身旁聚集的賓客，那真的很難。沒錯，想要在一個優雅的派對上嚇到其他人，其中一種方法就是大聊數學。

是的，你不可能發現新的數字。那我們在數學這個領域還可以發現什麼新鮮事？要解釋這個「新數學」代表什麼，首先我必須先澄清許多人對數學的誤解。其實，數學不僅僅是和數字有關的一門知識，我接下來要介紹的數學分支根本和數字無關。這個分支是範疇論（category theory），你也可以把它想成是研究數學的數學。這個理論跟關係、情境、過程、原理、結構、蛋糕、卡士達都有關。

沒錯，連跟卡士達都有關係。由於數學就是在做類推的一門學問，因此我會用各種例子做類推，來說明數學的運作。這些例子包括卡士達、蛋糕、派、糕點、甜甜圈、貝果、美乃滋、優格、千層麵和壽司。

不管你覺得數學是什麼，都先暫時拋開吧。接下來我要談的將會跟你想的很不一樣。

前言：數學迷思

數學就是在講數字。

你可能會認為電鍋就是拿來煮飯的。雖然沒錯，但電鍋其實也可以有其他用途：像是做凝乳油、煮蔬菜、蒸雞。同樣的，數學除了和數字有關，也和許多其他事物有關。

數學是要找到正確的答案。

烹飪是用不同方法調理食材，做出美味的食物。有時作法比食材更重要，像是凝乳油的食譜只有一種食材，而整份食譜的關鍵其實就在作法。數學則是將想法集結起來，創造出更有趣新點子的方法。有時候，方法比「素材」更重要。

在數學中，不是對就是錯。

烹飪的時候可能會出錯──你的卡士達會凝結、舒芙蕾（souffl...

精彩內容：從美味食譜，類推數學思考法

前言：

我會用各種例子做類推，來說明數學的運作。這些例子包括卡士達、蛋糕、派、糕點、甜甜圈、貝果、美乃滋、優格、千層麵和壽司……不管你覺得數學是什麼，都先暫時拋開吧。接下來我要談的將會跟你想的很不一樣。

01 數學是什麼？

數學就和食譜一樣，也有材料和做法。如果省略了作法，食譜就沒什麼用了。數學也一樣，我們不能只知道數學在研究什麼，還必須了解數學是怎麼解出來的，才能真正理解數學是什麼……在數學中，做法可能比材料還要重要。

02 抽象化

美乃滋和荷蘭醬其實是一樣的：製作的方法都一樣，只是拌入蛋黃的油脂種類不同。數學就是在尋找美乃滋和荷蘭醬這樣的相似之處……數學存在的目的也是要讓事情變得更簡單，祕訣就是忽略一些小細節，找到事物的相似之處。

03 原理

如果你了解流程背後的原理，你對整體情況的掌控能力就越好⋯⋯研究事物背後原理的一個目的就是了解事物成功運作的道理，如此一來，你才知道如果場景轉換，事物是否仍會成立。例如，轉換到不同的數學情境。

04 過程

數學和糕點有一個很棒的共通點，就是能利用簡單的素材創造出非常複雜的狀況⋯⋯數學不只是想要知道結果而已，而是一門講求了解過程的學問。在數學中，我們不只要得到正確的答案，我們也想了解得到答案的過程。

05 一般化

如果你曾經發明新的食譜，一開始很可能是先從別的食譜得到靈感，然後再根據自己的口味偏好去修正得來。數學中，你先從一個熟悉的狀況著手，然後稍微調整一下，讓這個狀況可以應用在更多情境中。我們將此稱為「一般化」。

06 內在動機 vs.外在動機

如果你心中先有想做的食譜，這就是外在動機；如果你是用手邊有的食材做出一道菜，那麼就是內在動機⋯⋯很多時候數學都是在為某個特定問題找出答案；但實際做數學研究時，往往先找到一個研究的方向，然後再看看可以發現些什麼。

07 公設化

哪些食材可以算是基本食材？哪些要從基本食材製作起？其實這跟你想要達到的目標有關⋯⋯數學的一個目標就是「從頭做起」。數學中的基本要素稱為公設，將事物簡化至基本要素的過程則稱為「公設化」。

