無因次的單位

秒、年等時間單位，在量的方面表達不同的尺度，但在質的方面同樣是表達時間，亦即具有時間的因次。同樣地，公尺、公分、光年具有長度的因次；公斤、公克具有質量的因次。

然而，也有一些不具有物理量因次的「單位」。例如，雖然本書沒有討論，但角度的度「°」就是一個無因次單位。圓周本身具有長度單位，而角度是分割圓周的比例，它跟圓周和直徑比值的圓周率同樣不具有單位。

以聲音為基準表示物體速度的馬赫也不具有單位。它是物體速度 [ m/s ] 和音速 [ m/s ] 的比率，分子和分母的單位可以彼此消去。只要是同樣單位的比率，這類的物理量都不具有單位。

描述地震強度的地震規模、表示星體亮度的星等也不具有單位。

它們是將物理量轉換成對數尺度，即便原本的物理量可能具有單位，在轉換過程中也會被隱藏起來。同樣地，描述聲音大小的分貝、表示酸鹼性的pH值等，都是沒有單位的對數值。

雖然上面描述這些量不具有單位，但換個角度來看，可說它們具有無因次的單位。

光學深度：τ是一個有點獨特的無因次量，用於描述光子平均每次衝撞介質粒子的範圍。光學深度大於1時，對面的景象會變得模糊不清。例如，晴天的視線範圍約十公里、光學深度為1，但雨天的視線範圍約數十公尺，而在濃霧中的視線範圍可能僅約有數十公分。下次遇到雨天或者濃霧時，不妨試著說說看「今天的光學深度很大」，這樣可能會覺得自己很像是名專家。

無因次的單位

秒、年等時間單位，在量的方面表達不同的尺度，但在質的方面同樣是表達時間，亦即具有時間的因次。同樣地，公尺、公分、光年具有長度的因次；公斤、公克具有質量的因次。

然而，也有一些不具有物理量因次的「單位」。例如，雖然本書沒有討論，但角度的度「°」就是一個無因次單位。圓周本身具有長度單位，而角度是分割圓周的比例，它跟圓周和直徑比值的圓周率同樣不具有單位。

以聲音為基準表示物體速度的馬赫也不具有單位。它是物體速度 [ m/s ] 和音速 [ m/s ] 的比率，分子和分母的單位可以彼此消去。只要是同樣單位的...

序言

‧ E ＝ mc2 一定要透過數學公式來推導嗎？

‧ 地球的周長恰好4 萬公里是偶然嗎？

‧ N（牛頓）和J（焦耳）有何不同？

‧ Hz（赫茲）是指每秒的意思，對吧？

‧ 電磁學定律複雜得讓人困惑！

‧ 大氣中有多少個空氣分子呢？

‧ 我想知道黑洞的半徑，但又不太想學習相對論。

本書序言可能有些不一樣，直接舉了一些與內容有關的例子。其實，即使沒有深入的知識，我們也可以透過基本單位和公式來探索世界的多樣面貌。

世界（大自然）本身並不存在單位和公式的概念。在人類開始使用單位、公式之前，甚至在人類誕生之前，世界便自然而然地運行著。即使沒有萬有引力的公式，地球早已繞著太陽運轉；即使不曉得光速的具體數值，宇宙中也充滿著光線。

單位、公式是人類為了研究大自然而創造的工具和概念。換句話說，「單位」是幫助人類測量大自然的工具，而「公式」和「定律」是幫助人類理解大自然法則的數學式子。從這個意義上說，單位和公式是獨立存在的，彼此之間沒有直接關聯。然而，在時空座標上標示數值（刻度）時，或者使用公式和定律來測量物理量時，我們會將單位和公式結合在一起，以驗證大自然的運作是否符合這些公式和定律。

有鑑於此，本書試圖「透過單位和公式的關係來洞察世界的真理」。我們將透過各種技巧以單位推導公式、以公式確定單位，作者自身也在當中有了新的發現。希望各位讀者也能有相似的體驗⋯⋯。

