名人推薦：▎推薦人士與各界好評——

►「以風趣的寫作介紹必勝投注法的歷史和最新進展，讓我們了解數學和電腦如何成為強大的博奕、運動賽事和投資的輔助工具。」——《數學大觀念》作者亞瑟‧班傑明

►「賭客和數學迷都會喜歡本書探討真實世界問題的切入角度。」——《柯克斯書評》

►「將博奕如何影響科學、科學又如何影響博奕的故事寫得相當成功。淺顯易讀，同時具備深厚的學術底蘊。」——牛津大學教授J・杜恩‧法馬

►「用許許多多故事敘述這些鬼才如何運用數學、統計學和科學嘗試超越機率。」——劍橋大學教授大衛‧史匹格赫爾特

►「闡述...

◎第八章　超越算牌（節錄）

如果你有機會走進拉斯維加斯的賭場，可以抬頭看一下。賭場天花板裝著好幾百台攝影機，好像黑漆漆的雙筒望遠鏡，隨時觀察底下的賭桌。這些人造眼睛的功能，是防止腦筋或手指動得特別快的人造成賭場收入減少。1960年代之前，賭場對這類作弊的定義相當明確。賭場只需要擔心荷官輸太多，或賭客在輪盤小球停止後，偷偷把大額籌碼推進已經放下的賭注中。這些賭局本身沒問題，它們都不可能被打敗。

不過這其實並不正確。愛德華．索普發現廿一點中有個漏洞，還以這個主題寫了一本暢銷書。後來有一群物理系學生，破解了輪盤這個自古就被視為機率遊戲的象徵。在賭場之外，有人甚至藉助數學原理和人力贏得彩券頭獎。

現在，關於贏錢究竟取決於運氣或技術的爭議，已經遍及其他賽局，甚至可能影響曾經獲利極高的美國撲克產業。2011年，美國政府下令關閉數個大型撲克網站，宣告瀰漫全美各地長達數年的「撲克爆炸」時期結束。這次大動作依據的是2006年通過的「非法網路博奕執法法案」。這個法案禁止涉及「獲勝機會受機率主導」的遊戲之銀行轉帳行為，它雖然有助於防堵撲克蔓延，卻不包含股票交易或賽馬。那麼我們該怎麼確定機率賽局的關鍵要素是什麼？

2012年夏天，這個答案對某個人而言價值非凡。美國聯邦政府除了解散主要撲克公司，還開始追捕小型賭局經營者，在紐約州史塔頓島經營撲克館的勞倫斯．迪克里斯提納（Lawrence DiCristina）也是其中之一。他的案子於2012年開始審理，後來被判經營非法賭場。

迪克里斯提納展開平反行動，過了一個月，他到法院申辯。在聽證庭中，迪克里斯提納的律師申請經濟學家藍道爾．希柏（Randal Heeb）擔任專家證人。希柏的目標是說服法官撲克是技巧賽局，因此不屬於非法賭博。希柏提示證據時，呈示了數百萬局撲克牌的資料。他指出，扣除運氣不好的幾天，頂尖玩家幾乎天天贏錢。相反地，牌藝最差的玩家幾乎一年到頭都在輸錢。有些人能靠打撲克牌為生，證明這種賽局確實需要技巧。

檢方也請來經濟學家大衛．迪羅沙（David DeRosa）擔任專家證人。他對撲克的看法和希柏不同。迪羅沙用電腦模擬1000個人各自拋擲硬幣一萬次的狀況。假設某個結果（假設是背面）代表獲勝，而某個人在拋擲中獲勝的次數完全為隨機。這個結果跟希柏提出的結果非常接近：有幾個人似乎經常獲勝，另外有一群人則輸了很多次。這不代表拋擲硬幣需要技巧，只代表觀察範圍擴大到一定程度時，就可能出現罕見事件。

