第2章 什麼是數學力？

◎算術與數學是兩碼子事

請問聽見數學力時，你會聯想到什麼呢？我想應該有很多人會朝比較籠統的方向去聯想，比如說：

．能夠快速且正確計算的能力

．能夠快速解答應用題的能力

．能夠快速解答數學謎題的能力

不過我認為這些能力跟數學力都沒有關係。

每次跟幾個朋友去吃飯，要平均分攤飯錢時，只要有人問我：

「永野，一個人多少錢？」

我都會一陣心虛。朋友會這樣問我，當然是因為他們覺得我是數學老師，所以應該很會心算，但其實我算錯的機率相當高。是的，我必須厚顏無恥地自首，我一點也不擅長心算。……更正確來說，我連算術本身都不太行。假如現在正在閱讀這本書的你是我的朋友的話，請你以後別再叫我心算了。每次算錯時，你們那冷冰冰的眼神實在很傷人（淚）。

雖然聽起來很像在找藉口，不過數學能力其實並不等於計算能力。我知道在極為優秀的數學家或科學家之中，也有不擅長計算的人。甚至在我印象中，這樣的人反而不在少數。當然我並不打算對我低落的計算能力置之不理，畢竟身為一名數學老師，理當持續鍛鍊計算能力以減少授課時計算錯誤的情形。不過我認為計算能力並不是必備的能力，尤其對大人來說更是如此。因為現在連百元商店都買得到計算機了，而且只要有智慧型手機的語音辨識功能，就算光靠一張嘴也能知道計算的結果。

那麼「快速解答應用題的能力」又如何呢？其實這也不足以構成一個人是否具備數學力的證據。因為只要多接觸各種題型，懂得將問題分門別類，然後套用既定的解法，就能夠快速解答應用題……啊，我這樣說好像有點太武斷了。對不起啊。但數學本來就不是一門講求「速度」的學問。比如說著名的費馬定理就是經過約三百五十年的漫長光陰後，才終於被證明出來。期間應該有無數的數學家終其一生都在嘗試證明此原理吧。那些無名的數學天才之所以能稱得上是數學家，並不是因為他們能夠迅速找出答案，而是因為他們擁有不屈不撓的精神，不超越前人絕不放棄。如果說費馬定理這個例子太極端的話，那麼像是一九八八年東大入學考試中出現的傳說中的難題（與正四面體的正射影有關的問題），當時各補習班以最快速度公布的「最佳解答」也都大相逕庭，類似這樣的題目也幾乎不可能「快速解答」。

另一方面，將已知的題型分門別類並加以解題，是電腦最擅長的工作之一，因此擁有這項能力的人在出了社會以後，並不會像學生時期一定那麼受到肯定。我們人類所需具備的能力，是針對那些尚未建立演算法（處理方式）的未知問題提出解答，即使無法解答也要找出解決的方向。這才是真正的數學力。

在現在這個資訊化社會，任何事情都講求速度。人們很容易認為能夠立刻解答問題的人就是「聰明」的人。不過事實真是如此嗎？如果把世界上存在的各種可能性都納入考量的話，應該有些問題是無法立即解答的才對。

實際站上教學第一線以後，不曉得是不是因為孩子們在答題時向來被要求速度，我發現大家愈來愈不習慣思考了。這是一件非常嚴重的事。我認為比起快速作答，深思熟慮應該值得獲得更多的鼓勵。

我有一位朋友T君，當年以「筑駒（筑波大學附屬駒場高等學校）有史以來最頂尖的天才」之稱進入東大。我和他相識於以「東大歌劇團」為名的歌劇社團，一年級的時候共同擔任公關的職務。這位T君在我和他共同執行社團業務的過程中，真的非常地「深思熟慮」。比如說，當我們要寄送明信片至各大學，通知演奏會的消息時，我只會直接提議：

「反正只要有可能會來的，我們就全部都寄不就好了嗎？」

但他卻會針對每一所學校，仔細思考每張明信片的郵資是否真的能發揮相應的效果：

「這所大學雖然有名為歌劇團的團體，但實際上卻是在玩音樂劇的……」

因此，我原本以為可以在五分鐘內解決的事情，最後卻花了將近一個小時才完成。不過最後的結果當然是取得了相當不錯的邊際效益。而且從第二次開始，因為我們已經將資料統整於當時尚未普及的試算表軟體內，所以兩人甚至不需要碰面就可以迅速完成作業。妄下定論與數學力恰好位於兩個極端。必要時花點時間耐心思考，是以數學邏輯思考時最重要的觀念。