在探討單位和公式的過程中，許多以身邊周遭為基準的人為單位，已轉為採用更接近世界根源的自然單位。具體來說，單位基準的轉變如下：

（單位） （以前） → （現在）

時間 地球自轉、公轉 → 銫原子

長度 地球周長 → 光速c

能量、質量 公斤原器 → 普朗克常數h

電荷、電流 安培 → 基本電荷e

物質數量 莫耳 → 亞佛加厥常數NA

溫度 水的三相點 → 波茲曼常數kB

普朗克常數（Planck constant）、波茲曼常數（Boltzmann constant）

等與單位的關係，後面將逐一說明。

首先，第1 章將大致介紹當前國際單位制SI、單位和公式與世界運作的方式，最後會演示如何推導黑洞的半徑。如果覺得黑洞的內容不好理解，建議可以先跳過這一部分。

第2 章除了探討與時空、運動相關的基本單位和公式，也會討論為什麼地球的周長是4 萬公里，並討論到了1 間、1 坪、1 升等日常生活中的單位。

第3 章將以質量、力、能量等基本物理量為核心，介紹它們的單位和各種公式之間的關係，並討論力的單位牛頓（N）和能量的單位焦耳（J）。

第4 章將探討振動、波動、聲音和光的單位和公式。作者也是第一次知道到吉他的音階會低1 個八度音階。我們只須要通過單位，便可快速推導出E ＝ mc2第5 章是大家期待已久（或者敬而遠之）的電磁學單位和公式。作者在學生時代對電磁學感到頭痛，剛好藉由這次的機會來重新學習，但因為仍舊覺得相當困難，對於這章並沒有太多自信。章末會安排輕鬆簡單的內容。

最後，第6 章將針對物質數量、溫度、壓力、能量等，彙整與物質有關的物理量單位和公式，並討論亞佛加厥常數、波茲曼常數。作者也首次知道如何從單位推導出光的壓力，以及如何計算空氣中的分子數量和光子數量。

此外，專欄將補充正文中未詳談的內容，並在附錄中整理SI基本單位、SI 導出單位、SI 前置詞、希臘字母以及本書提到的常數等。讀者可根據需要，隨時翻閱參考。

由於單位、公式和定律有無數個，本書僅介紹相對基礎的內容，省略了有關原子、分子的細節，也未提及基本的動量和角速度等。雖然透過單位和公式僅能夠能窺探世界真理的一小部分，但仍舊希望讀者能夠從這一小部分感受到世界（大自然）的廣闊與奧妙。

市面上有許多介紹各種「單位」的參考書，也有不少解說顛覆世界的「公式、定律」的參考書，但結合單位和公式的書籍卻很少。我想在此感謝JMAM 的渡邊敏郎編輯提出如此有趣的企劃，也由衷感謝拿起本書的各位讀者。

在吉田山山腳的簡陋居所　作者

序言

‧ E ＝ mc2 一定要透過數學公式來推導嗎？

‧ 地球的周長恰好4 萬公里是偶然嗎？

‧ N（牛頓）和J（焦耳）有何不同？

‧ Hz（赫茲）是指每秒的意思，對吧？

‧ 電磁學定律複雜得讓人困惑！

‧ 大氣中有多少個空氣分子呢？

‧ 我想知道黑洞的半徑，但又不太想學習相對論。

本書序言可能有些不一樣，直接舉了一些與內容有關的例子。其實，即使沒有深入的知識，我們也可以透過基本單位和公式來探索世界的多樣面貌。

世界（大自然）本身並不存在單位和公式的概念。在人類開始使用單位、公式之前，甚至在人類誕生之前，世界便自然而然地...

序言
第一章 理解測量世界的方法──單位與公式
1 測量世界的方法
2 座標系統不是自然存在的概念，而是想像出來的工具
3 世界的運作方式
4 推導測量世界的公式來理解運作方式
5 國際單位制SI
6 比（分數）是單位換算的要點
7 除了單位換算外，比（分數）也非常重要
8 公式的運用方式
9 單位、因次與因次分析