迪羅沙探討的另一點是輸錢的玩家人數。依據希柏的資料，線上撲克玩家最後輸光光的比例大約是95％。迪羅沙說：「如果絕大多數人都輸錢，我們怎麼能說它是技巧性賽局？如果我們只因為運氣比較好，輸的錢就比其他賭客更少，那麼我絕對不相信它是技巧賽局。」

希柏也承認，在某些賽局中只有10％至20％玩家的技巧足以經常贏錢。他說，輸家之所以比贏家多出許多，有部分要歸因於撲克業者從每一局的總注金中抽取多少費用（迪克里斯提納這裡的費率是5％）。但他認為，牌藝高超的撲克好手存在並非取決於機率。雖然許多人拋擲硬幣時，會有一小群人看起來總是贏，但撲克好手取得極佳成績後還是經常獲勝，但拋擲硬幣時運氣很好的人則不一定會如此。

希柏表示，高手贏錢的部分原因是撲克中玩家可以控制事件。投注者對運動比賽或輪盤下注時，並不會影響結果。但撲克牌玩家則可透過下注影響牌局結果。希柏說：「撲克牌局中的賭注，跟牌局結果的賭注不一樣。賭注是我們執行策略時的選擇，我們是在試圖影響牌局結果。」

但迪羅沙認為，單以幾局牌來觀察玩家的表現並不合理。莊家發出的牌每次都不一樣，所以每局牌彼此沒有關聯。即使單一局牌受運氣影響很大，也不能認為玩家輸錢之後就會贏錢。迪羅沙把這種狀況比做蒙地卡羅錯覺。他說：「就算輪盤連續開出20次紅色，也不代表下次一定是黑色。」

希柏承認單一局牌的運氣成分很高，但並不表示牌局的主導因素是運氣。他以棒球投手當作例子。投球雖然與技巧有關，但單單一球也可能受機率影響：實力較弱的投手可能投出好球、很強的投手也可能投得很差。想找出最強（和最弱）的投手，必須觀察很多球才行。

希柏認為，最重要的問題是：技巧對牌局的影響，需要多久才能超越機率？如果需要很多局（超過大多數人打牌的局數），撲克就應該視為機率賽局。但希柏的線上撲克分析顯示並非如此，只需要相當少的局數，技巧就能超越運氣。因此牌藝高超的玩家只要打過幾個時段就能夠領先。

負責審理兩造主張的，是紐約出身的傑克．溫斯坦（Jack Weinstein）法官。溫斯坦指出，用以起訴迪克里斯提納的法律（非法博奕法案）列出了輪盤和吃角子老虎等賭局，但並未明確提到撲克牌。他還表示，法律未詳細說明細節並非沒有前例。1926年10月，機場人員威廉．麥克波義耳（William McBoyle）在伊利諾州渥太華共謀竊取一架飛機。雖然他因為違反「美國國家機動載具竊盜法」而被定罪，但對判決提起上訴。他的律師主張這個法案並未明確涵括飛機，因為該法案對載具的定義為「汽車、機動卡車、機動貨車、摩托車，或任何可自行移動且非行駛在軌道上的載具」。麥克波義耳的律師指出，這表示飛機並非載具，因此麥克波義耳並未觸犯運輸贓車的聯邦罪。美國最高法院對此表示同意。他們指出，該法律條文僅提及在陸地行駛的車輛，所以不能僅因飛機似乎應該適用類似規則，就將該法律適用範圍擴及飛機，因此推翻原判決。

溫斯坦法官表示，博奕法案雖然並未提到撲克，但不代表撲克不是賭博，不過此疏漏確實代表機率在撲克中扮演的角色有待討論。溫斯坦也認為希柏提供的證據令人信服。以往，各地法院都未曾依據聯邦法，判定撲克究竟是不是賭博。溫斯坦於2012年8月21日做出結論，認定撲克的主導因素是技巧而非機率。換句話說，撲克並非聯邦法律中的賭博，因而推翻迪克里斯提納的原判決。