接下來，我們繼續看第三點「能夠快速解答數學謎題的能力」吧。全日本最具代表性的數學教師之一的安田亨老師，在《東大數學多拿一分的方法：理組篇》一書中提到：

「頭腦能夠放入數學性事實的容量大小，是『數學好不好』的要因之一。優秀的人腦中都有抽屜，可以整齊地排列順序，即使情況稍微複雜也不至於造成混亂。數學性的一步，步伐是很大的。但不擅長數學的人，容量通常很小。因此習慣一味地把眼前的事物化為公式，無視於整體的面貌，只計算眼前的問題。」

這和我在教授數學時實際感受到的情況幾乎一模一樣。

一般來說，擅長數學的人都具有一種優秀的能力，稱作「邏輯性的勇氣」。即使站在看不見終點的入口，也有勇氣朝著自己認為正確的方向前進。反之，不擅長數學的人只要站在看不見終點的入口，很容易就懦弱地認為「我恐怕做不到」而選擇放棄。

舉例來說，擅長數學的人即使在操作一台無法靠直覺理解的機器時，也會靠著說明書徹底瞭解其功能；相對地，不擅長數學的人大多下意識地排斥沒有說明書就無法理解的機器，寧可選擇像是iPhone或iPad等產品。當然，擁有優秀的直覺能力是一件很棒的事。能夠迅速掌握別人需要花時間才能理解的事情，是一項不得了的才能。而且iPhone和iPad能夠廣受全世界歡迎最不可忽略的要因之一，也就是來自它在操作上的直覺性。不過這卻與數學所追求的目標完全相反。

能夠以驚人的速度解開智力測驗或數獨的人，不管任誰看了都會覺得「頭腦真好」吧。事實上，那些人應該具備了靈活的想像力和直覺力（我就沒有這種天賦……）。而許多人似即會因此以為

「擁有直覺的人就是擅長數學的人，沒有直覺的人就是不擅長數學的人。」

但這觀念其實大錯特錯。來自上天啟示般的突發奇想、連自己都不知道為什麼會有這種念頭的「直覺」，和數學力一點關係也沒有。如果這種東西就叫做數學力的話，那我只能說幾乎所有人都沒有必要學數學了。至少，要在大學的入學考試中合格，或是在工作或生活上需要靠數學式思考來解決問題時，並不需要什麼特別的「直覺」，所以各位可以放心了.。我們真正需要的並不是藉由「直覺」比別人早一步找出解答的能力，而是無論碰到多麼困難的問題，都能夠一步一步以邏輯性方式邁向正確解答的能力。

「滴水穿石靠的不是蠻力，而是持之以恆。」

這是古羅馬哲學家盧克萊修（Titus Lucretius Carus）的名言。我認為這種連石頭都能貫穿、持續不斷的集中力，才是真正的數學力。

能夠快速計算、能夠按照題型正確解答應用題，和擅長解答數學謎題（圖形問題），都是「算術」當中相當重要的能力。沒錯，本節開頭提到的三種能力並非數學力，而是「算術力」。從小學升上國中時，雖然面對的同樣是數學算式，但科目名稱卻從「算術」改成「數學」（編按：此指日本的情形。），原因並不是為了讓你體驗到長大的滋味（笑）。算術和數學是兩種貌同實異的學問。說得極端一點，算術是一門磨練你如何「迅速且正確解答已知問題能力」的科目，數學則是一門「培養你解答未知問題能力」的科目。

算術力與我們的生活息息相關。舉凡買東西時可以立刻算出該找多少零錢、理解股價指數的意義，或是光靠不動產的廣告就能對房屋的大小一目瞭然等，這些絕對都是生活上不可或缺的能力。不過數學所追求的並不是要我們能夠迅速推導出這種早已經有固定解答的問題。

◎任何人都具備的數學力

每次用問卷統計小學生最喜歡的科目，數學和體育總是榜上有名。然而對象如果換成高中生的話，喜歡數學的人的比例絕對不高。反而永遠穩坐最討厭科目的第一名（淚）。說起來實在可惜，但各位是不是也跟我一樣，切身感受到世界上真的有很多討厭數學的人呢？