第二章 地球的周長「正好」是4萬公里──時間、空間、運動
10 一年有多少秒？
11 閏年是怎麼決定的？
12 地球的周長「正好」是4萬公里
13 6疊有幾平方公尺？
14 三維空間包含長寬高
15 結合時間單位與長度單位
16 以多個單位組成公式
17 速度變化的比率是加速度
18 試求圓周運動的加速度
19 真空中的光速
20 測量與星體的距離
21 由路徑長計算推估宇宙的年齡

第三章 利用單位推導公式──質量、力、能量
22 1根牙籤有多少公克？
23 鐵燃燒後會變重
24 似懂非懂的作用力單位
25 由單位來推導運動定律！？
26 萬有引力常數的單位
27 由萬有引力推導地表的重力加速度（g）
28 計算離心力與地球的公轉速度
29 各式各樣的能量僅有1種單位
30 將能量表達為作功的公式
31 為何動能的公式會出現1/2？
32 位能與動能是相同的東西
33 動能與位能的總和維持不變
34 嘗試計算天體的脫離速度
35 天文界只要以太陽為基準就很方便
36 再次來看黑洞的半徑

第四章 低音Do有幾赫茲？──振動、波動、聲音、光
37 已經有「每秒」為何還要有「赫茲」？
38 無所不在的波
39 空氣中的音速受溫度影響
40 突破音速後會發生什麼事情？
41 潛藏於音調中的經驗法則
42 吉他的和弦也存在定律
43 最基本的振動—簡諧運動
44 擺鐘也是做簡諧運動
45 雷擊的距離與震源的距離
46 地震規模與震度的差異
47 在深水中傳遞的波
48 在淺水中傳遞的波
49 高能量的紫外線會造成曬傷
50 從單位來看最著名的公式

第五章 藉由單位克服難懂的電磁學――電力、磁力、電磁力
51庫侖有多強大？
52 韋伯有多強大？
53 兩電荷之間遵守平方反比定律
54 兩磁荷之間也遵守平方反比定律
55 從電荷向四面八方延伸的電力線
56 從磁荷向四面八方延伸的磁力線
57 像重力位能來試著討論電場的能量
58 與地表附近重力位勢相似的電位
59 電位與電壓的差異
60 電荷流動產生電流，但卻沒有磁荷流動
61 電流、電壓與電功率的關係
62 注意！延長線不要插太滿
63 通電後產生磁場
64 磁場變化會產生電流
65 庫侖定律係數背後的自然基本常數

第六章 物理性質的單位與定律――質量、溫度、壓力、能量
66 描述物質的量並非僅有質量
67 各種不同的密度
68 有關物質狀態的基本常數
69 傳統的溫度定義其實很困難
70 現代的溫度定義其實也很難
71 氣象新聞中常聽見的百帕是壓力單位
72 以空氣流動產生的風壓測量飛機的速度
73 也來試著思考一下光的壓力吧
74 也試著思考一下氣體壓力的表達方式吧
75 其他情況的氣壓與輻射壓
76 再次討論音速
77 計算氣體、光的能量密度
78 噴射引擎與太陽風的速度
79 地球大氣的厚度與太陽中心的溫度
80 嘗試計算各種物理量來當作複習吧

附　錄
附錄 1 國際單位制SI的基本單位與導出單位
附錄 2 單位換算
附錄 3 SI前置詞
附錄 4 希臘字母的讀音與範例
附錄 5 本書提及的基本物理常數與天文常數

專欄 一石老師的「單位」「公式」知多少
1 單位、變數的表記方式
2 由旬與劫
3 尺貫制
4 無因次的單位
5 描述大自然的美麗方程式
6 時空的普朗克尺度

序言
第一章 理解測量世界的方法──單位與公式
1 測量世界的方法
2 座標系統不是自然存在的概念，而是想像出來的工具
3 世界的運作方式
4 推導測量世界的公式來理解運作方式
5 國際單位制SI
6 比（分數）是單位換算的要點
7 除了單位換算外，比（分數）也非常重要
8 公式的運用方式
9 單位、因次與因次分析

第二章 地球的周長「正好」是4萬公里──時間、空間、運動
10 一年有多少秒？
11 閏年是怎麼決定的？
12 地球的周長「正好」是4萬公里
13 6疊有幾平方公尺？
14 三維空間包含長寬高
15 結合時間單位與長度單位
...