集合的基礎

還記得高中數學 （編註：此指日本高中數學）學到的集合嗎？在圓圈中畫圓圈、兩個圓圈重疊的集合。那麼，集合的正式定義是什麼呢？答案是範圍明確的事物團體。集合會使用特殊的符號，這節先來熟悉符號的表示方式吧！

集合與元素

如同「猜拳手勢」，「範圍明確的事物團體，稱為集合（set）；而集合裡所含的各別事物，稱為該集合的元素（element）。」比如，假設「猜拳手勢」的集合為 P ，則「石頭、剪刀、布」就是 P 的元素。

一般來說， a 為集合 A 的元素，記為 a A ； b 不 為集合 A 的元素，記為b A 。

在上述例子，石頭 P，但 OK 手勢 P。

集合的表示方式

 石頭 剪刀 布  為猜拳的手勢

集合有兩種表示方式，其中一種是在｛｝中列出所有元素；另一種是先以x等適當文字（可使用喜歡的文字）代表元素，再於縱線（｜）的右邊寫出滿足元素的條件 。

假設有 P 石頭 剪刀 布 和 Q 石頭 布 兩個集合，則集合 Q 含於集

合 P 裡頭。此時，集合 Q 稱為集合 P 的部分集合（subset），記為 。

一般來說，當兩集合的其中一方為另一方的部分集合，則兩集合之間存在包含關係（inclusion relation）。

對於兩集合 A 、 B ，既屬於 A 又屬於 B 的所有元素集合，稱為交集（intersection）；至少屬於 A 、 B 其中一邊的所有元素集合，稱為聯集（union），符號分別如下表示：

宇集合與補集

對於已知的集合 U ，僅討論 U 的部分集合時，集合 U 稱為宇集合。而對於宇集合 U 的部分集合 A ，屬於 U 但不屬於 A 的所有元素集合，稱為 A 的補集（ ），記為 A 。

令關東地區的都道府縣，也就是 東京都 埼玉縣 千葉縣 神奈川縣茨城縣 櫪木縣 群馬縣 為宇集合 U 時，關於 U 的部分集合 A 東京都 千葉縣 神奈川縣 ，

A =埼玉縣 茨城縣 櫪木縣 群馬縣

【問題 2-3 ：和事件與機率的加法定理】

已知有九張分別寫有數字 到 的紙牌，從中選出三張時，紙牌數字全為奇數的機率為甲□。又三張紙牌數字相加為奇數的機率為乙□ 。

（日本福岡大學）

（甲）5/42 （乙）10/21

（甲）

從1到9相異九張紙牌中選出三張時，樣本空間的組合數為9C3種。其中，若想要三張皆為奇數，則這三張必須從1、3、5、7、9 五張紙牌中選出，所以有 5C 3 種。因此，欲求機率為

（乙）

樣本空間跟（甲）相同，共有 9 3 種。其中，若想要三張紙牌的數字和為奇數，則需為下述情況之一：

〔事件 〕三張皆為奇數

〔事件 〕三張中一張為奇數、兩張為偶數

〔事件 的機率〕

由（甲）可知

〔事件 的機率〕

從1、3、5、7、9五張奇數紙牌中選出一張，從2、4、6、8 四張偶數紙牌中選出兩張，共有 5C 1 × 4C2 種。

欲求機率是事件A和事件B的和事件（ 30頁）機率 。

因為事件A和事件B互斥（32頁），所以由加法定理（32頁）可知

上帝賜與的常數

截至 2016 年 12 月，圓周率 計算到小數點後 22 兆 4591 億 5771 萬 8361 位數（編註：於 2019 年計算至 31.4 兆位），但這個計算仍舊沒有「終點」。圓周率是小數點後不規則無限延續的無理數（無法表示成分數的數）。換言之，圓周率是絕對無法知道正確數值的數。

與相同，自然對數的底數（稱為歐拉數或者納皮爾數）（ 92 頁）也是無理數。而且， 和 都歸屬於超越數（ transcendental number ）這個分類。所謂的超越數，是指「不能成為有理數係數的代數方程式解的數」。簡單來說，超越數是無法僅以加法、減法、乘法、除法表述的數。