明明小學時數學這麼受歡迎，為什麼升上高中就反倒成了一個如此討人厭的科目了呢？

用典型解法破解典型問題的小學數學，就像依照攻略本的指示玩遊戲一樣。讀了電玩遊戲攻略本上寫的「往右邊走有寶物」，按照指示就能獲得寶物，當下的喜悅確實是可以理解的事。再者，遊戲玩得好並不會獲得大人的讚賞，而只要按照課堂上學到的方式在數學考試中取得高分，就能獲得父母或老師的嘉獎。所以這當然是一件很開心的事。

然而升上國中後，狀況可就不一樣了。即使像小學一樣，用同樣的原則背誦解法，一旦真正上了考場，分數也始終不見起色。因為國中數學有太多題目是無法光靠死記就能解決的，而且這種現象會隨著年級的增加愈來愈明顯。其實最後會對數學感到厭倦的人，一開始也曾經做過一番努力。練習題做了兩遍，成績還是未見起色的話，下一次就做三遍吧。做了三遍還是不行的話，下次就做四遍……可是成績遲遲無法進步，努力沒有得到回報。另一方面，不管是英文還是歷史等科目，通常只要努力就會獲得一定的成果。碰到這種情況，任誰都會心想：

「我就是沒有數學的天分吧……」

到最後會對數學感到厭倦，似乎也是無可奈何的事。

過去二十年來，我累積了許多一對一指導數學的經驗。對象大多是無法經由大班授課提高成績的學生。簡而言之，就是不擅長數學的人。就這一層意義上而言，我過去的指導經驗可說是每天在與不擅長數學的學生格鬥（？）。而這樣的我必須在此肯定地說一句：數學力是任何人都擁有的能力。數學不好的人，並不是因為沒有數學天分，而是因為用了學習算術的方式來學習數學。事實上，在我的補習班裡，很多一開始在班上吊車尾的學生，後來都在短時間內進步到班上的前幾名（抱歉，我無意在此幫我的補習班做宣傳）

為什麼會發生這種事呢？因為我的指導很厲害嗎？不不不，絕對沒有這種事。我所做的純粹只有讓學生停止背誦解法，嘗試理解各單元的內容、公式和解法的意思，然後練習如何用稍微有別於以往的視角俯瞰數學而已。如此一來，學生（尤其是國文能力優秀的學生）就會發現，解數學問題並不需要特別的天分，只要使用自己原本就具備的能力即可。

我會在第一章用閱讀測驗示範如何以「數學式」的方式解題，就是為了讓各位讀者注意到你本身其實早已具備了數學力。

◎提升數學力的祕訣就是「停止背誦」

我因為工作的關係，時常被人問到這樣的問題：

「如何才能把數學學好呢？」

這種時候我都會回答：

「不要死記任何東西。」

下一秒鐘，對話一定會進入一段很奇妙的空白（笑）。畢竟對那些不擅長數學的學生來說，幾乎所有人都認為學習數學就是死記公式和解法，所以這也是無可厚非的事。但從我過去的指導經驗中，我很確定學習數學的訣竅，絕對是擺脫死記的學習模式。愈是嘗試背誦公式或解法，愈是無法學好數學。然後就會覺得數學很無聊，最後開始討厭數學。

為什麼會這樣呢？

正如前文所述，我們學習數學的目的在於培養邏輯力。數學當中出現的函數、方程式、向量和數列等，都只是用來培養邏輯力的工具而已。而邏輯力的鍛鍊只能靠我們用自己的頭腦思考。對於似懂非懂的學問，如果從頭到尾只打算死記的話，等於是在拒絕思考。我想不用說也知道，這絕對是養成邏輯力的一大阻礙。

