二、有限混合模型(finite mixture model,fmm)簡介

有限混合模型(finite mixture model,fmm)為一種混合分布的機率模型，其假定原始實測資料(field observation)係自眾多但有限的未知分布而來，而FMM模型的EM演算法可自行分類(class/component)，以減少模型因存在不同異質體(heterogeneity subpopulations)而導致偏誤的估計結果。FMM模型假設在未知的K個體下，彼此間關係式為：

其中， 為混合機率密度(mixture density)的機率函數，經由k個加權比例 ，與其組內機率 所得的機率加權總合。此種機率函數因存在「有限個」加權機率，所以又稱有限混合機率分布(finite mixture)函數。其中， 為各組的加權比例(weight)，它被限制(約束)為正值且總和為1( )。公式中 通常包括：常態分布、Logit分布、Poisson分布…等。假設你指定樣本符合Gumbel分布，則其模型可化身為選擇模型(作者另一本書)，包括：多項logit回歸(mlogit指令、及asmprobit、fmlogit、bayes: mlogit、mprobit、clogit、asclogit、ologit、logit、xtologit、zip等指令)。其中，多項logit模型隱含可觀測的選擇行為，在不同群有不同的分布比例，若依據比例大小來分類，同群內視為同質(homegeneous)，而不同群之間為異質(heterogeneous)。由於選擇機率的發生係受回歸係數β所影響，此使得任一影響屬性會因屬於不同群，而在不同群產生不同的邊際影響係數。

在應用方面，行銷、運輸、社會科學等領域，迄今已有眾多研究以FMM模型或潛在類別模型「latent class model, LCM；類別資料+因素分析的合體)」來進行市場區隔(各子群體)的討論。在傳統LCM方法中，係同時模化群內與群間機率，而兩者事先之機率分布你可就資料特性檢自行指定：

(1)群內機率旨在說明同群內對產生或某服務服具有相同特質。例如價格與品牌，由於各族群對變數的感受不一、或某特定族群的比例過低，而導致回歸係數的不顯著或不穩定，乃至不具參考價值，此時修正法可考慮固定(constant)、捨棄、或跨群一併校估的處理方式。

(2)各群間機率旨在分析影響各次群組的因素，例如改採用FMM的潛在分類(當依變數)、社會經濟、群組層次人口統計等當解釋變數。至於分群數目的多寡可由模型適配指標「AIC、BIC」來決定(值愈小模型愈佳)。倘若BIC仍難以解釋此困境，則你可依據先驗知識/文獻探討來決定分群數目。

二、有限混合模型(finite mixture model,fmm)簡介

有限混合模型(finite mixture model,fmm)為一種混合分布的機率模型，其假定原始實測資料(field observation)係自眾多但有限的未知分布而來，而FMM模型的EM演算法可自行分類(class/component)，以減少模型因存在不同異質體(heterogeneity subpopulations)而導致偏誤的估計結果。FMM模型假設在未知的K個體下，彼此間關係式為：

其中， 為混合機率密度(mixture density)的機率函數，經由k個加權比例 ，與其組內機率 所得的機率加權總合。此種機率函數因存在「有限個」加權機率，所以又稱有...

混合模型(mixture model) 旨在密度估計、聚類資料(clustered data)、區別(discriminant) 分析，後來演變成「潛在類(unobserved classes) 迴歸預測」的工具。混合模型框架提供了一個方便且靈活的方法來模擬複雜的異質(heterogeneous) 資料庫( 如生物學研究中通常會出現的資料集)，例如：細胞計數數據和微陣列數據的分析、大型生物醫學資料集之減少維度、非對稱和非常態集群。有限混合模型(FMM) 早期應用在天文學(astronomy)、生物學(biology)、經濟學(economics)、工程學(engineering)、遺傳學(genetics)、市場行銷(marketing)、醫學(medicine)、精神病學(psychiatry)，現已流行於教育學、心理學、社會科學、人管、生產管理、經濟系、風險管理系、航運管理、財務金融、會計、公共衛生、工業工程、土木⋯⋯。