08 數學是⋯⋯

我們現在知道為什麼大家會認為卡士達不好做了：因為食譜的步驟寫得不是很清楚⋯⋯為什麼數學很簡單，而生活很難？我所謂的「簡單」是：可以透過邏輯思考過程達成的事物。數學正是研究任何遵循邏輯、使用邏輯法則的學科。

09 什麼是範疇論？

你有試過用樂高積木塊拼出另一個樂高積木塊嗎？成品大概會是一個超級樂高積木塊。這時你組裝出來的東西不是樂高火車、樂高汽車或樂高房子，而是一個「樂高做的樂高」。範疇論是研究數學的數學，就像是樂高做的樂高一樣。

10 情境

食譜的內容設計會依據目標讀者不同變得很不一樣。對象是很有經驗的專業廚師、業餘者，還是新手？範疇論同樣也強調被研究事物的情境，而不單單研究事物本身的特性而已。

11 關係

食譜裡的「1杯」到底是多少？食譜強調的是食材間的關係，而不是各自絕對的量。這也是範疇論所關心的重點。範疇論不僅僅研究物件和它們各自的特性，還強調物件彼此的關係，這也是將物件套入情境的主要方式。

12 結構

用熱燙蛋白霜包裹冰淇淋的「火烤阿拉斯加」不僅是食物，還是一門科學⋯⋯範疇論很重要的一個面向，就是檢視一個數學概念的哪個部分和結構有關，仔細檢視每個要素在結構上扮演的角色（例如海綿蛋糕的造型不會影響口感）。

13 相同性

如果我們要把巧克力布朗尼改做成無糖或低脂版呢？⋯⋯範疇論的一個重要目標是創造出精確但略有些微差異的相同性概念。範疇論強調事物間的關係，讓我們能透過這些關係找到比相等更細緻的「相同性」概念。

14 泛性質

番茄是蔬菜還是水果？⋯⋯在範疇論中我們很強調情境和關係，也因此範疇論很適合拿來研究事物所扮演的角色。例如0就是唯一和其他數字相加也不會造成改變的數字。這種特別的關係便是範疇論要尋找的一種特性，我們稱之為泛性質。

15 範疇論是⋯⋯

範疇論的目的就是要讓數學變得更易懂。事實上，我們也可以把範疇論看作是闡明數學的通用做法──範疇論唯一的目的就是讓數學變得更簡單明瞭。這就是範疇論的作用，也是為它所量身打造的玻璃舞鞋。

精彩內容：從美味食譜，類推數學思考法

前言：

我會用各種例子做類推，來說明數學的運作。這些例子包括卡士達、蛋糕、派、糕點、甜甜圈、貝果、美乃滋、優格、千層麵和壽司……不管你覺得數學是什麼，都先暫時拋開吧。接下來我要談的將會跟你想的很不一樣。

01 數學是什麼？

數學就和食譜一樣，也有材料和做法。如果省略了作法，食譜就沒什麼用了。數學也一樣，我們不能只知道數學在研究什麼，還必須了解數學是怎麼解出來的，才能真正理解數學是什麼……在數學中，做法可能比材料還要重要。

02 抽象化

美乃滋和荷蘭醬其實是一樣的：...

前言
PartⅠ 數學是⋯⋯
01 數學是什麼？
02 抽象化
03 原理
04 過程
05 一般化
06 內在動機 vs.外在動機
07 公設化
08 數學是⋯⋯

PartⅡ 範疇論：研究數學的數學
09 什麼是範疇論？
10 情境
11 關係
12 結構
13 相同性
14 泛性質
15 範疇論是⋯⋯
致謝

前言
PartⅠ 數學是⋯⋯
01 數學是什麼？
02 抽象化
03 原理
04 過程
05 一般化
06 內在動機 vs.外在動機
07 公設化
08 數學是⋯⋯

PartⅡ 範疇論：研究數學的數學
09 什麼是範疇論？
10 情境
11 關係
12 結構
13 相同性
14 泛性質
15 範疇論是⋯⋯
致謝