21 機率論誕生的故事(上)

小朋友，當你聽到天氣預報說：「明天下雨機率90%。」這表示下雨的可能性很高，若不想淋成落湯雞的話，相信你一定會帶雨具出門。當你聽到某一玩具店將舉辦摸彩活動，活動獎品正是你喜愛的玩具，且獲獎機率很高，相信你一定不會錯過。

機率在我們生活中隨處可見，亦常是我們要作某些選擇或決策時的參考依據。但你知道最早「機率論」這個數學的分支是如何誕生的嗎？它不是為了解決農夫田地劃分的問題，也不是為了解決買賣交易問題，而是為了幫賭徒解決一個賭金分配的問題。這個賭徒可不是一般的賭徒，是個有錢的貴族，有錢有人脈，才能請到優秀的數學家幫他想答案。

故事發生在17世紀中葉，當時的歐洲貴族間盛行賭博，擲骰子是他們常用的一種賭博方式。一天，一位法國貴族梅雷與另一位對賭，他們各自拿出32枚金幣當賭注，也分別選了「6」及「4」代表自己，接著輪流擲一顆骰子。如果梅雷擲出「6」可得1分，另一位則是擲出「4」得1分，誰最先得到10分，誰就可獲得所有的賭金。

賭博進行一段時間後，梅雷突然接到通知，需要立即進宮陪同國王接見外賓，賭局被

迫停止。此時，梅雷已得8分，另一位得7分，當要處理賭金問題時，有人說一人一半，梅雷不同意，梅雷覺得他快贏了，應該要全拿；另一位也不同意，覺得自己只落後一次，若繼續，可能會反敗為勝。小朋友，如果你在現場，你會給什麼建議？到底該如何分配賭金才公平呢？

後來梅雷將此問題請教他的數學家朋友巴斯卡（Blaise Pascal，西元1623-1662

年），巴斯卡對此問題非常有興趣，立即展開研究。同時也寫信給住在法國南部的另

一位數學家費馬（Pierre de Fermat，西元1601-1665年），以通信的方式討論此問

題。最後得到的結論是梅雷與賭友贏得此賭局的機率比為11：5，所以應該按照此比

例來分配賭金。（兩位數學家詳細的解決方法將在「機率論誕生的故事（下）」中

介紹）

在這個事件發生之後，人們公認這兩位數學家為「機率論」的創始人，也將兩位開始通信討論此問題的那天（西元1654年7月29日），定為機率論的生日。

小朋友，聽了以上的故事，你曾經遇過或聽過哪些問題是可以用機率的方法解決的嗎？找個好朋友一起討論，你也可以成為有名的機率問題專家喔！

31吉普賽讀心術的祕密

小朋友，有沒有在電影裡看過占卜水晶球？通常是由一位長髮、包著頭巾的吉普賽女子，坐在昏暗神祕的房間內，透過一顆大大的水晶球為客人占卜算命（如圖31-1所示）。

網路上有一個網站（如圖31-2所示），出現一個可以讀心的藍色水晶球！只要你內心選定一個二位數（例如23），再減去此二位數的兩個數字和（2+3=5），也就是23-5=18，請你從圖31-2右方的「數字與符號對應表」找到計算後的數字（18）所對應的符號。記起來！然後移動滑鼠，按此藍色水晶球，在發出一個魔法聲後，水晶球上即會顯現你

剛記住的符號，多試幾次，只要你的加減計算無誤，水晶球中央都會顯現你計算後，所得數字的對應符號。

小朋友，有沒有覺得很神奇？水晶球能讀到你心裡所想的符號。想不想了解這個占卜水晶球遊戲背後的祕密呢？

32數字讀心板

小朋友，上次我們了解了吉普賽讀心術的祕密，今天想跟小朋友玩一個「數字讀心板」的遊戲。遊戲規則是：

1. 從1 ~ 30 選出一個數字。

2. 從下面五張數字讀心板（A、B、C、D、E）中尋找你選出的數字。

3. 有出現該數字的讀心板請打勾。（小心不能漏找⋯⋯）

勾完後，如何讀出你心裡所想的數字呢？

首先，將英文字母用數字取代，A = 1，B = 2，C = 4，D = 8，E = 16，接著將所有勾選的字母，轉換為數字後相加，加總後的數字即為當初你所選的數字。小朋友，你自己先試試看，答案對嗎？例如：如果你在A、B、D、E 都有打勾，則你一開始選出的數字一定是27。（因為A + B + D + E = 1 + 2 + 8 + 16 = 27）