本書有限混合模型(FMM)，包括線性迴歸、次序迴歸、logistic 迴歸、多項logistic 迴歸、count 迴歸、零膨脹迴歸、參數型存活迴歸、2SLS 線性迴歸、order迴歸、Beta 迴歸等理論與實證研究。

本書第一章先介紹SAS、R 和SPSS 如何轉成STaTa，坊間常見的四十一種軟體及大型資料庫之檔案格式，都可轉至STaTa 來分析。STaTa 也是大數據分析很好的工具。FMM 旨在「先求潛在分類(unobserved classes)，再各類分別求其迴歸式」。STaTa 提供十七種有限混合模型(FMM)，僅logistic 迴歸的應用領域，就有下列十三種：

(1) 公共衛生領域：某傳染病的死亡因素。

(2) 生物醫學領域：癌症患者放射線治療對產生副作用、腎虛症與骨質疏鬆症關聯性、憂鬱症狀之影響因子等Logistic 分析⋯⋯。

(3) 工程類中的建物地震損害程度評估模型、絕緣礙子火花偵測系統。

(4) 商業領域：客戶關係管理、公司企業的存活；市場研究之消費者對特定商品購買時間、客戶忠誠度；或者商業上客戶資料管理、行銷、企業倒閉、員工離職。

(5) 財務金融領域：個人消費性貸款、法人金融預警分析等。

(6) 保險統計學及人口統計學中的投保與否。

(7) 社會學中的事件歷史分析，研究女性婚姻抉擇因素、高齡人口選擇未來養老居住方式⋯⋯。

(8) 法學研究：犯罪的因素等。

(9) 工業領域：可靠度分析、工業製成、產品cycle。

(10) 經濟研究：失業的因素，從就業時間到失業時間，到再就業時間等。

(11) 教育領域：老師離職、學生休退學/ 吸毒的因素等。

(12) 財管領域：財務危機與轉投資活動關係、貸款授信違約風險評估、銀行放款信用評等、應收帳款呆帳預測等。

(13) 行銷/ 企管類：旅客參與觀光旅遊線之消費型態、汽車保險續保、. 投資型保險商品購買預測等。

有鑑於STaTa 是地表最強統計軟體，故作者將撰寫一系列STaTa 的書籍，包括：

一、《STaTa 與高等統計分析的應用》一書，該書內容包括描述性統計、樣本數的評估、變異數分析、相關、迴歸建模及診斷、重複測量⋯⋯。

二、《STaTa 在結構方程模型及試題反應理論》一書，該書內容包括路徑分析、結構方程模型、測量工具的信效度分析、因素分析⋯⋯。

三、《STaTa 在生物醫學統計分析》一書，該書內容包括類別資料分析( 無母數統計)、logistic 迴歸、存活分析、流行病學、配對與非配對病例對照研究資料、盛行率、發生率、相對危險率比、勝算比(odds ratio) 的計算、篩檢工具與ROC 曲線、工具變數(2SLS)⋯⋯Cox 比例危險模型、Kaplan-Meier 存活模型、脆弱性之Cox 模型、參數存活分析有六種模型、加速失敗時間模型、panel-data 存活模型、多層次存活模型⋯⋯

四、《Meta 統計分析實作：使用Excel 與CMA 程式》一書，該書內容包括統合分析(meta-analysis)、勝算比(odds ratio)、風險比、四種有名效果量(ES) 公式之單位變換等。

五、《Panel-data 迴歸模型：STaTa 在廣義時間序列的應用》一書，該書內容包括多層次模型、GEE、工具變數(2SLS)、動態模型⋯⋯。

六、《STaTa 在總體經濟與財務金融分析的應用》一書，該書內容包括誤差異質性、動態模型、序列相關、時間序列分析、VAR、共整合等。

七、《多層次模型(HLM) 及重複測量：使用STaTaa》一書，該書內容包括線性多層次模型vs. 離散型多層次模型、計數型多層次模型、存活分析之多層次模型、非線性多層次模型⋯⋯。