學好數學唯一該具備的態度就是思考「為什麼？」，這是學習數學的起點。

舉個例子好了。吉卜力工作室的電影《兒時的點點滴滴》當中，有一個很有名的片段，是小學五年級的主角妙子，在向高中生的姊姊請教分數的除法。

妙子：「什麼叫做「用分數除分數」啊？」

姊姊：「什麼？」

妙子：「三分之二個蘋果除以四分之一，意思是不是就是把三分之二個蘋果分給四個人，每個人平均拿到的蘋果呢？」

姊姊：「嗯？嗯..」

妙子：「所以（一邊畫蘋果一邊想）一、二、三、四、五、六，每個人有六分之一個。」

姊姊：「不對不對！妳那是乘法！」

妙子：「為什麼？如果是乘法的話，為什麼數字會變少？」

姊姊：「把三分之二個蘋果除以四分之一的意思是..（詞窮）總之！妳一直在講蘋果，害我搞不清楚了啦！乘法就直接乘！除法就是把後面分數分子分母顛倒過來的乘法，這樣記就可以了！」

（電影《兒時的點點滴滴》原作：岡本螢、刀根夕子；腳本、導演：高畑勳）

這段場景簡直是負面數學教育的縮影，雖然只有短短幾句對話，卻讓我印象深刻。看過這部電影的人，想到自己也跟妙子的姊姊一樣，無法清楚說明分數的除法，恐怕也會面露苦笑吧。不過在國小數學中，並不需要解釋為什麼「分數的除法要顛倒分子分母」。正如前文所述，國小數學的學習目標是為了在日常生活中迅速計算出正確的答案，因此只要記住算法，然後按照規則計算即可。

但是，如果要以數學式思考的角度檢視分數的計算，就有必要清楚說明「為什麼按照那種方式計算，即可得到答案？」因為比起答案本身，學數學時更重要的是解答的過程。

就這層意義而言，妙子可說是充分具備學習數學的素養。

機會難得，我想在此說明「分數的除法要顛倒分子分母」的理由。不過對這部分沒興趣的朋友，接下來這幾頁內容可以直接跳過沒關係。



第三章　數理性思維的七個面向

◎瞭解七個面向，激發內在數學潛能

從這一章開始，我們將具體地來瞭解何謂「數學式思考」。

正如前文所述，這其中並沒有什麼別出心裁的思考方式。我想即使是你，幾乎也在無意識之中使用過這些思考方式。但是藉由瞭解並意識到數學式思考的意義，相信你未來在碰到任何問題時，都能夠比以往更容易也更確實地理出解決問題的頭緒。

接下來，請從以下介紹的七個面向，挖掘出潛藏在你體內的「數學式思考力」吧！

面向1整理：整理的目的在於獲得新資訊

這裡所謂的整理，並不是單純把東西排列整齊，就稱得上是「數學式」的整理。

「為什麼把東西收拾整齊就算『數學式』呢？」

會這麼想也是理所當然的。不過我也認為，如果僅只是把東西排列整齊的話，並沒有必要非冠上「數學式」的名義不可。說起來，在整理房間這個部分，任何一個整理達人的專業絕對都比我的意見來得可靠多了。我所強調的「數學式的整理」，並非一般人觀念中的整理，而是一種「把隱藏的資訊推理出來」的行為，也就是透過明確的規則加以分類、運用乘法原則加以整理，或是準備檢查表等行為。藉由數學式的整理，我們可以把資訊歸納得井然有序，但這並非整理的目的。獲得「新資訊」，才是所謂數學式整理的最大目的。

◎透過分類推理出隱藏性質

舉例來說，假設你是一名葡萄酒收藏家，家裡有超過三百支你中意的葡萄酒。請問，以下A到C三種整理方法，哪一個最符合「數學式的整理」呢？在思考這個問題時，請從可以增加葡萄酒資訊，亦即葡萄酒的味道的角度來思考。

A　按照釀酒年份（生產年份）排列

B　按照產地別排列

C　按照葡萄品種別排列

向人們展示自己收藏的葡萄酒時，A大概是最體面的排列方式了吧。一來，當人們看到排列在最前面的葡萄酒時，會很熱絡地讚嘆道：

「哇，這些酒好有歷史啊。」

二來，你也可以告訴客人：

「這裡也有你出生那一年產的葡萄酒喔。」

這樣他們聽了可能會很感動。不過按照生產年份排列葡萄酒，究竟可以得到什麼新資訊呢？頂多就是：

「一九九○年的酒好多喔。啊，不過一九九一年的酒已經沒了。」

像這樣掌握葡萄酒庫存的狀況而已。

相對地，B的整理方式可說是非常地「數學式」。因為這樣的整理方式，可以讓你在開瓶前就預先推測到有關味道的資訊。

在此厚顏無恥地分享一件私事。我是一名經過日本侍酒師協會認證的葡萄酒專家。每次和知道我擁有這個證照的朋友去用餐時，選擇葡萄酒的任務自然而然會落在我頭上。通常我都會先確認眾人的預算和餐點的內容，然後再從葡萄酒單中挑選葡萄酒，但儘管我擁有專業證照，實際經驗並不豐富，因此酒單上的葡萄酒，我喝過的只有極其少數而已。因此我總是挑選得有點隨便。但是每次用完餐後，大家都會對我挑選的葡萄酒讚譽有加：