為超越數時， 不會是僅以自然數、 + 、 、×、÷組成的方程式解。比如，2 為無理數，但可以是方程式 × = 2 的解，所以 2 不是超越數。

想要證明某數不為超越數，只要找出解為該數「以自然數、 + 、 、×、÷組成的方程式」就行了，但想要證明某數為超越數一般是非常困難的。

接觸自然科學後，會訝異代表如此複雜數的 和 ，竟然出現於各式各樣的情況中。其中，最令人感到驚訝的是，歐拉公式 = cos + sin 的 代入 可得下式。

這個由 、 、 （虛數單位： 168 頁）、 1 （乘法的單位元素）、 0 （加法的單位元素）數學中最重要的五個數組成的式子，經常被譽為「世界上最美的數學式」。

IT 企業 Google 公司的名字語源是大數單位古戈爾（ googol ： 1 古戈爾為 10 的100 次方），是由美國數學家愛德華‧卡斯納（ Edward Kasner ）提出，他對由歐拉公式推導出來的這條式子說道：「我們能夠做的事情不是停下來探尋深意，而是直接謄寫這個數學式。對神祕主義者、科學家、數學家來說，這個數學式具有同等的吸引力。」實際上，不少人將 和 稱為「上帝賜予的常數」。

數學很優美？

以《天鵝湖》《胡桃鉗》作曲家聞名的柴可夫斯基曾留下這樣一段話：「如果數學不優美，數學本身就不會誕生出來。人類頂尖的天才們深深為這門難解的學問著迷，除了美之外還有什麼吸引人之處呢？」

再來，活躍於 世紀的匈牙利數學家保羅‧艾狄胥（ ）也說道：

「數為什麼優美？這就像在問：貝多芬《第九號交響曲》為什麼優美？若你自己心中沒有答案，其他人也沒辦法回答你。我知道數是優美的。如果數不優美，就不存在優美的事物了。」

順便一提，艾狄胥一生發表的論文數量，僅次於那位李昂哈德‧歐拉。據說他不眼不休的埋首研究。有一說是，他一天花費 小時思考數學問題。

翻查字典可得知，「美」的解釋為「刺激知覺、感覺、情感，引起內在快感的事物」（截自日本字典《廣辭苑》）。

那麼，數學有什麼會引起內在快感呢？

我想應該是數學具有下述四項性質：

對稱性

合理性

意外性

簡潔性

關於對稱性，若東京鐵塔、富士山不是左右對稱，應該不會讓人為之著迷吧。

從古希臘時代開始，左右對稱就被認為是人評定優美的重要要素。

圓形、正方形等圖形不用說，數學式有時也有對稱性，此時會覺得優美是非常自然的。

關於合理性，經由數學證明的正確結論，永遠都不會被推翻。它將超越立場、國家、時代，一直保持真實。 世紀的英國詩人約翰‧濟慈吟詠：「美即是真，真即是美。」

若真是如此（我全面認同），在能夠遇見真實的數學中，肯定不少人都能感受到優美吧。

關於意外性，如下一加一減奇數的倒數，最後會收斂到圓周率的四分之一：

這個數學式稱為「萊布尼茲圓周率公式」，在學習數學的過程中，時常會像這樣碰到令人意外的事情。

想讓家人、朋友、戀人等重要的人高興時，許多人會準備驚喜派對、驚喜禮物。

由此可見，對意外性感到驚豔會帶來「內在快感」。

關於簡潔性，假設凸多面體（沒有內凹的多面體）的頂點（ ）數為 、邊（ ）數為 、面（ ）數為 ，則下述非常單純的數學式會成立：

注意到這項連畢達哥拉斯柏拉圖、歐幾里得阿基米德、克卜勒、勒內‧笛卡兒都疏忽掉的簡單關係式的人是， 世紀的偉大數學家李昂哈德‧歐拉。歐拉發現這項定理時，在寄給友人的信中興奮寫道：

「令人驚訝的是，據我所知，沒有其他人注意到這項立體幾何中的一般性質。」

不難想見，歐拉的心中肯定產生了「內在快感」。

數學家等科學家冥冥之中相信：「這個世界受到簡單的法則所支配」。而且，正因為在該簡潔中發現崇高的美，才願意將其一生奉獻給數學、科學。

集合的基礎

還記得高中數學 （編註：此指日本高中數學）學到的集合嗎？在圓圈中畫圓圈、兩個圓圈重疊的集合。那麼，集合的正式定義是什麼呢？答案是範圍明確的事物團體。集合會使用特殊的符號，這節先來熟悉符號的表示方式吧！

集合與元素

如同「猜拳手勢」，「範圍明確的事物團體，稱為集合（set）；而集合裡所含的各別事物，稱為該集合的元素（element）。」比如，假設「猜拳手勢」的集合為 P ，則「石頭、剪刀、布」就是 P 的元素。

一般來說， a 為集合 A 的元素，記為 a A ； b 不 為集合 A 的元素，記為b A 。

在上述例子，石頭...

