名人推薦：國立臺灣師範大學數學系名譽教授／林福來

北一女中數學老師，國際數學奧林匹亞競賽金牌獎得主／王嘉慶

趣學數學HFIMath／Joey

尼羅河帶來的恩賜

接下來，故事就從埃及開始說起。

尼羅河的源頭遠在埃及的內陸地區，沿途流經沙漠地帶。每年到了雨季，大量的雨水會使尼羅河河水暴增，因而導致下游地區氾濫。然而，也正因如此，尼羅河上游的肥沃土壤便會沖到下游地區，讓這裡的河畔成為適合農業發展的土地。人類文明在這樣的土地上綻放，實屬自然。

但是尼羅河的定期氾濫，同時會破壞人們辛苦規畫的田畝。為此，埃及每逢河水氾濫時，國王就得減免受水患影響的人民的稅金才行。而在洪災過後，也得重新劃分土地。

就這樣，為了計算稅金所須的算數，以及測量土地時用的幾何學，很自然的在埃及有長足的發展。幾何學的英文為「geometry」，我們可以從「geo」意指土地、「metry」意指測量得知，這門學問是源自於土地測量。另外，埃及人為了盡可能準確掌握尼羅河定期氾濫的時期，所以天文學研究也相當興盛。

數千年前盛極一時的埃及文明如此充滿魅力，也讓人們想一探究竟。

1798 年，拿破崙親率大軍遠征埃及。某天，在尼羅河口、名為羅賽塔（Rosetta）的小城市附近，某位法國工兵挖掘古代廢墟時，意外發現了一塊石頭，整面刻滿奇妙文字。如果是一般的軍人，可能不會對這塊石頭產生任何興趣，幸好這位法國工兵認為這塊石頭上雕刻的一定是古埃及文字，因此小心翼翼的將其當作戰利品帶在身邊。之後法軍在戰場上被英軍擊敗，於是這塊石頭就從法軍手中轉移到英軍，如今仍妥善的保存在大英博物館。因為這塊石頭最初是在小城羅賽塔附近發現的，所以稱為「羅塞塔石碑」（Rosetta Stone）。

雖然發現了這塊石頭，為世人揭示了古埃及文化，但當時沒有人知道上頭到底寫了什麼。英國的物理學家托馬斯．楊格（Thomas Young）首先挑戰解讀這塊石碑上的內容，但經過多年努力後，解讀出來的字還不到一百個。繼托馬斯．楊格之後，法國考古學界的天才商博良（Jean-François Champollion），也開始全心投入破譯羅賽塔石碑上的文字。皇天不負苦心人，20年後，商博良終於完全解讀出石碑的內容了。

經由托馬斯．楊格和商博良兩位學者的研究，現在我們知道，刻在羅賽塔石碑上的是古埃及的象形文字（按：其實石碑上還有平民用的埃及草書和古希臘文），而且石碑的內容還包含了數字在內。



用一根小木棒算出金字塔高度──希臘數學始祖泰利斯

從本章開始，會介紹多位在數學發展史上，留下巨大成就的數學家，好讓各位了解古代的數學，是如何演變成學生現在在小學、中學、高中，以至於大學裡學習的厲害數學。

第一位登場的是泰利斯，他是古希臘數學的始祖，也被譽為比例之神，更名列希臘七賢人之一。

泰利斯大約在兩千六百多年前，誕生於希臘的米利都（Miletus），小時候曾在商店當學徒。年紀稍長後，有一次他因為買賣上的要事，渡過地中海前往埃及。對年輕的泰利斯來說，埃及的風土人情在他眼裡無比珍貴。他在埃及生活期間，逐漸和一位寺院的僧侶結為好友。有一天，這位僧侶告訴他：「在我的寺院裡，收藏著一本獨一無二、十分珍貴的書籍，但這本書是珍藏密本，不能給任何人看」。

然而，越是禁止看的東西，人們往往越想一探究竟，這也是人之常情，泰利斯當然也不例外。他一聽僧侶這麼說，無論如何都想讀一下這本書。於是他開始幾十次、幾百次、不斷的央求僧侶。僧侶最終招架不住泰利斯的請求，看在他的面子上，便答應悄悄把書借給他。其實僧侶口中的珍藏密本，是記載數學和天文學的書。借到書的年輕泰利斯欣喜若狂，沒日沒夜的仔細研讀，終於記住了書中的全部內容。