「哎呀，每次跟永野來吃飯，都能喝到好喝的葡萄酒！」

這是為什麼呢？因為我對各主要產地生產的葡萄品種，和當地的氣候條件，已經有一定程度的瞭解。光靠這一點，我就能夠像這樣做出選擇：

「大家點了蒲燒鰻魚嗎？這樣的話，還是選清爽一點的紅酒好了。勃艮第看起來不錯，不過價格有點超出預算了。啊，盧瓦爾地區的黑比諾應該可以噢。就選這個吧。」

順帶一提，黑比諾是釀造勃艮第紅酒的知名品種，我一開始去葡萄酒學校時，還不認識這種品種的葡萄，結果還把老師寫在白板上的文字念成了「非比諾」，現在想起來實在很丟臉……（啊，好像離題了。）

當然，嚴格說來，決定葡萄酒味道的因素不只有產地、品種和氣候條件，連釀造方法、木桶種類、運送方式等都有影響。說得更深入一點，即使是同年同款的葡萄酒，一般來說只要瓶子不同，味道就會有些許差異。不過如果沒有特殊堅持的話，像我這種選擇方式其實不會造成太大的問題。

我想在此強調的當然不是我挑選葡萄酒的眼光有多好（笑），而是我只要從葡萄酒單上的產地分類，就能大致預期到那些沒喝過的葡萄酒究竟是什麼味道。也就是藉由產地別的分類，成功推理出隱藏在其中的性質。

各位已經看出來了吧。如欲取得與葡萄酒味道有關的資訊，比起按照年代順序排列的A，按照產地別排列的B絕對是更有效的整理方式。而且就取得有用資訊這一點來看，B比A更符合「數學式」的整理。

那麼，C的「按照葡萄品種別排列」又如何呢？

確實，葡萄的品種會直接影響到葡萄酒的味道，而且知道品種的話，大概也可以推測到葡萄酒的味道，但就數學式分類的角度而言，我並不建議以葡萄的品種作為分類的標準。因為「數學式分類」除了著重在增加資訊外，還有一件不得不注意的重點，就是「不遺漏、不重複」。如欲從分類取得味道的資訊，以葡萄的品種為標準並非不好，只是像波爾多等類型的葡萄酒，釀造時同時混合了不同品種的葡萄。由於一種葡萄酒裡含有複數的品種，因此如果按照品種分類的話，同一瓶酒有可能被分類在不同的類別下。況且，在琳琅滿目的葡萄酒中，有時候也會出現非常稀有的葡萄品種。包括這類型的品種在內，要認識世界上所有的葡萄品種，幾乎是天方夜譚。換言之，假如按照葡萄的品種分類，有可能會出現被分類至多個項目下的葡萄酒，或是完全無法分類的葡萄酒。

最近的商業書籍，經常呼籲讀者「分類時的標準要符合MECE」。MECE是Mutually Exclusive and Collectively Exhaustive的縮寫，直譯成中文就是「相互獨立且完全窮盡」，因此所謂的MECE分類就是不重複且無遺漏的分類。這也是以數學式思考分析事物時的基本。

此處雖以葡萄酒為例，但無論在生活的哪個層面，整理其實都是不可或缺的一環。

你應該也是每天都在進行各式各樣的整理吧。過去你可能只是在無意間試著把事物排列整齊，但從今天開始，請你在整理時順便想一想：

「該怎麼做才能增加資訊呢？」

在著手進行整理前先思考這個問題，就是標準的數學式思考。

◎為什麼血型占卜這麼受歡迎？

在聯誼等大家都是初次見面的場合，當不知道該聊什麼話題時，總是會從血型或星座等話題切入。為什麼會這樣呢？我想原因當然不外乎是這些話題最安全也最能夠炒熱氣氛，但這其實並不是唯一的理由。還有一個理由就是人們想透過血型或星座，將眼前的人進行分類。例如：