不過這次勝利相當短暫。溫斯坦雖然判定迪克里斯提納並未違反聯邦法，但紐約州對賭博的定義更加嚴格。紐約州法律的適用範圍涵括所有「在一定程度上包含機率成分」的賽局。結果，迪克里斯提納的無罪判決於2013年8月又被推翻。溫斯坦對運氣和技巧的相對角色的裁定並未受到質疑，然而州法律認為撲克依然符合博奕業的定義。

迪克里斯提納這案例，正屬於撲克這類賽局中究竟有多少運氣成分的爭議，而且這類爭議越演越烈。「一定程度的機率成分」這樣的定義，日後一定會引起更多問題。由於博奕跟某些金融交易相當接近，所以這個定義也包含某些金融投資行為嗎？才華和僥倖又應該如何分辨？

＊＊＊

我們很容易把賽局分成「運氣」和「技巧」兩類，輪盤通常被當成純屬運氣的代表，應該會被歸在「運氣」，而許多人相信只受技巧影響的西洋棋應該歸在「技巧」。但事情沒那麼簡單。首先，我們心目中的隨機過程通常很不隨機。

輪盤雖然普遍被視為隨機性的極致，但已經先後被統計學和物理學破解。其他賽局也被科學一一征服。撲克玩家運用賽局理論，投注集團也把運動投注變成投資。在洛沙拉摩斯國家實驗室研發氫彈的烏蘭表示，技巧成分在這類賽局中不一定看得出來。他說：「習慣性運氣或許真的存在。打牌很好運的人可能擁有某些潛藏的才能，讓他們在有技巧成分的賽局中無往不利。」烏蘭認為科學研究也是如此。有些科學家似乎經常運氣很好，讓人不得不相信他們擁有某種才能。十九世紀的化學家路易．巴斯德（Louis Pasteur）曾經提出類似概念，他的說法是「機會是留給準備好的人」。

運氣很少隱密到無法發現。運氣成分或許無法完全排除，但歷史告訴我們，技巧通常可以在某種程度上取代運氣。此外，我們認為完全依靠技巧的賽局往往並非如此。就以西洋棋為例，西洋棋局本身不具隨機性，因為如果雙方每次都走相同的棋步，結果就一定會相同。但運氣還是有影響。因為最佳策略不明，所以一連串隨機棋步有可能打敗最強的棋手。

可惜我們在做決定時，對機率的想法有時相當一廂情願。如果選擇正確，我們會歸因於技巧，如果選擇失敗，就認為一定是運氣不好。我們對技巧的想法也很容易因為外在來源而偏誤。報紙經常報導企業家抓住趨勢賺了大錢，或是名人突然變得家喻戶曉。我們也聽過新進作家突然寫出暢銷書，樂隊一夕之間爆紅的故事。我們看到別人成功，好奇他們為什麼那麼特別。但如果他們不特別呢？

2006年，哥倫比亞大學的馬修．薩爾加尼克（Matthew Salganik）等人，發表一項人工「音樂市場」研究。這項研究請參與者下載、聆聽和評分幾十首樂曲。參與者共有1萬4000人，研究人員私下把他們分成9組。其中8組的參與者看得見同組參與者喜歡哪些歌曲。最後一組是對照組，參與者不知道別人下載了什麼。

研究人員發現，對照組中最受喜愛的歌曲（判定標準只有歌曲本身好不好聽，而非其他人下載什麼歌），在另外8組中不一定受歡迎。事實上，其他8組的歌曲排名差異相當大。「最佳」歌曲雖然通常會有不少人下載，但不一定很受喜愛。相反地，受歡迎程度的發展通常分成兩個階段。在第一個階段，參與者選擇哪些歌曲取決於隨機性。接下來，這些歌曲被下載後，受歡迎程度則會因社會行為而放大，參與者看到排名後會效法同組參與者。這項研究的作者之一彼得．史瑞登．多茲（Peter Sheridan Dodds）後來寫道：「本質對流行程度的影響遠比我們想的小，而受流行群眾特質的影響大得多。」

