多變數函數，及它們的偏導數

8.5　偏導數

你應該還記得，函數f(x)的導數就代表y = f(x)圖形的切線（如圖8.12所示）。

現在我們要把這項觀念，推廣到具有兩個變數的函數f(x, y)。 怎麼辦呢？讓我們假設，你現在正站在聖母峰的山腰上，身上是昂貴得出奇的登山裝跟裝備，有著閃亮耀眼的時髦花樣。當時你在專櫃店試穿這套服裝時，覺得自己酷得不得了，然而現在，你感覺不到酷，而是寒冷徹骨，因為冰冷的寒風從外套的下緣縫中鑽了進來，原來是你忘了把其中一條高科技束帶紮緊。

你被綁在一根繩索的一端，繩索懸掛在你頭頂上方那個卡在岩縫裡的帶環鋼釘上，而繩索的另一端，則掌握在芬蘭籍隊長的手中。他這時正拚命向你打手勢，並且用你壓根兒聽不懂的芬蘭話向你猛喊；似乎從這次探險一開始，你對他的唯一印象，就是見他拚命向你打手勢，並且用你聽不懂的芬蘭話向你猛喊。這時候風愈刮愈大，氣溫也似乎在疾速下降，你不由得再一次自問，明明可以無憂無慮的躺在游泳池面上，啜飲著熱帶果汁，幹嘛要發神經參加什麼高山探險隊？

你猜測，也許這位芬蘭隊長看時候不早，應該轉回基地營區，喝杯熱可可加上軟棉糖，以禦寒氣，所以你自以為是的向東跨出一小步。哪裡知道你這一腳踩了個空，因為在你所踏出的方向，根本沒有落腳處：下一個落腳處是在負z方向的200英尺外！幸好你頭頂上的鋼釘沒有鬆脫，你才沒摔下去，結果整個人懸在半空中。這時你的芬蘭隊長喊聲更急促響亮，同時死命的拽住繩索，額頭上的青筋都冒了出來。 當然，剛才這幕驚險鏡頭之所以發生，問題出在山峰的東側坡度太陡。你定了定神，然後拿出吃奶的力氣，好不容易才收回了你那隻差一點造成千古恨的腳。驚魂甫定，仔細向下看清楚之後，你這才發現芬蘭隊長的手勢，原來是在叫你向正北方移動前進，因為那一側的坡度沒那麼大，一步跨出去，只不過向負z軸方向踏出2英尺而已。

這讓你思想起大學時代修過的多變數微積分。你記起了，當你在三維空間曲面上的一點，就跟你現在站在山腰上的情形一樣，你周圍有不只一個斜率。事實上，不管你面朝任何一個方向，都可能有一個不同的斜率，也就是在該方向上的切線的斜率。 假設這座山的表面，可由函數z = f(x, y)的圖形來表示，其中的正x軸指向正東方，而正y軸指向正北方（如圖8.13）。

─摘自《微積分之倚天寶劍》第8章

多變數函數，及它們的偏導數

8.5　偏導數

你應該還記得，函數f(x)的導數就代表y = f(x)圖形的切線（如圖8.12所示）。

現在我們要把這項觀念，推廣到具有兩個變數的函數f(x, y)。 怎麼辦呢？讓我們假設，你現在正站在聖母峰的山腰上，身上是昂貴得出奇的登山裝跟裝備，有著閃亮耀眼的時髦花樣。當時你在專櫃店試穿這套服裝時，覺得自己酷得不得了，然而現在，你感覺不到酷，而是寒冷徹骨，因為冰冷的寒風從外套的下緣縫中鑽了進來，原來是你忘了把其中一條高科技束帶紮緊。

你被綁在一根繩索的一端，繩索懸掛在你頭頂上方那個卡在岩縫裡...

