第1章

趣談機率

　　骰子這東西，算是一種最古老的賭具，據說人類在5,000年前就開始使用它。它最早由埃及人發明出來，但在四大文明古國的歷史中大概也都有獨自發明類似物件的記載。不過，人類將這骰子甩來拋去擲了幾千年，卻沒有明白其中深藏的數學奧祕，直到距今400多年前……

1．帕斯卡和法國數學：機率論的誕生

　　17世紀時，從義大利開始的文藝復興運動已經席捲歐洲，也影響法國，為這裡帶來了科學與藝術的蓬勃發展和革命。法國數學界人才濟濟、群星璀璨，人們稱其為數學之邦，它也不愧是機率論之故鄉。

　　談及17世紀的法國數學，不可不提一位舉足輕重的人物：馬蘭•梅森（Marin Mersenne， 1588～1648）。梅森也是一位數學家，但他的貢獻主要不是在學術方面，這方面能列得出來的只有一個「梅森質數」。梅森出身於法國的農民家庭，不是貴族卻成為許多愛好科學的貴族間的聯繫紐帶。梅森少年時畢業於耶穌會學校，是笛卡兒的同校學長，於1611年進入修道院，成為法國天主教的一名教士。1626年，他把自己在巴黎的修道室，辦成了科學家們的聚會場所和交流中心，稱為「梅森學院」。這個聯繫和組織人才的「科學沙龍」，實際上是後來開明君王路易十四所創建並給予豐厚贊助的「巴黎皇家科學院」的前身。因此，梅森為法國科學（特別是數學）的發展做出了巨大的貢獻。

　　梅森見多識廣、才華不凡，性格隨和，平易近人，在他的身邊很快聚集起一批優秀的學者，他們定期到修道室聚會。此外，當時的梅森科學沙龍還經常使用通信方式互相聯繫，或單獨與梅森聯繫，報告交流研究成果和新思想，因此人們稱它為「移動的科學刊物」。梅森去世後的遺產中留下了與78位學者之間的珍貴信函，其中包括笛卡兒、伽利略、費馬、托里切利、惠更斯等歐洲各國多個領域的科學家。例如，笛卡兒有20多年隱居荷蘭，在那裡完成了他在哲學、數學、物理學、生理學等領域的許多主要著作，此期間只有梅森定期與他保持聯繫。

　　我們熟悉的笛卡兒，全名為勒內•笛卡兒（René Descartes，1596～1650），就是那位以說出「我思故我在」而聞名於世的現代哲學之父及解析幾何的奠基人，於1596年出生在法國北部的都蘭城。笛卡兒的父親是當地的一個議員，母親在他1歲多時因肺結核去世，並將這個當時被列為不治之症的疾病傳染給了他，因此，這個貴族家庭對體弱多病的笛卡兒寵愛有加。

　　另一位法國數學家，布萊茲•帕斯卡（Blaise Pascal，1623～1662）誕生於法國中部一個叫克萊蒙費朗的小城市中的小貴族家庭。帕斯卡比笛卡兒小了27歲，但兩位數學家的童年卻有不少共同之處。都是母親早逝、父親富有、身體羸弱、智力過人。其實不僅僅是童年生活，兩位學者的學術生涯也有不少共同點，都是興趣廣泛、博學多思，他們除了在科學上的許多領域做出傑出貢獻之外，也都在人文和哲學方面取得了非凡的成就。並且，在成名之後，笛卡兒和帕斯卡兩人都不約而同地選擇了半隱居式的生活。帕斯卡於39歲時在巴黎英年早逝，笛卡兒活得也不長，不過這位「現代哲學之父」之死頗具傳奇性。笛卡兒原本是企圖追求「安寧和平靜」的隱居生活，平生的習慣是喜歡「睡懶覺」，躲在暖和的被窩裡思考數學和哲學問題。據說他的解析幾何坐標概念的靈感就是在做了「三個奇怪的夢」之後得來的。可是，笛卡兒在晚年，被瑞典的克莉絲汀娜女王看中，召見其為她講哲學晨課。女王喜歡早起，可憐的已經年過五旬的笛卡兒只好違背他多年的作息習慣，每天早上5點爬起來為女王上課，最後因為適應不了北歐嚴寒多雪的冬天，於1650年得肺炎去世了！

　　生活在法國南部的著名律師和業餘數學家皮埃爾•費馬（Pierre de Fermat，1601～1665）也是透過書信的方式與梅森及其他數學同行保持聯繫，他的不少數學成果都是在這些書信中誕生的。