八、《模糊多準評估法及統計》一書，該書內容包括AHP、ANP、TOPSIS、Fuzzy 理論、Fuzzy AHP 等理論與實作。

九、《邏輯斯迴歸及離散選擇模型：應用STaTa 統計》一書，該書內容包括邏輯斯迴歸 vs. 多元邏輯斯迴歸、配對資料的條件logistic 迴歸分析、multinomial logistic regression、特定方案Rank-ordered logistic 迴歸、零膨脹ordered probit regression迴歸、配對資料的條件邏輯斯迴歸、特定方案conditional logit model、離散選擇模型、多層次邏輯斯迴歸⋯⋯。

十、《有限混合模型(FMM)：STaTa 分析( 以EM algorithm 做潛在分類再迴歸分析)》一書，該書內容包括FMM：線性迴歸、FMM：次序迴歸、FMM：Logit 迴歸、FMM：多項Logit 迴歸、FMM：零膨脹迴歸、FMM：參數型存活迴歸等理論與實作。

十一、《多變量統計：應用STaTa 分析》一書，該書內容包括MANOVA、囷素分析、典型相關、區別分析、MDS⋯⋯。

此外，研究者如何選擇正確的統計方法，包括適當的估計與檢定方法、與統計概念等，都是實證研究中很重要的內涵，這也是本書撰寫的目的之一。本書內容結合「理論、方法、統計」，讓研究者能正確且精準使用STaTa，期望對產學界有拋磚引玉的效果。

最後，特別感謝全傑科技公司(http://www.softhome.com.tw) 提供STaTa 軟體，晚學才有機會撰寫STaTa 一系列的書籍，以嘉惠學習者。

張紹勳 敬上

混合模型(mixture model) 旨在密度估計、聚類資料(clustered data)、區別(discriminant) 分析，後來演變成「潛在類(unobserved classes) 迴歸預測」的工具。混合模型框架提供了一個方便且靈活的方法來模擬複雜的異質(heterogeneous) 資料庫( 如生物學研究中通常會出現的資料集)，例如：細胞計數數據和微陣列數據的分析、大型生物醫學資料集之減少維度、非對稱和非常態集群。有限混合模型(FMM) 早期應用在天文學(astronomy)、生物學(biology)、經濟學(economics)、工程學(engineering)、遺傳學(genetics)、市場行銷(marketing)、醫學(medic...