多試幾次！確定熟練後（小心不要計算錯誤），自己在白紙上畫出這五張數字表。

拿去跟爸爸媽媽、兄弟姊妹等家人玩玩看，再去學校找同學玩玩。讓他們驚訝你竟然

能猜出他們心裡所想的數字，這種厲害的感覺一定很棒！

好玩之後，想不想知道這個「數字讀心板」背後的祕密？請你跟著我們完成以下問題，你就會知道其中的規律性。等上國中，介紹到二進位的概念時，你將會更清楚這個遊戲與此概念的關聯性。

34巴斯卡三角形（上）

小朋友，還記得之前我們介紹過解決賭徒問題，同時也是機率論創始人之一的巴斯卡（Blaise Pascal，西元1623-1662 年）嗎？本篇我們來介紹他最有名的發現，這個發現還是以他的名字來命名的喔！

首先，我們先來介紹一下巴斯卡的小故事。巴斯卡小時候身體虛弱，3歲時母親過世，雖然父親是位數學愛好者，擁有許多數學相關的藏書，但認為學習數學會消耗大量腦力，擔心巴斯卡的身體負荷不了，所以從小只讓他學習歷史及文學，並將所有的數學書籍都藏起來，預計等巴斯卡15、16歲時再拿出來讓他學習。

巴斯卡12 歲時，一次偶然的機會看到父親正在閱讀幾何的書籍，詢問父親什麼是幾何學？它有什麼用處呢？父親簡單的向他介紹三角形、正方形及圓形的性質，並說它的用處是可以幫助人們畫出正確、美麗的圖形。之後，巴斯卡自己不斷的畫出許多大大小小、不同邊長、不同特色的三角形，並告訴父親他的發現：「任何一個三角形的三個內角和是兩個直角和」，這就是我們所熟知的任意三角形的三內角和為180度。巴斯卡的父親聽完兒子的發現後，流下了感動的眼淚。他驚喜巴斯卡竟然能自己獨立做幾何學研究，於是提早搬出了歐幾里德所著的《幾何原本》讓其研讀。幾週後，巴斯卡就貫通全書，開始了他的數學研究之旅。

隔年（1636年）的某一天，想玩數字遊戲的巴斯卡在白紙上先寫一橫排的1,1,1,⋯⋯（第一列），又在左邊寫一直排的1,1,1,⋯⋯（第一行），接著寫第二橫排（第二列），寫下2, 3, 4, 5, 6, 7⋯⋯。看著紙上的數字，巴斯卡想：「接著可以寫什麼數

字呢？」他發現2 是「左邊的1」加「上面的1」，3是「左邊的2」加「上面的1」，依此類推，可以得到整個第二列的數字。所以，他想第三列是不是也可以用同樣的方式，拿「左邊的數字」加「上方的數字」而依序得出3,6,10,⋯⋯。接著繼續以此方法寫出第四、五、⋯⋯列的數字（如圖34-1所示）。這也就是巴斯卡三角形的雛形。

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統計與機率

21 機率論誕生的故事(上)
22 機率論誕生的故事(下)
23 豌豆與數學的故事(上)
24 豌豆與數學的故事(中)
25 豌豆與數學的故事(下)

代數

26 鴿籠原理
27 河內塔的故事
28 神奇的費氏數列(上)
29 神奇的費氏數列(中)
30 神奇的費氏數列(下)
31 吉普賽讀心術的祕密
32 數字讀心板
33 螽斯數列
34 巴斯卡三角形(上)
35 巴斯卡三角形(中)
36 巴斯卡三角形(下)

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