　　還有荷蘭人克里斯蒂安•惠更斯（Christiaan Huygens，1629～1695），他是著名的物理學家、天文學家和數學家。他曾經師從笛卡兒，後來又透過書信交流成為梅森學院重要成員。梅森去世後，巴黎皇家科學院成立，惠更斯為首任院長，在巴黎待了近20年。

•神童帕斯卡

　　才華橫溢的帕斯卡參加梅森學院聚會時才14歲，而當時的笛卡兒卻已經過了不惑之年。兩人身世相仿，關係卻並不融洽，反倒像是有些嫉妒的陰影摻雜其中。

　　科學神童帕斯卡在他11歲那年，創作了一篇關於身體振動發出聲音的文章，使得懂數學的議員父親提高了警惕，他禁止兒子在15歲前繼續追求數學知識，以免他荒廢拉丁語和希臘文的學習。但有一天，12歲的帕斯卡用一塊木炭在地板上畫圖，發現了歐幾里得幾何的第32命題：三角形的內角和等於兩直角。從那時起，父親改變了想法，讓小帕斯卡繼續獨自思索幾何問題，後來還帶著他旁聽並參加梅森修道院每週一次的科學聚會。

　　帕斯卡在16歲時寫了一篇被稱作神祕六邊形的短篇論文〈圓錐曲線專論〉。文章中證明了一個圓錐曲線內接六邊形的三對對邊延長線的交點共線，這個結論現在被稱為「帕斯卡定理」。文章被寄給梅森神父後得到眾學者的極大讚賞，只有笛卡兒除外。笛卡兒不常親臨巴黎的聚會，但看了帕斯卡的手稿後，一開始拒絕相信這是出自一個16歲少年之手，認為是帕斯卡的父親所寫。後來，儘管梅森再三保證這是小帕斯卡的文章，笛卡兒仍然不屑一顧地聳聳肩膀，表明沒什麼大不了的。但實際上，帕斯卡定理對投影幾何早期的發展起了很大的推動作用，向人們展示了投影幾何學深刻、優美、直觀的一面。

　　帕斯卡也喜歡研究物理問題，曾針對真空及大氣壓的性質進行實驗。1640年代，伽利略的弟子托里切利（Torricelli，1608～1647）發明了用水銀柱測量氣壓的方法，確定大氣壓強使得水銀柱大約上升76cm。實驗結果激發了當時的物理學家們思考和討論大氣壓力及空氣重量的問題。年輕的帕斯卡首先重複了托里切利的實驗，繼而進一步猜測：如果將氣壓計放在一個高高的塔頂上，其中水銀柱上升的高度將比76cm低，因為空氣更為稀薄。而空氣再稀薄下去便是「真空」。帕斯卡計劃用實驗來證實他的這些想法。1647年，正好笛卡兒難得地來到巴黎並拜訪了這位小天才，據說這是兩人唯一的一次會晤。笛卡兒同意帕斯卡的部分觀點，卻對真空存在問題的實驗和研究不以為然。笛卡兒認為真空不存在，也不能用實驗來驗證，之後還向其他人嘲笑帕斯卡，說他「頭腦中的真空太多了」。不過，在那次會面中，年輕的帕斯卡也不服輸，更不畏懼笛卡兒的權威。他反駁了笛卡兒的某些哲學觀念，他認為：「心靈有其自己的思維方式，是理智所不能掌握的。」

　　第二年，1648年9月19日，帕斯卡的姐夫在多姆山上按照帕斯卡的設計進行了氣壓計實驗，證明在山腳和山頂，氣壓計水銀柱的高度相差一個不小的數目：3.15英吋！（約為8cm）帕斯卡自己則在巴黎的一個52公尺高的塔頂上重複了類似的實驗。實驗成功地證實了帕斯卡關於水銀柱高度隨著海拔高度的增加而減少的猜測，震動了科學界。後人為紀念帕斯卡的貢獻，將氣壓的單位用「帕」（帕斯卡名字的另一個字）來命名。

　　之後幾年，帕斯卡又做了一系列物理實驗，研究了液體壓強的規律，不斷取得新發現，並有多項重大發明。帕斯卡總結了這些實驗，於1654年發表論文〈論液體的平衡〉，提出了著名的帕斯卡定律：密閉液體任一部分的壓強，將大小不變地向液體的各個方向傳遞。如圖所示，左邊是液面面積較小（面積為A1）的活塞，右邊液面的面積（A2）是左邊的10倍（A2＝10A1）。如果在左邊的活塞上施加一個不太大的力F1，因為壓強P可以大小不變地透過液體從左邊傳遞到右邊（P1＝P2），就將在右邊液面得到一個比F1大10倍的升力（F2＝P2A2＝10F1）。這個如今看來十分簡單的原理成為液壓起重機以及所有液壓機械的工作基礎。