各位知道岡潔嗎？岡老師是日本昭和時期有名的數學家之一，尤其在多變

數解析函數論上，更是當時世界的第一把交椅。歐美研究人員評論他的偉大功

績說：「實在無法想像這是一個人完成的成就。 Kiyosi Oka （岡潔的羅馬拼音）

難道不是某個數學家集團的筆名嗎？」

在獲頒每日出版文化獎的《春夜十話》（春宵十話）散文集中，岡老師寫

道：「在這世間，或許有些人認為不需要輕鬆的數學。然而，數學是照亮暗夜

的曙光，雖然我們在白天不需要它，但對這個世間來說卻是不可欠缺的。」

學習數學能夠獲得解決問題的能力，以及傳達自我思維、不讓他人誤解的

表達能力。數學是「照亮暗夜的曙光」，能夠鍛鍊自我思索的能力。當沒有人

帶頭照亮前方的道路，必須仰賴自己的腳步、思維來前進，數學鍛鍊出來的邏

輯思考力肯定會帶來幫助。

本書盡可能藉由圖示、插圖來直觀地理解數學思維。但是，僅只如此，邏

輯思考的訓練可能顯得不足，所以多數定理、公式會另外在「延伸」以數學式

來證明。想要迅速掌握概念的人，可以先跳過「延伸」的部分，待有閒暇的時

候再仔細研讀。另外，後半部收錄了各節相關的大學試驗，並在篇幅允許範圍

內詳述解答、解說，其中也包含了日本東京大學及京都大學的入學問題。期望

各位能夠使用前半部學到的定理、公式，細細體會解決這些問題的方法。

本書並未網羅日本高中數學的所有單元，但嚴選了在高中數學容易感到挫

折的內容。若是透過閱讀本書，有「當時說的那個是這個意思啊！」的想法，

筆者我會感到欣喜萬分。

永野裕之

各位知道岡潔嗎？岡老師是日本昭和時期有名的數學家之一，尤其在多變

數解析函數論上，更是當時世界的第一把交椅。歐美研究人員評論他的偉大功

績說：「實在無法想像這是一個人完成的成就。 Kiyosi Oka （岡潔的羅馬拼音）

難道不是某個數學家集團的筆名嗎？」

在獲頒每日出版文化獎的《春夜十話》（春宵十話）散文集中，岡老師寫

道：「在這世間，或許有些人認為不需要輕鬆的數學。然而，數學是照亮暗夜

的曙光，雖然我們在白天不需要它，但對這個世間來說卻是不可欠缺的。」

學習數學能夠獲得解決問題的能力，以及傳達自我思維、...

序言
第1章 集合與邏輯
1.1 集合的基礎
1.2 必要條件與充分條件
1.3 逆反命題
1.4 反證法
第2章 情況數與機率
2.1 情況數
2.2 機率的基礎
2.3 和事件的機率與機率的加法定理
2.4 重複試驗的機率
2.5 條件機率

第3章 函數
3.1 函數的基礎
3.2 二次函數
3.3 三角函數
3.4 指數函數
3.5 對數函數
第4章 微分、積分
4.1 極限
4.2 微分法
4.3 各種函數的微分
4.4 積分法
4.5 積分法的應用
第5章 數列
5.1 等差數列與等差級數
5.2 等比數列與等比級數
5.3 符號
5.4 遞迴關係式
5.5 數學歸納法
第6章 向量＆矩陣
6.1 向量的基礎
6.2 向量的加法與減法
6.3 向量的內積與外積
6.4 位置向量
6.5 向量方程式
6.6 矩陣的基礎與運算
6.7 矩陣與方程式
6.8 一次變換
補章 複數平面
補.1 複數平面的基礎
補.2 複數的極式
挑戰大學入學考試！
第 1 章 集合與邏輯
第 2 章 情況數與機率
第 3 章 函數
第 4 章 微分、積分
第 5 章 數列
第 6 章 向量＆矩陣
補章 複數平面
【專欄】
column 對數的誕生
column 上帝賜予的常數
column 學習數學的兩個原因
column 數學優美？
column 三段論法
column 計算與經驗哪個才正確？
column 房貸的償還次數
column 費馬與無窮遞減法
column 增強解題能力的學習方法
column 在代數學歷史上閃耀的年輕巨星
索引

序言
第1章 集合與邏輯
1.1 集合的基礎
1.2 必要條件與充分條件
1.3 逆反命題
1.4 反證法
第2章 情況數與機率
2.1 情況數
2.2 機率的基礎
2.3 和事件的機率與機率的加法定理
2.4 重複試驗的機率
2.5 條件機率

第3章 函數
3.1 函數的基礎
3.2 二次函數
3.3 三角函數
3.4 指數函數
3.5 對數函數
第4章 微分、積分
4.1 極限
4.2 微分法
4.3 各種函數的微分
4.4 積分法
4.5 積分法的應用
第5章 數列
5.1 等差數列與等差級數
5.2 等比數列與等比級數
5.3 符號
5.4 遞迴關係式
5.5 數學歸納法...