自序

Chapter01 地表最強的統計軟體STaTa
1-1 STaTa 如何讀入各種資料格式
1-1-1　SPSS 資料檔(*.sav) 轉成STaTa 格式
1-1-2　SAS 格式轉成STaTa
1-1-3　R 軟體之格式轉成STaTa
1-2 STaTa 是地表最強大的統計軟體
1-2-1　 有限混合模型(finite mixtures models, FMM): EM algorithm指令
1-2-2　單層次：連續vs. 類別依變數迴歸之種類
1-2-3　STaTa 多層次混合模型的迴歸種類
1-2-4　STaTa panel-data 迴歸的種類
1-2-5　STaTa 流行病(epidemiologists) 之選擇表對應的指令　
1-2-6　STaTa 存活分析的選擇表之對應指令
1-2-7　STaTa 縱貫面—時間序列之選擇表
1-2-8　依變數binary outcome 之STaTa 選擇表
1-3 評比敵對模型，適配指標有八種
Chapter02 有限混合模型(finite mixtures models, FMM配搭十七種指令)
2-1 有限混合模型(finite mixtures models, FMM)
2-1-1　高斯混合模型(Gaussian mixture model，簡稱GMM)
2-1-2　單一高斯機率密度函數的參數估測法
2-1-3　有限混合模型之對應指令
2-1-4a　有限混合模型之應用領域
2-1-4b　有限混合模型之研究議題
2-2 Gaussian 混合模型(GMM) 使用expectation maximization(EM) 技術
2-2-1　高斯混合模型與最大期望(EM) 演算法
2-2-2　EM algorithm 範例解說
2-3 高斯(Gaussian) 混合模型應用在圖形辨識
2-3-1　 K-Means 分類(classifier) 法，如何演變成EM algorithm 呢？
2-3-2　EM-GMM 建立的流程
2-3-3　 期望值最大演算法(expectation maximization, EM) 之解說
2-3-4　 EM algorithm 如何找出高斯混合模型(GMM) 潛在類別之
解說？
2-3-5　 混合模型、潛在類別(class) 和EM 演算法(mixture model,
latent class and EM algorithm)
2-4　最大概似(ML)vs. 期望值最大(EM) 演算法
2-4-1a　最大概似(ML) ≠概似比(LR)
2-4-1b　EM 與ML 的關係解說
2-4-2a　 EM 演算法是使訓練數據的對數概似函數最大化( 重點解說)
2-4-2b　聚類(clustering) EM algorithm：簡單版
2-4-2c　EM 演算法的推導(derivation of EM algorithm)
2-5 EM 演算法的工科論文
2-5-1　 EM 演算法的範例：圖形模式分類(pattern classification)
2-5-2　EM 演算法的論文：圖像分割(image segmentation)
Chapter03 高斯混合模型(fmm: regression 指令)、異質線性迴歸
3-1 機率密度函數(probability density function) 常見有十種
3-2 單一常態( 高斯) 分布之迴歸分析
3-3 單一分布之線性迴歸概念
3-3-1a　 單層次固定效果：最小平方法OLS 重點整理(regress 指令)
3-3-1b　 單層次固定效果：最小平方法(OLS) 七個假定的診斷
及補救法
3-3-2　最小平方法(OLS) vs. 概似法
3-3-3　單一分布之各類型迴歸
3-3-4　 Type I 誤差α、Type II 誤差β、檢定力：ROC 圖的切斷點
3-4 雙高斯混合模型之解說
3-4-1　EM 演算法如何求解高斯混合模型？
3-4-2　混合模型有十七種：STaTa 指令語法
3-4-3a　雙高斯混合模型：重點回顧
3-4-3b　 EM 演算法是使訓練數據的對數概似函數最大化：簡單版
3-4-3c　 雙高斯混合模型(fmm 2: regress指令)：
婦女全薪wagefull
3-4-4　 參高斯混合模型(fmm 3: regress 指令)：Ln(醫療花費)
Chapter04 有限混合模型：線性迴歸(fmm:開頭指令)
4-1 內生共變數之線性迴歸(2SLS)(ivregression) 指令
4-2 工具變數及兩階段最小平方法(2SLS) (ivregression) 指令
4-2-1　進行OLS 統計分析時應注意之事項
4-2-2　工具變數(IV) 之重點整理
4-2-3　 隨機解釋變數X(random regressor) 與工具變數Z(instrumental
variable)
4-2-4a　單一工具變數及單一內生變數：內生性檢定
4-2-4b　 兩階段最小平方法迴歸：Wu-Hausman 內生性檢定(estat
endogenous指令)
4-2-5　為何需要多個工具變數？
4-2-6　工具變數(instrumental variables) 在教育應用 .
4-2-7　兩階段迴歸vs. 最小平方法迴歸之練習題
4-3 橫斷面/panel：如何偵測需要工具變數呢？
4-3-1　為何「教育水準」需要多個工具變數Z 呢？
4-3-2　 橫斷面Hausman 檢定：OLS vs. 2SLS 誰優？(hausman 指令)
4-3-3　 Panel-data Hausman-Taylor 法：需工具變數嗎？(xthtaylor)
4-4 內生共變數之混合模型(2SLS)(fmm : ivregression) 指令)
4-4-1　2SLS 混合模型
4-4-2　 內生共變數之線性迴歸混合模型(2SLS)
(fmm: ivregression) 指令：房租之影響因素

