第1章

數列與規律

一、二、三，三即是一。

一、二、三，三即是二。

－－大島弓子《綿之國星》

1.1 櫻花樹下

高一那年春天。

開學典禮那天陽光普照。

美麗的櫻花盛開 每個人都邁出嶄新的一步 在這傳統的校舍裡 努力讀書跑跳 少年易老學難成 。

校長的演講不斷誘導我進入夢鄉，我一邊扶正眼鏡，一邊忍住打哈欠的衝動。

開學典禮結束後，返回教室的途中，我悄悄離開校舍，一腳踏進學校後面並排的櫻花樹道，在空無一人的路上漫步。

我現在 15 歲。 15 、 16 、 17 ……畢業的時候就 18 歲了，會經過一個 4 的倍數，還有一個質數。

現在，教室裡的學生肯定在做自我介紹。我不擅長自我介紹，不曉得可以說些什麼與自己有關的。

「我喜歡數學，興趣是推演數學式，請大家多多指教。」

這會讓大家目瞪口呆吧。

唉，算了。就像國中時一樣靜靜地聽課，在沒有人會來的圖書室裡，度過三年推演數學式的日子吧。

眼前出現了一棵格外巨大的櫻花樹。

一位少女站著仰望這棵櫻花樹。

她大概是新生，是跟我一樣偷跑出來的嗎？

我也抬頭望向櫻花樹，不甚鮮明的色調覆蓋著天空。

一陣風吹來，飛舞的櫻花團團圍住了少女。

少女看向我。

她有一副高挑的身材、烏黑的長髮。

抿嘴認真的臉上，戴著金屬框眼鏡。

她用清楚的聲音說道：

「 1 、 1 、 2 、 3 。」

少女唸完四個數字後，閉上嘴巴並指向我，宛若在說：

「嗯，那邊的你，回答下一個數字。」

我用手指向自己。（要我回答？）

少女默默點頭，食指仍舊指著我。

究竟是怎麼一回事？只是走在櫻花樹道而已，為什麼必須回答猜數字的遊戲？嗯……答案是什麼來著？

「 1 、 1 、 2 、 3 、……」

嗯哼。原來如此，我懂了。

「 1 、 1 、 2 、 3 的後面是 5 ，接著是 8 ，再來是 13 ，然後是21 ，接下來是……」

少女將手心朝向我，示意我停下來。

這次唸出別的問題，同樣是四個數字。

1 4 27 256

少女又用手指向我。

這是測驗嗎？

「 1 、 4 、 27 、 256 、……」

我瞬間就找到了規則。

「 1 、 4 、 27 、 256 ，再來是 3125 吧。接著是……我心算不出來。」

少女對回答「沒辦法心算」的我深鎖眉頭，搖了搖頭，告訴我答案。

「 1 、 4 、 27 、 256 、 3125 、 46656 、……」聲音十分清晰。

然後，少女閉上了眼，如方才仰望櫻花樹般微微抬起頭，倏地用食指指向空中比劃。

這位少女仍舊唸著數字，雖然只是單純地排列數字、做著微小的動作而已，但我的目光卻離不開這位奇特的女孩。她到底想做什麼 ？

她看向我這邊。

6 15 35 77

又是四個數字。

「 6 、 15 、 35 、 77 、……」

有點困難。我全力運轉腦袋， 6 、 15 是 3 的倍數，但 35 不是； 35 、 77 是 7 的倍數……如果可以寫在紙上，應該很快就能解開。

我偷瞄一下櫻花樹下的少女，她挺直站著，一臉認真地看著我，完全不理會頭髮上沾黏的櫻花。如此認真的態度，果然是測驗嗎？

「我知道了。」

我才剛說完，少女的眼睛就為之一亮，微微笑了起來。這是我第一次看見她的笑容。

「 6 、 15 、 35 、 77 之後是 133 。」我不禁提高聲量。

少女搖搖頭，一副「真拿你沒辦法」的表情。長髮擺動，櫻花花瓣隨之飄落。

「計算錯誤。」女孩用手指頂了一下眼鏡。

計算錯誤……唔，的確如此， 11 × 13 = 143 才對，不是 133 。