　　說到重大發明，不可忽略帕斯卡設計的計算機，那是帕斯卡在未滿19歲時為了減輕他父親重複計算稅務收支的一項發明。雖然巨大、笨重、難以使用，且只能做加減法，卻可以列為最早的、首次確立電腦器概念的機械計算機之一，算是我們現在人手一件的電子計算機的始祖了。

　　也許是因為身體不好的原因，長期與病魔的鬥爭使得帕斯卡心力交瘁。也有人認為帕斯卡這顆非比尋常的敏感心靈被當時病態的宗教所扭曲。總之，帕斯卡在生命的最後幾年裡，不再進行科學和數學的研究，而是將時間貢獻給了神學和哲學，不過期間他也寫出了被法國大文豪伏爾泰稱為「法國第一部散文傑作」的《思想錄》。在這部處處閃現思想火花的文集中，帕斯卡以浪漫思維的方式、清明如水的文筆，探討若干宗教和哲學問題。與笛卡兒提出理性計算的邏輯不同，帕斯卡提出心靈的邏輯：「思想形成了人的偉大」。可惜這本書尚未完成，39歲的帕斯卡便溘然長逝，真正到天國尋找他的上帝去了。

第1章

趣談機率

　　骰子這東西，算是一種最古老的賭具，據說人類在5,000年前就開始使用它。它最早由埃及人發明出來，但在四大文明古國的歷史中大概也都有獨自發明類似物件的記載。不過，人類將這骰子甩來拋去擲了幾千年，卻沒有明白其中深藏的數學奧祕，直到距今400多年前……

1．帕斯卡和法國數學：機率論的誕生

　　17世紀時，從義大利開始的文藝復興運動已經席捲歐洲，也影響法國，為這裡帶來了科學與藝術的蓬勃發展和革命。法國數學界人才濟濟、群星璀璨，人們稱其為數學之邦，它也不愧是機率論之故鄉。

　　談及17世紀的法國數...

前言

　　這是一本寫給對機率統計及應用有興趣的非專業讀者的書，目的是幫助他們理解高科技發展中機率統計等概念的意義。本書在寫作中以悖論、謬誤，以及一些饒有趣味的數學案例為前導，引發讀者的興趣和思考，並在解答問題的過程中講述機率論中的基本知識和原理，及其在物理學、資訊論、網路、人工智慧等領域與技術中的應用。書中介紹的著名趣味機率問題包括賭博點數分配問題、賭徒謬誤、高爾頓板、幾何概型悖論、醉漢漫步、德國坦克問題、博士相親、中國餐館過程等。透過討論這些簡單有趣的例子，讓讀者了解機率統計中的重要概念，如隨機變數、期望值、貝氏定理、大數法則、中央極限定理、馬可夫過程、深度學習等等。

　　針對機率論，有「法國牛頓」之稱的P.S．拉普拉斯（P.S.Laplace，1749～1827）曾說：「這門源自賭博機運之科學，必將成為人類知識中最重要的一部分，生活中大多數問題，都將只是機率的問題。」

　　兩百多年之後的當今文明社會證實了拉普拉斯的預言，這個世界充滿了不確定性。作為數學領域的一個重要分支，機率論的基本概念早已融入人們的工作和生活當中，小到人人都可以買到的樂透，大到如今熱度不減的各種大數據，還有近年來突飛猛進的人工智慧技術，包括打敗人類頂級圍棋手的「AlphaGo」和自動車輛使用的「深度機器學習」算法等，都與機率論密切相關。

　　因此，人人都有必要學點機率論，了解一下機率與統計有哪些基本理論，世界是隨機的嗎？它們是如何被應用到現代科學及人工智慧中的。然而，因涉及複雜的數學計算等問題，這個領域使大眾望而生畏。本書旨在盡可能地跳出數學公式，用平易近人的話語將機率與統計中一些深奧的概念轉變為大眾更容易理解的實際案例。

　　機率論本來就是從多種賭博遊戲中誕生的，因此，第1章從機率論的誕生歷史開始，透過介紹經典機率論中幾個著名悖論，讓大眾了解大數法則、中央極限定理、貝氏定理等機率論中的基本概念及應用。

　　第2章主要介紹在現代機率論及應用中極其重要的貝氏學派。有趣的三門問題是一個經典問題，卻由此啟發我們思考機率的本質，從而有利於介紹機率論中「頻率學派和貝氏學派」之間的兩派之爭。多數機率論書籍均僅僅基於頻率學派的觀點而寫成，而本書只在第1章中涉及古典機率論（即頻率學派）的基本概念，之後便將貝氏學派頗為不同的思考方法，貫穿於本書的敘述中，這也是本書的特色之一。