Chapter05 有限混合模型：logistic 迴歸(fmm:開頭指令)
5-1 logistic 迴歸之概念
5-1-1　logistic 迴歸假定、迴歸式解說
5-1-2　STaTa 之單一binary regression 選擇表之對應指令
5-2 單一邏輯斯迴歸的入門
5-2-1a 單模型之logistic 迴歸分析：年齡與罹患冠心病(CHD)關係
5-2-1b　單一logistic 迴歸之再練習：年齡與罹患冠心病(CHD)關係
5-3 對數常態(log-normal) 分布、對數logistic (log-log) 分布
5-3-1　對數常態(log-normal) 分布：偏態分布
5-3-2　對數邏輯斯分布(log-logistic)：偏態分布
5-4 雙邏輯斯混合模型(fmm 2 : logit指令)：電子支付之因素
5-5 雙機率混合模型(fmm 2: probit指令)：電子支付之因素
5-5-1　線性機率迴歸模型(probit regression) vs. logistic 模型
5-5-2　雙機率迴歸分析：電子支付影響因素
5-6 雙complementary log-logistic 模型(fmm 2: cloglog 指令)：
電子支付之因素
5-6-1　 對數- 邏輯斯模型(complementary log-logistic model)
5-6-2　 雙「對數- 邏輯斯」模型(complementary log-log model)：
電子支付
Chapter06 有限混合模型：多項Logit 迴歸(「fmm:」開頭mlogit 等指令)
6-1 離散選擇模型(asmprobit、mlogit、fmlogit、bayes: mlogit、mprobit、
clogit、asclogit、ologit、logit、xtologit、zip 等指令)
6-1-1　離散選擇模型(DCM) 概念
6-1-2　離散選擇模型(DCM) 之數學式：以住宅選擇為例
6-2 單分布之多項邏輯斯模型(multinominal logit model, MNL)
6-3 Multinomial logit 迴歸分析：職業選擇種類(mlogit 指令)
6-4 多項邏輯斯迴歸分析：乳房攝影(mammo-graph) 選擇的因素
(mlogit 指令)
6-5 多項機率迴歸分析(multinomial probit regression)：三種保險的選擇
(mprobit 指令)
6-6 多項式邏輯斯迴歸　
6-6-1　 個人化的行為預測和市場區隔的行為預測何者較有效度?
6-6-2　 品牌選擇行為模型：隨機效用模型vs. 混合分群之
多項式邏輯斯迴歸模型
6-7 雙多項Logit 迴歸(fmm: mlogit指令)：汽車品牌選擇
6-7-1　 雙多項邏輯斯混合模型(fmm: mlogit指令)：
三種汽車品牌選擇
Chapter07 有限混合模型：Ordinal outcomes 迴歸(fmm:開頭ologit、oprobit 指令)
7-1 離散選擇模型(asmprobit、mlogit、fmlogit、bayes: mlogit、mprobit、
clogit、asclogit、ologit、logit、xtologit、zip 等指令)
7-2 Ordered Logit 及Ordered Probit 模型之概念
7-3 Ordered Logit 及Ordered Probit 迴歸分析：影響親子親密關係的
因素(reg、listcoef、prgen、ologit、logit)
7-4 Ordered Logit 迴歸分析：Copenhagen 的住房條件(ologit、lrtest、
graph bar、oprobit 指令)
7-5 雙Ordered logistic 混合迴歸(fmm: ologit 指令)：健康等級之因素
7-6 雙Ordered probit 混合模型(fmm : oprobit 指令)：健康等級之因素
7-6-1　Ordered probit regression 混合模型之指令 .
7-6-2　Ordered probit regression 混合模型：健康等級之因素
Chapter
08 有限混合模型：計次(count) 迴歸(fmm:開頭指令)
8-1 單分布Count 依變數：零膨脹Poisson 迴歸 vs. negative binomial迴歸
8-1-1　Poisson 分布
8-1-2　負二項(negative binomial) 分布
8-1-3　零膨脹(Zero-inflated)Poisson 分布
8-2 單分布Count 依變數：零膨脹Poisson 迴歸 vs. 負二項迴歸(zip、nbreg、prgen 指令)