少女繼續提問：

6 2 8 2 10 18

這次是六個數字，我稍微思考了一下，最後的 18 真令人頭痛，若是 2 就好了。看起來像是沒有意義的數字……不，全都是偶數嗎？……我懂了！

「接著是 4 、 12 、 10 、 6 、……真是個難題。」我說道。

「會嗎？但是，你不是解出來了嗎？」

她一臉若無其事地說完，然後走到我面前伸出一隻手。她的手指相當細長。

（是要握手嗎？）

我在搞不清楚的狀況下跟她握了手，她的手好軟，而且非常溫暖。

「我是米爾迦，請多指教。」

這就是我與米爾迦的邂逅。

第1章

數列與規律

一、二、三，三即是一。

一、二、三，三即是二。

－－大島弓子《綿之國星》

1.1 櫻花樹下

高一那年春天。

開學典禮那天陽光普照。

美麗的櫻花盛開 每個人都邁出嶄新的一步 在這傳統的校舍裡 努力讀書跑跳 少年易老學難成 。

校長的演講不斷誘導我進入夢鄉，我一邊扶正眼鏡，一邊忍住打哈欠的衝動。

開學典禮結束後，返回教室的途中，我悄悄離開校舍，一腳踏進學校後面並排的櫻花樹道，在空無一人的路上漫步。

我現在 15 歲。 15 、 16 、 17 ……畢業的時候就 18 歲了，會經過一個 4 的倍數，還有一個質數。 ...

不可以光是記憶。

不可以無法回憶。

──小林秀雄

我無法忘記。

我絕對無法忘記高中時代經由數學認識的女孩們。

其優雅的解法令我心服口服的才女，米爾迦。

認真提出疑問的活潑少女，蒂蒂。

每當想起那段時光，心中總會浮現數學式，湧現靈活生動的點子。數學式即便跨越時空的隔閡也絲毫不褪色，向我展現歐幾里得（Euclid）、高斯（Carl Gauss）與歐拉（Leonhard Euler）等數學家的靈光一閃。

──數學超越了時空。

閱讀數學式的同時，我也獲得過去數學家體會到的感動，即使這些在數百年前就已證明完畢，但這份循著邏輯獲得的感動，確實存在於我的心中。

──用數學超越時空。

如同深入叢林找尋隱藏的寶藏，數學好比令人興奮的遊戲，是以最佳的解法為目標的智力競爭、令人怦然心動的戰鬥。

自那時起，我開始使用名為數學的武器──但該武器的力量過於強大，許多時候難以控制，就像自己不受約束的年少輕狂、無法壓抑對她們的思念。

不可以光是記憶。

不可以無法回憶。

一切的開端，是高一的那年春天……

不可以光是記憶。

不可以無法回憶。

──小林秀雄

我無法忘記。

我絕對無法忘記高中時代經由數學認識的女孩們。

其優雅的解法令我心服口服的才女，米爾迦。

認真提出疑問的活潑少女，蒂蒂。

每當想起那段時光，心中總會浮現數學式，湧現靈活生動的點子。數學式即便跨越時空的隔閡也絲毫不褪色，向我展現歐幾里得（Euclid）、高斯（Carl Gauss）與歐拉（Leonhard Euler）等數學家的靈光一閃。

──數學超越了時空。

閱讀數學式的同時，我也獲得過去數學家體會到的感動，即使這些在數百年前就已證明完畢，但這份循著邏輯獲得的感動...

獻給你
序章
第 1 章 數列與規律
1.1 櫻花樹下
1.2 自家
1.3 數列謎題沒有標準解答

第 2 章 名為數學式的情書
2.1 校門口
2.2 心算謎題
2.3 信
2.4 放學後
2.5 階梯教室
2.5.1 質數的定義
2.5.2 絕對值的定義
2.6 回家路上
2.7 自家
2.8 米爾迦的解答
2.9 圖書室
2.9.1 方程式與恆等式
2.9.2 乘積形成與相加形式
2.10 數學式的背後是誰？