　　機率描述的隨機變數如何隨時間而演化？這類由一系列隨機變數構成的「隨機過程」，是第3章介紹的內容。「隨機過程」這個聽起來生澀的數學專業詞彙，也被作者用「醉漢漫步」的通俗例子解讀得一目了然。

　　之後的第4、5、6章，分別簡要地介紹機率論在統計物理、資訊論、網路理論中的應用。同樣地，作者努力避開說教式的言辭，把知識融入故事中，在講解知識的同時，帶給讀者閱讀故事、解讀趣題的樂趣。緊接著，在最後一章中，作者提綱挈領地介紹人工智慧中熱門的深度卷積神經網路，儘管只能管窺蠡測，但從幾個關鍵算法中，讀者也能對機器學習的奧祕略知一二。

　　本書既可淺讀，也能深究，盡量做到滿足各個教育程度大眾的閱讀興趣。涉獵的知識範圍廣泛，將數學、物理、通訊、資訊、電腦、人工智慧多個領域，透過「機率」而串連到了一起。希望本書可以幫助讀者更快速、更深刻地理解機率統計，將其應用於生活和社會，也可以讓年輕人從遊戲和趣題中學到知識，吸引他們踏進基礎科學、人工智慧、資訊技術的大門。

當今社會處處是機率，萬物皆隨機，悖論知多少，趣題相與析。大家都來讀書解惑，玩玩有趣的機率遊戲吧！

作者

前言

　　這是一本寫給對機率統計及應用有興趣的非專業讀者的書，目的是幫助他們理解高科技發展中機率統計等概念的意義。本書在寫作中以悖論、謬誤，以及一些饒有趣味的數學案例為前導，引發讀者的興趣和思考，並在解答問題的過程中講述機率論中的基本知識和原理，及其在物理學、資訊論、網路、人工智慧等領域與技術中的應用。書中介紹的著名趣味機率問題包括賭博點數分配問題、賭徒謬誤、高爾頓板、幾何概型悖論、醉漢漫步、德國坦克問題、博士相親、中國餐館過程等。透過討論這些簡單有趣的例子，讓讀者了解機率統計中的重要概念，如隨...

前言

第1章 趣談機率
　帕斯卡和法國數學：機率論的誕生
　似是而非的答案：機率論悖論
　幾何概型和伯特蘭悖論
　別相信直覺——機率論幫助偵破「財務造假」
　賭徒謬誤：賭博與大數法則
　隨處可見的鐘形曲線：中央極限定理

第2章 趣談貝氏學派
　三門問題
　三門問題引發的思考：機率究竟是什麼？
　頻率學派和貝氏學派
　主觀和客觀
　拿什麼拯救你，量子力學
　貝氏撞球問題
　德國坦克問題

第3章 趣談隨機過程
　馬可夫鏈
　醉漢漫步的數學
　賭徒破產及鳥兒回家
　微粒的「醉漢漫步」——布朗運動
　麥穗問題和博士相親

第4章 趣談「熵」
　從卡諾談起——天妒英才
　「熵」——熱力學中閃亮登場
　「熵」——名字古怪、性情乖張
　時間之矢貫穿宇宙
　伊辛（或易辛）模型及應用
　馬克士威惡魔

第5章 趣談資訊熵
　「熵」——資訊世界大顯身手
　「熵」——品類繁多、個個逞強
　老鼠和毒藥問題
　秤球問題
　不要把雞蛋放在同一個籃子裡

第6章 趣談網際網路中的機率
　大網路中的小世界
　網路和圖論
　網路的大小
　有趣的隨機大網路

第7章 趣談人工智慧的統計
　AlphaGo世紀大戰
　人工智慧發展的三起三落
　隱馬可夫模型
　支持向量機
　單純貝氏分類器
　分布的分布
　中國餐館過程
　機器深度學習的奧祕

參考文獻

前言

第1章 趣談機率
　帕斯卡和法國數學：機率論的誕生
　似是而非的答案：機率論悖論
　幾何概型和伯特蘭悖論
　別相信直覺——機率論幫助偵破「財務造假」
　賭徒謬誤：賭博與大數法則
　隨處可見的鐘形曲線：中央極限定理

第2章 趣談貝氏學派
　三門問題
　三門問題引發的思考：機率究竟是什麼？
　頻率學派和貝氏學派
　主觀和客觀
　拿什麼拯救你，量子力學
　貝氏撞球問題
　德國坦克問題

第3章 趣談隨機過程
　馬可夫鏈
　醉漢漫步的數學
　賭徒破產及鳥兒回家
　微粒的「醉漢漫步」——布朗運動
　麥...