A型：不苟言笑、處世周到、神經質

B型：自我中心、樂天、遲鈍

O型：重義氣、羅曼蒂克、不拘小節

AB型：冷酷、理智、優柔寡斷

然後藉此推測對方的性格。其實這種血型性格診斷毫無科學根據，也有一種說法是因為周圍的人不斷洗腦，才後天養成類似的性格，不過我們在這裡就先不探究這件事了。總之，聯誼等場合會頻繁出現血型的話題，最主要的原因就是人們受到心理的驅使，試圖藉由分類來瞭解初次見面的人隱藏在表面下的真實性格。

第2章 什麼是數學力？

◎算術與數學是兩碼子事

請問聽見數學力時，你會聯想到什麼呢？我想應該有很多人會朝比較籠統的方向去聯想，比如說：

．能夠快速且正確計算的能力

．能夠快速解答應用題的能力

．能夠快速解答數學謎題的能力

不過我認為這些能力跟數學力都沒有關係。

每次跟幾個朋友去吃飯，要平均分攤飯錢時，只要有人問我：

「永野，一個人多少錢？」

我都會一陣心虛。朋友會這樣問我，當然是因為他們覺得我是數學老師，所以應該很會心算，但其實我算錯的機率相當高。是的，我必須厚顏無恥地自首，我一點也不擅長心算。…...

前言
【第一章、喚醒你的數學力】
數學式的文章解讀法
發現自己的數學力

【第二章、什麼是數學力？】
算術與數學是兩碼子事
任何人都具備的數學力
提升數學力的祕訣就是「停止背誦」
讓靈光一閃成為必然的現象

【第三章、數理性思維的七個面向】
瞭解七個面向，激發內在數學潛能！

　面向1　整理
　透過分類推理出隱藏性質
　為什麼血型占卜這麼受歡迎？
　要學習「圖形的特性」的理由
　在科學史上留下重要足跡的「數學式」分類
　乘法式整理
　次元增加，世界就會變寬廣
　意願－能力（Will-Skill）矩陣
　準備一份高效率的檢查表
　ECRS 檢查表（改善四原則）

　面向2　順序概念
　選擇時由大到小
　必要條件和充分條件
　合理選擇的原則
　關於「證明」
　正確的證明是由小到大
　「風一吹，木桶店就會賺錢」是真命題嗎？

　面向3　轉換
　換句話說
　活用等價變換
　理解函數
　函數才是真正的因果關係
　①設想的「原因」是否為自變數
　②「原因」是否只對應到一種結果

　面向4　抽象化
　抽象化＝推敲出本質
　歸納出共通的性質
　生活中隨處可見的抽象化
　抽象化的練習
　模型化
　圖論
　柯尼斯堡七橋問題
　圖論的應用

　面向5　具體化
　提出具體實例
　「譬喻」是具體實例的進化形
　從名言當中學習如何創造貼切的譬喻
　往返於具體與抽象之間
　演繹法和歸納法
　演繹法和歸納法的缺點
　什麼情況適用演繹法和歸納法？

　面向6　逆向思考
　能平息怒火的「ABC理論」
　逆、否、對偶命題
　反證法
　阿基米德與王冠
　反證法的陷阱

　面向7　培養數學的美感
　指揮家的練習
　古典音樂的特徵
　和弦與和弦記號
　數學和音樂的共通點
　講求合理性
　利用對稱性
　追求一致性

後記
參考文獻

前言
【第一章、喚醒你的數學力】
數學式的文章解讀法
發現自己的數學力

【第二章、什麼是數學力？】
算術與數學是兩碼子事
任何人都具備的數學力
提升數學力的祕訣就是「停止背誦」
讓靈光一閃成為必然的現象

【第三章、數理性思維的七個面向】
瞭解七個面向，激發內在數學潛能！

　面向1　整理
　透過分類推理出隱藏性質
　為什麼血型占卜這麼受歡迎？
　要學習「圖形的特性」的理由
　在科學史上留下重要足跡的「數學式」分類
　乘法式整理
　次元增加，世界就會變寬廣
　意願－能力（Will-Skill）矩陣
　準備...