第 3 章 ω的華爾滋
3.1 圖書室
3.2 振動與旋轉
3.3 ω的華爾滋

第 4 章 費氏數列與生成函數
4.1 圖書室
4.1.1 尋找規律
4.1.2 等比數列的和
4.1.3 邁向無窮級數
4.1.4 邁向生成函數
4.2 抓住費氏數列
4.2.1 費氏數列
4.2.2 費氏數列的生成函數
4.2.3 求閉合式
4.2.4 表示為無窮級數
4.2.5 解決
4.3 回顧

第 5 章 算術平均數與幾何平均數的關係
5.1 「學倉」
5.2 浮現的疑問
5.3 不等式
5.4 更進一步
5.5 學習數學

第 6 章 在米爾迦的身旁
6.1 微分
6.2 差分
6.3 微分與差分
6.3.1 一次函數 x
6.3.2 二次函數 x 2
6.3.3 三次函數 x 3
6.3.4 指數函數 e x
6.4 往返兩個世界的旅行

第 7 章 卷積
7.1 圖書室
7.1.1 米爾迦
7.1.2 蒂蒂
7.1.3 遞迴關係式
7.2 回家路上討論一般化
7.3 在「 BEANS 」討論二項式定理
7.4 在自家解生成函數的積
7.5 圖書室
7.5.1 米爾迦的解
7.5.2 面對生成函數
7.5.3 圍巾
7.5.4 最後的關卡
7.5.5 攻陷
7.5.6 半徑為零的圓

第 8 章 調和數
8.1 尋寶
8.1.1 蒂蒂
8.1.2 米爾迦
8.2 對話存在於所有圖書室
8.2.1 部分和與無窮級數
8.2.2 從理所當然的地方開始
8.2.3 命題
8.2.4 全部
8.2.5 存在
8.3 無窮上升螺旋階梯的音樂教室
8.4 不愉快的
8.5 高估的無限大
8.6 在教室調和
8.7 兩個世界，四種演算
8.8 已知的鑰匙、未知的大門
8.9 如果世界上只有兩個質數
8.9.1 卷積
8.9.2 等比級數收斂
8.9.3 質因數分解的唯一性
8.9.4 質數無限性的證明
8.10 天文台

第 9 章 泰勒展開式與巴塞爾問題
9.1 圖書室
9.1.1 兩張卡片
9.1.2 無窮次多項式
9.2 自我學習
9.3 「 BEANS 」
9.3.1 微分規則
9.3.2 再微分
9.3.3 sin x 的泰勒展開式
9.3.4 函數的極限
9.4 自家
9.5 代數基本定理
9.6 圖書室
9.6.1 蒂蒂的嘗試
9.6.2 最後會到哪裡？
9.6.3 向無限挑戰

第 10 章 分拆數
10.1 圖書室
10.1.1 分拆數
10.1.2 思考實例
10.2 回家路上
10.2.1 費氏手勢
10.2.2 分組
10.3 「 BEANS 」
10.4 自家
10.4.1 為了挑選出來
10.5 音樂教室
10.5.1 我的發表（分拆數的生成函數）
10.5.2 米爾迦的發表（分拆數的上限）
10.5.3 蒂蒂的發表
10.6 教室
10.7 尋找更好上限的漫長旅程
10.7.1 從生成函數出發
10.7.2 「第一個轉角」積變成和
10.7.3 「東邊森林」泰勒展開式
10.7.4 「西邊山丘」調和數
10.7.5 旅程的終點
10.7.6 蒂蒂的回顧
10.8 再見！明天見

尾聲
後記
參考文獻與推薦書籍
索引

獻給你
序章
第 1 章 數列與規律
1.1 櫻花樹下
1.2 自家
1.3 數列謎題沒有標準解答

第 2 章 名為數學式的情書
2.1 校門口
2.2 心算謎題
2.3 信
2.4 放學後
2.5 階梯教室
2.5.1 質數的定義
2.5.2 絕對值的定義
2.6 回家路上
2.7 自家
2.8 米爾迦的解答
2.9 圖書室
2.9.1 方程式與恆等式
2.9.2 乘積形成與相加形式
2.10 數學式的背後是誰？

第 3 章 ω的華爾滋
3.1 圖書室
3.2 振動與旋轉
3.3 ω的華爾滋

第 4 章 費氏數列與生成函數
4.1 圖書室
4.1.1 尋找規律
4.1.2 等...