《微積分之屠龍寶刀》
第1章　導言
第2章　你的任課老師到底是哪號人物？
2.1 選擇你的任課老師
2.2 對任課老師該有啥要求
2.3 如何與任課老師相處
第3章　輕鬆拿高分的十大通則
第4章　問題的好壞
4.1 幹嘛要問問題？
4.2 問題舉例
4.3 不該問的問題
第5章　準備好了嗎？來點先修課程
5.1 你學到了什麼
5.2 在上微積分的第一天，你應該知道什麼
5.3 電腦與計算機：咱們的二位元朋友
第6章　如何應付考試
6.1 會考些什麼
6.2 如何K書
6.3 如何不為考試而K書
6.4 應考須知
第7章　直線、圓、圓錐曲線幫
7.1 笛卡兒平面
7.2 一般繪圖妙方
7.3 直線
7.4 圓
7.5 橢圓、拋物線、雙曲線
第8章　極限：你可少不了它們
8.1 基本觀念
8.2 取極限的一般程序
8.3 單邊極限
8.4 怪異函數的極限
8.5 計算機與極限
第9章　連續性，或你為何不該在不連續的坡道上滑雪
9.1 觀念
9.2 連續性的三個條件
第10章　何謂導數？窮則變，變則通
第11章　導數的極限定義：求導數的麻煩方法
11.1 定義導數
11.2 其他形式的導數極限定義
第12章　求導數的簡單方法
12.1 微分法之基本法則
12.2 冪法則
12.3 積法則
12.4 商法則
12.5 三角函數的導數
12.6 二階導數、三階導數、更高階的導數
第13章　速度：油門踩到底
13.1 速度即導數
13.2 車子的位置與速度
13.3 自由落體的速度
第14章　鏈鎖律：S&M的遊戲？
第15章　畫函數圖形：如何當個專家
15.1 畫函數圖形
15.2 能夠絆倒你的困難圖形
15.3 二階導數檢測
15.4 凹性
第16章　極大值與極小值：實用部分
16.1 閉區間上的最大值及最小值
16.2 應用問題
第17章　隱微分法：咱們就拐彎抹角吧
第18章　相關變率：你變、我跟著變
第19章　求近似值：評估你的揚名立萬之路
第20章　中間值定理與均值定理
20.1 中間值定理：麵包中間沒夾東西就不叫三明治
20.2 均值定理：陡就是陡
第21章　積分：倒過來做就成了
21.1 不定積分
21.2 積分法：簡單的方法
21.3 代換法
21.4 眼珠技術
21.5 現成的積分表
21.6 利用電腦及計算機
第22章　定積分
22.1 如何求定積分
22.2 面積
22.3 微積分基本定理
22.4 跟定積分有關的一些基本法則
22.5 數值逼近法
22.6 黎曼和──附帶一些關鍵細節
第23章　模型：從玩具飛機到跑道
23.1 現實問題
第24章　指數與對數：「e」把戲總複習
24.1 指數
24.2 對數
第25章　把微積分這玩意兒用到指數與對數上
25.1 微分ex跟ex的朋友們
25.2 積分ex跟ex的朋友們
25.3 微分自然對數
25.4 當底為其他數時
25.5 積分與自然對數
第26章　對數微分法：把困難變容易
第27章　指數增長與指數衰退：壞傢伙的興亡
第28章　花花綠綠的積分技巧
28.1 分部積分法
28.2 三角代換法
28.3 部分分式積分法
第29章　二十個最常犯的錯誤
第30章　期末考會考些啥？
詞彙表：數學名詞速成
英中對照索引
公式祕笈
《微積分之倚天寶劍》
第1章　導言
第2章　不定式與瑕積分
2.1　不定式
2.2　瑕積分
第3章　極座標
3.1　何謂極座標？
3.2　極座標中的面積
第4章　無窮級數
4.1　序列
4.2　序列的極限
4.3　級數：基本觀念
4.4　個性外向的幾何級數
4.5　第N項檢驗
4.6　更多朋友：積分檢驗與P級數
4.7　比較檢驗
4.8　交錯級數與絕對收斂
4.9　更多檢驗法
4.10　冪級數
4.11　什麼時候該用什麼檢驗？
4.12　泰勒級數
4.13　帶有餘項的泰勒公式
4.14　一些著名的泰勒級數
第5章　向量：從歐幾里得，到邱比特
5.1　平面上的向量
5.2　太空：最後的疆界（空間：期末考的邊遠地帶）
5.3　空間中的向量
5.4　點積（內積）
5.5　叉積（外積；向量積）
5.6　空間中的直線
5.7　空間中的平面
第6章　空間中的參數曲線：來坐坐雲霄飛車
6.1　參數曲線
6.2　曲率
6.3　速度與加速度
第7章　曲面與作圖
7.1　平面上的曲線：回顧一下
7.2　三維空間方程式的圖形
7.3　旋轉曲面
7.4　二次曲面（帶-oid字尾的曲面）
第8章　多變數函數，及它們的偏導數
8.1　多變數函數
8.2　等高線8.3　極限
8.4　連續性
8.5　偏導數
8.6　最大、最小值問題
8.7　鏈鎖律
8.8　梯度與方向導數
8.9　拉格朗日乘數
8.10　二階導數檢驗
第9章　多重積分
9.1　二重積分與極限：技術方面的東西
9.2　求二重積分
9.3　二重積分與圖形下方的體積
9.4　極座標中的二重積分
9.5　三重積分
9.6　柱面座標與球面座標
9.7　質量、質心、矩
9.8　座標變換
第10章　向量場與格林－斯托克斯幫
10.1　向量場
10.2　認識散度跟旋度
10.3　線積分陣容
10.4　向量場的線積分
10.5　保守向量場
10.6　格林定理
10.7　散度定理：求散度的積分
10.8　面積分
10.9　火上加油！
第11章　期末考會考些什麼？
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第1章　導言
第2章　你的任課老師到底是哪號人物？
2.1 選擇你的任課老師
2.2 對任課老師該有啥要求
2.3 如何與任課老師相處
第3章　輕鬆拿高分的十大通則
第4章　問題的好壞
4.1 幹嘛要問問題？
4.2 問題舉例
4.3 不該問的問題
第5章　準備好了嗎？來點先修課程
5.1 你學到了什麼
5.2 在上微積分的第一天，你應該知道什麼
5.3 電腦與計算機：咱們的二位元朋友
第6章　如何應付考試
6.1 會考些什麼
6.2 如何K書
6.3 如何不為考試而K書
6.4 應考須知
第7章　直線、圓、圓錐曲線幫
7.1 笛卡兒平面
7.2 一般繪圖...