避險基金元盛資產管理公司的馬克．羅爾斯頓（Mark Roulston）和大衛．漢德（David Hand）指出，流行程度的隨機性也可能影響投資基金排名。他們在2013年指出：「我們來看看一群不具技巧的基金，其中有些基金完全靠運氣獲得不錯的報酬，吸引不少投資者，表現不佳的基金則會下市並隱藏結果。所以如果觀察這些仍然存在的基金，我們會覺得它們擁有一些技巧。」

運氣和技巧之間（也是賭博和投資之間）的界線，沒有我們想的那麼分明。彩券應該是最典型的賭博，但累積幾個星期之後，期望報酬就會由負轉正，也就是買下所有號碼組合仍然能賺錢。這樣的轉變有時會反過來，讓投資變得像賭博。英國相當風行的溢價債券（Premium Bond）就是個例子。買這種債券不像一般債券可以獲得固定比例的利息，而是參加每月一次的抽獎，頭獎是100萬英鎊而且不用扣稅，另外也有一些小獎。民眾投資溢價債券時，其實是用原本可賺到的利息來賭博。如果拿這些錢投資一般債券、提領利息，再用這些錢買累積的彩券，期望報酬其實也沒什麼不同。

如果要把已知狀況中的運氣和技巧成分分開，必須先想辦法測定這兩種因素，但有時度量結果很容易受微小的變化影響，看似無關緊要的決定也可能使結果完全不同。個別事件可能造成出乎意料的影響，尤其是足球和冰球等進球數比較少的運動。一次大膽的傳球，可能帶來決勝的一球，或讓冰球打到門柱。我們看冰球時，該如何分辨精湛球技和多次幸運攻門帶來的勝利？

冰球分析專家布萊恩．金恩（Brian King）在2008 年時，提出測定某個 NHL 球員幸運程度的方法。他說：「我們先假裝有個統計數字稱為『狗屎運』。」為了計算這個統計數字，他計算了這名球員在場上時，所屬球隊進球總數占其所有射門的比例，以及對手設門時將球救下的比例，再把這兩個值相加。金恩主張，雖然創造射門機會需要許多技巧，但運氣對於射門能否進球的影響比較大。令人擔憂的是，金恩把這個統計數字套用在當地NHL冰球隊後發現，最幸運的球員會獲得續約，不幸運的球員則被釋出。

這個統計數字後來依照金恩在網路上的外號，被稱為PDO，也被引進其他運動中，用來評估球員（和球隊）的幸運程度。2014年世界杯足球賽中，有好幾支頂尖球隊沒有進入會內賽。西班牙、義大利、葡萄牙和英格蘭都在第一輪慘遭淘汰。這是因為這些球隊實力不夠還是運氣不好？英格蘭隊是有名的運氣不佳，從進球不算到罰球不進等不一而足。2014年似乎也不例外：英格蘭的PDO在與賽各隊中最低，只有0.66。

我們或許可以把PDO很低的球隊想成運氣很差。它們可能有個特別容易失誤的前鋒或很糟的守門員。但長期而言，一支球隊的PDO極少一直非常低（或非常高）。如果分析的場數更多，球隊的PDO很快就會趨近這支球隊的平均值。這就是高爾頓說的回歸平庸現象：如果一支球隊的PDO在幾場比賽後明顯高於或低於1，可能就是運氣的影響。

PDO這類統計數字可能很適合用於評估球隊的幸運程度，但在下注時未必很有幫助。賭客對預測比較有興趣，換句話說，賭客想知道代表實力的因素，而不是代表運氣的因素。但這對真正了解技巧有多少幫助？