此後，泰利斯覺得數學和天文竟然如此有趣，便把經商的事全忘了，熱切學習研讀，最終成為歷史上首位成就非凡的大數學家。

泰利斯的名聲，與他可能是史上第一位思考「比例」的人有關。今天我們可以從泰利斯測量金字塔高度的方法，來探究他對比例的想法，以及如何應用。

精準預測日蝕，平息戰爭

日蝕是因為太陽移動到月球背面，造成白天時太陽發出的光被月球遮蔽的天文現象。

大約距今二千五百四十多年前的某一天，泰利斯突然向世人宣告：「（西元前585年）5月28日這一天，太陽會在白天失去光芒，黑夜將突然造訪，星星會在天上閃爍。」

泰利斯之所以敢如此自信的發表這番驚世駭俗的宣言，背後自然是有精密計算的結果當靠山的。然而，當時的人只當他是瘋子，完全不相信他說的話。

到了5月28日這一天，太陽還真的在白天時逐漸黯淡下來，白晝變成黑夜，星星在天空中閃耀著光輝。原本把泰利斯當成瘋子的人們，到了這一刻才終於相信，他的確是知識豐富的偉大天文學家。

其實，5月28日這一天，呂底亞和米底亞這兩個國家正在激烈的戰鬥，但因為天上的太陽正如泰利斯所預言、突然失去光輝，於是交戰雙方見狀後都認為：「一定是我們兩國長久的戰爭，激怒天上的神明，看來我們還是趕快停戰，以此來平息天神的憤怒吧。」之後雙方立刻收兵回家。據說兩方的將士們都對泰利斯的預言讚譽有加。



神諭裡的幾何難題──蘇格拉底最優秀的學生柏拉圖

柏拉圖於西元前430 年，誕生於希臘的雅典（Athens）。

在蘇格拉底門下學習時，柏拉圖醉心於哲學研究，之後也成為不亞於老師的哲學家。據說蘇格拉底雖作為老師，也沒有把柏拉圖當成弟子，而是以朋友相待。

然而，正如大家所知，蘇格拉底被判處死刑，最後在監牢裡服毒、結束生命。老師的過世令柏拉圖非常哀痛，便隻身一人踏上旅程，前往他鄉遊歷，長達數十年之久。在這段期間裡，柏拉圖潛心研究哲學和數學，並結交許多哲學家和數學家為友。據說當他停留在義大利時，還曾和畢達哥拉斯學派的人深入交流。

柏拉圖經過了漫長的學習和旅行後返回故鄉，在雅典近郊的阿卡德米亞（Akadēmía）森林附近開設學校。許多聽聞柏拉圖學術盛名的人，還從遙遠的國度前來。

據說，柏拉圖在他開辦的學校門口掛了一塊牌子，上頭用斗大的字寫著：「不懂幾何學的人，不得入學。」由此可知柏拉圖多麼重視幾何學了。

關於柏拉圖，還有一則有名的故事。

當時，恐怖的傳染病侵擊了希臘的提洛島（Delos），島上每天都有十幾人被奪走性命。當地的居民見狀，認為憑藉人類的力量不可能克服這場瘟疫，於是轉而詢問該島的守護神阿波羅，該怎麼做才能終止疾病蔓延。阿波羅透過神諭說到：「只要你們把神殿中的正立方體祭壇加大一倍，我就立刻終止瘟疫蔓延。」島上居民們聽到神諭後無不歡欣鼓舞，立刻把正立方體的祭壇，以兩倍的邊長、重新製作成更大的正立方體祭壇，然後獻給阿波羅。

島民們原本以為獻上祭壇後，瘟疫應該就會平息下來，然而，疫情非但沒有趨緩，反而越來越嚴重。於是島民們便把神諭的內容，拿去請教一位數學家。數學家了解來龍去脈後，告訴他們：「乙的邊長不過是甲的兩倍而已，如此一來，乙的體積會變成甲的八倍。這麼做只會造成天神不悅。」聽了數學家解釋後，島民們才發現搞錯了，只是把邊長加倍所製作的祭壇，體積會是原本的八倍。

於是，島民們又製作了另一個與原祭壇甲一樣大小的祭壇，將其擺放在旁邊，獻給神明。但就算這麼做，瘟疫還是沒有平息的跡象。

無計可施的島民只好再次詢問阿波羅，到底哪裡出了問題。這次神諭說：「你們確實把祭壇的大小變成兩倍，但這個祭壇的形狀不是立方體。我想要的新祭壇，是體積為原祭壇的兩倍，且形狀是立方體」。