8-3 單Zero-inflated ordered probit regression 練習：釣魚(zip 指令)
8-4 單零膨脹Ordered probit 迴歸分析：抽菸嚴重度(zioprobit 指令)
8-5 雙負二項混合模型(fmm: nbreg 指令)：精神科患者隨訪次數
8-6 雙Poisson 混合模型分析(fmm: poisson 指令)：醫生問診次數
8-7 雙零膨脹Poisson 之混合模型(fmm :pointmass指令)：釣魚數量
09 設限(censored) 混合模型、截斷(truncated)混合模型(fmm: tobit、fmm: tpoisson、fmm:intreg 指令)
9-1 單區間設限(interval-censoring) 迴歸(tobit 指令)：學習成就的因素
9-2 雙tobit regression 模型(fmm: tobit 指令)：大學生GPA 分數
9-3 雙區間(interval) 迴歸模型(fmm: intreg 指令)：婦女工資類別的上下限
9-4 單截斷(truncated) 迴歸分析(truncreg 指令)：學習成就的因素
9-5 雙truncated 線性迴歸模型(fmm: truncreg 指令)：妻子工作時數
9-6 雙Truncated Poisson 迴歸(fmm: tpoisson 指令)：買步鞋數量
Chapter10 Cox 存活分析vs. 雙存活迴歸模型(fmm:streg 指令)
10-1 Cox 存活分析：臨床研究最重要統計法
10-2 存活分析(survival analysis) 介紹
10-2-1　存活分析之定義
10-2-2　為何存活分析是臨床研究最重要的統計法？
10-2-3　存活分析之三種研究目標
10-2-4　存活分析之研究議題
10-2-5　設限資料(censored data)
10-2-6　存活時間T 之機率函數
10-2-7　Cox 存活分析vs. Logit 模型/Probit 模型的差異
10-3 存活分析範例：除草有助幼苗存活率嗎？
10-3-1　生命表(life table)
10-3-2　 存活分析範例[ 依序(estat phtest、sts graph、ltable 或sts list、stci、stmh、stcox 指令)]
10-4 Cox 比例危險模型(proportional hazards model)(stcox 指令)
10-4-1　 f(t) 機率密度函數、S(t) 存活函數、h(t) 危險函數、
H(t) 累積危險函數
10-4-2　Cox 比例危險模型之迴歸式解說
10-4-3　危險函數的估計(hazard function)
10-4-4　Cox 比例危險模型之適配度檢定
10-4-5　Cox 模型之相對風險(relative risk, RR)
10-5 Logit 模型、Cox 迴歸、Probit 模型的概念比較
10-6 存活分析之有限混合模型(fmm: streg 指令)：手術傷口治癒模型
Chapter11 有限混合模型：Beta 迴歸(fmm: betareg等指令)
11-1 Beta 分布(Beta distribution)
11-1-1　Beta 分布之概念
11-1-2　Beta 分布的特性
11-2 雙Beta 迴歸分析(fmm: betareg 指令)：就讀學校合格率之因素
Chapter12 有限混合模型：GLM 迴歸(fmm: glm等指令)
12-1 廣義線型模型(generalized linear regression models)
12-1-1　廣義線性迴歸之概念
12-1-2　指數分布族、廣義線性模型之建模
12-2 參對數常態混合模型[fmm 3: regress、fmm 3：glm, family(lognormal)
指令]：郵票厚度為例
參考文獻

自序

Chapter01 地表最強的統計軟體STaTa
1-1 STaTa 如何讀入各種資料格式
1-1-1　SPSS 資料檔(*.sav) 轉成STaTa 格式
1-1-2　SAS 格式轉成STaTa
1-1-3　R 軟體之格式轉成STaTa
1-2 STaTa 是地表最強大的統計軟體
1-2-1　 有限混合模型(finite mixtures models, FMM): EM algorithm指令
1-2-2　單層次：連續vs. 類別依變數迴歸之種類
1-2-3　STaTa 多層次混合模型的迴歸種類
1-2-4　STaTa panel-data 迴歸的種類
1-2-5　STaTa 流行病(epidemiologists) 之選擇表對應的指令　
1-2-6　STaTa 存活分析的選擇表之對應指...