到底該怎麼做，才能在維持立方體形狀的情況下，把體積變成兩倍？

這個問題難倒了島上的居民和那位數學家。不久後，這道難題也傳到了柏拉圖耳裡。

為了島上的居民，柏拉圖開始研究該問題。起初，他想僅靠直尺和圓規來解答，卻怎麼樣也找不到正確的解答。

尼羅河帶來的恩賜

接下來，故事就從埃及開始說起。

尼羅河的源頭遠在埃及的內陸地區，沿途流經沙漠地帶。每年到了雨季，大量的雨水會使尼羅河河水暴增，因而導致下游地區氾濫。然而，也正因如此，尼羅河上游的肥沃土壤便會沖到下游地區，讓這裡的河畔成為適合農業發展的土地。人類文明在這樣的土地上綻放，實屬自然。

但是尼羅河的定期氾濫，同時會破壞人們辛苦規畫的田畝。為此，埃及每逢河水氾濫時，國王就得減免受水患影響的人民的稅金才行。而在洪災過後，也得重新劃分土地。

就這樣，為了計算稅金所須的算數，以及測量土地時用的...

推薦序

感受到數學思維的威力，怎麼不愛上數學！

國立臺灣師範大學數學系名譽教授／林福來

這是一本故事書。在歷史的軸線上，述說著自遠古人類祖先如何認識數字，一路推進到十七世紀，我們小學、國中數學單元學到的內容，包括這些公式、定理，是由哪些人、如何被創造、被發現的。一本故事書，又如何能「讓人愛上數學」？閱讀本書後，我跟大家分享幾項特點。

一、故事超乎想像，趣味十足

很多人喜歡寵物，貓、狗、馬、鳥等。主人與動物之間往往互動良好，總覺得自己的寵物好聰明！但動物到底有多聰明？怎麼檢測牠們的IQ？本書在一開始就問，動物能分辨數量多寡嗎？這本書的故事調性，在於激發讀者的想像力、有趣，促使我們想更親近故事的背景知識！

二、解惑

正負得負，負負得正！有關正、負數的乘、除運算法則，很多人在國中時都是用背的，而不知其所以然！本書用專章（第11章)說明這些法則，簡單明白，很有說服力，讓讀者感受到：「運算法則原來如此！」同時也解除了只能依靠背誦，擔心遺忘或記錯的不安。

三、「探索知識源頭」的迷人之處

學校所教的數學知識，聚焦概念與程序性知識，很少追溯它們是如何產生的。本書則著重述說數學單元內容的源起。例如，巴比倫人的數系為何採用六十進位制，跟一圓周角是360度有關嗎？巴比倫人認為地球是宇宙中心，從地球觀察太陽，每天偏的角度就是1度。這是角度測量的起源。

再如，數學知識體系的形式表徵「定理與證明」，整個數學殿堂建築，都奠基於此形式。西元前三世紀歐幾里得（Euclid）編著的《幾何原本》（Euclid's Elements），就是形式化數學體系的典範。那麼最早創用「定理與證明」表徵的，是歐幾里得嗎？不對，比歐幾里得早300年的泰利斯（Thales of Miletus），就已形式化數學知識了！「他從埃及人豐富的經驗中，提取一般認為是正確的內容，然後將其以定理的方式呈現並證明。」泰利斯證明的幾何定理，包括「兩直線相交，對頂角相等」、「等腰三角形，兩底角相等」、「ASA（兩角，且夾邊相等）三角形全等定理」。探討知識源頭，是迷人的。

四、搭配生活軼事，讓數學家更富有人性、可親

本書第二部，以擁有巨大成就的數學家定章名，從西元前六世紀的泰利斯到十七世紀的牛頓（Isaac Newton）。泰利斯研究天文，預言西元前585年5月28日有日蝕。當時兩個國家正在激烈戰鬥。當天天色突然逐漸黯淡，白晝變為黑夜，交戰雙方見狀，都認為：「一定是兩國長久戰爭，激怒天神，趕快停戰，以平息天神的憤怒吧！」雙方立刻收兵，將士們都對泰利斯讚譽有加。

再說到牛頓，他愛貓，家裡各個房間之間都打了貓洞。有一天，牛頓的母貓生了好多隻小貓。牛頓立即吩咐男僕，在原貓洞旁再打幾個小洞，方便小貓進出。直到男僕提醒說，小貓也可鑽大洞通行啊！牛頓才恍然！這樣的牛頓，當然親民了！

五、問題解決的思維，貫穿所有故事

如何用一根木樁，測量幾十公尺的金字塔高度？如何用一條繩子，做出直角？

除了數學問題解決的思維，一般化、特殊化、猜想、說服等都自然的融入了故事中，讓讀者容易品味。此外，關於日常生活問題的解題思維，讀起來也津津有味。例如，泰利斯原本是鹽商，以騾子駝鹽運送販賣。有一次騾子在河中跌跤，爬起來後因鹽溶於水，背上變輕了。好逸惡勞，騾子表現得淋漓盡致，每次過河都故意跌跤。如果你是泰利斯，要如何糾正騾子不利於主人的行為習性？

在閱讀過程中，體驗了數學思維用於解決問題的威力，又怎能不愛上數學！

推薦序

感受到數學思維的威力，怎麼不愛上數學！

國立臺灣師範大學數學系名譽教授／林福來

這是一本故事書。在歷史的軸線上，述說著自遠古人類祖先如何認識數字，一路推進到十七世紀，我們小學、國中數學單元學到的內容，包括這些公式、定理，是由哪些人、如何被創造、被發現的。一本故事書，又如何能「讓人愛上數學」？閱讀本書後，我跟大家分享幾項特點。

一、故事超乎想像，趣味十足

很多人喜歡寵物，貓、狗、馬、鳥等。主人與動物之間往往互動良好，總覺得自己的寵物好聰明！但動物到底有多聰明？怎麼檢測牠們的IQ？本書在一開始...

數學的發展簡史

本書從動物是否具備數字概念、人類的祖先如何認識數字，以及他們是用什麼方法數數兒、過程中手和腳發揮的功能開始，一路談到現在已知人類歷史上最古老的數字──古埃及和古巴比倫的數字是什麼模樣，然後談到數學在古希臘的發展，以至歐洲在繼承古希臘數學的基礎上，由帕斯卡、笛卡兒、牛頓以及歐拉等人，在數學領域留下的偉大成就等，概略的敘述自數字誕生到數學發展的歷程。

我開始撰寫本書，可回溯至第二次世界大戰爆發前的1936 年。撰寫完成後，當時由小山書店負責出版。二次大戰結束，小山書店將這本《讓三代人愛上數學的啟蒙書》納入「梟文庫」系列，我也全面重新改寫書中內容，作為該系列的第五卷重新問世。

對我來說，這是我撰寫的第一本書，因此也非常喜愛它。此次承蒙小山久二郎的好意以及角川書店的推薦，本書有幸成為角川文庫的一員再次出版。能讓更多人讀到這本書，實在讓我感到無比的欣喜。

數學的發展簡史

本書從動物是否具備數字概念、人類的祖先如何認識數字，以及他們是用什麼方法數數兒、過程中手和腳發揮的功能開始，一路談到現在已知人類歷史上最古老的數字──古埃及和古巴比倫的數字是什麼模樣，然後談到數學在古希臘的發展，以至歐洲在繼承古希臘數學的基礎上，由帕斯卡、笛卡兒、牛頓以及歐拉等人，在數學領域留下的偉大成就等，概略的敘述自數字誕生到數學發展的歷程。

我開始撰寫本書，可回溯至第二次世界大戰爆發前的1936 年。撰寫完成後，當時由小山書店負責出版。二次大戰結束，小山書店將這本《讓三代人愛上數...

推薦序 感受到數學思維的威力，怎麼不愛上數學！／林福來

第一部 算數與數字
第一章 動物能分辨數量嗎？
第二章 遠古人類如何數數？
第三章 十根手指頭和十進位法
第四章 尼羅河帶來的恩賜
第五章 巴比倫數學，離不開六十進位法
第六章 各式各樣的記數法

第二部 數學家的故事
第七章 用一根小木棒算出金字塔高度──希臘數學始祖泰利斯
第八章 世界上最知名的定理──畢氏定理發現人畢達哥拉斯
第九章 神諭裡的幾何難題──蘇格拉底最優秀的學生柏拉圖
第十章 你現在還在讀他寫的教科書──《幾何原本》作者歐幾里得
第十一章 國王的軍事技師──幾何學之神阿基米德
第十二章 算術與代數的發展
第十三章 英年早逝的數學家──法國天才帕斯卡
第十四章 連接了幾何與代數──法國貴族笛卡兒
第十五章 小時候成績吊車尾──史上最偉大科學家牛頓

第三部 歐拉與一筆畫問題
＜解答＞
後記　數學的發展簡史

推薦序 感受到數學思維的威力，怎麼不愛上數學！／林福來

第一部 算數與數字
第一章 動物能分辨數量嗎？
第二章 遠古人類如何數數？
第三章 十根手指頭和十進位法
第四章 尼羅河帶來的恩賜
第五章 巴比倫數學，離不開六十進位法
第六章 各式各樣的記數法

第二部 數學家的故事
第七章 用一根小木棒算出金字塔高度──希臘數學始祖泰利斯
第八章 世界上最知名的定理──畢氏定理發現人畢達哥拉斯
第九章 神諭裡的幾何難題──蘇格拉底最優秀的學生柏拉圖
第十章 你現在還在讀他寫的教科書──《幾何原本》作者歐幾里得
...