就以賽馬為例。預測賽馬場上的事件過程相當麻煩。從過往經驗到跑道狀況等，各種因素都可能影響馬匹在比賽中的表現。其中有些因素對未來狀況提供清楚的訊息，有些則只會使預測更模糊。為了了解哪些因素真正有用，投注集團必須蒐集可靠及重複的比賽觀察結果。香港是班特所知最接近實驗室環境的地方，參與比賽的賽馬相同，比賽間隔固定，而且跑道相同且狀況類似。

班特運用自己的統計模型，找出使比賽預測結果正確的因素。他發現有些因素特別重要。舉例來說，在班特早期的分析中，模型指出馬匹以往出賽的場數在進行預測時，是非常重要的因素──事實上可以說是最重要的因素。這個發現或許並不令人意外。出賽場數較多的賽馬通常已經習慣這個場地，也比較不害怕對手。

對觀察到的結果提出解釋很容易。看到似乎很直覺的描述，我們可以告訴自己為什麼會這樣，以及我們為什麼不應該對結果感到驚訝。這在進行預測時往往是個問題。我們提出解釋時，是假設一個過程直接造成另一個過程。香港的賽馬獲勝的原因是牠們熟悉場地，而熟悉場地是因為牠們已經在此比賽過許多場。但兩件事顯然有關（例如獲勝機率和出賽場數），並不表示其中一件事直接造成另一件事。

統計學界經常引用這一句名言：「相關不蘊含因果」（correlation does not imply causation）。我們來看看劍橋大學各學院的葡萄酒預算。2012至2013學年度，劍橋大學各學院花在葡萄酒上的總金額，與學生在同一期間的考試成績正相關。學院花越多錢買葡萄酒，考試成績通常越好（皮爾森和圖靈曾經就讀過的國王學院高居第一，花了33萬8559英鎊，平均每名學生約850英鎊）。

其他地方也有這樣奇怪的現象。巧克力消費量很高的國家，諾貝爾獎得主也比較多。紐約市冰淇淋銷售量上升時，殺人率會跟著提高。當然，買冰淇淋不會讓我們想殺人，吃巧克力不會讓我們變成獲得諾貝爾獎的優秀研究人員，喝葡萄酒也不會讓我們的考試成績變好。

這些例子可能都有個隱藏因素可以解釋其現象。在劍橋大學的例子中可能是財富，財富可能同時影響葡萄酒花費和考試成績。此外，觀察結果背後或許還有更複雜的理由。所以班特不打算解釋他的賽馬模型中，為什麼有些因素格外重要。一匹賽馬的出場次數，可能與另一個直接影響表現的（隱藏）因素有關。此外，出賽場數和其他因素（例如體重和騎師經驗）之間，可能有錯綜複雜的權衡關係，班特也不打算把這類關係簡化成「A造成B」的結論。不過，如果這樣能提出正確預測，他也很樂於拋開簡潔和解釋。班特的因素是否違反直覺或難以服人並不重要。這個模型的功能是估算某匹賽馬的獲勝機率，不是解釋這匹馬為什麼會贏。

從冰球到賽馬，運動分析方法近年已有長足的進步。這些方法讓賭客更深入地研究比賽、規模更大的模型和更精細的資料。現在，科學化投注已經遠遠超越算牌。

◎第八章　超越算牌（節錄）

如果你有機會走進拉斯維加斯的賭場，可以抬頭看一下。賭場天花板裝著好幾百台攝影機，好像黑漆漆的雙筒望遠鏡，隨時觀察底下的賭桌。這些人造眼睛的功能，是防止腦筋或手指動得特別快的人造成賭場收入減少。1960年代之前，賭場對這類作弊的定義相當明確。賭場只需要擔心荷官輸太多，或賭客在輪盤小球停止後，偷偷把大額籌碼推進已經放下的賭注中。這些賭局本身沒問題，它們都不可能被打敗。

不過這其實並不正確。愛德華．索普發現廿一點中有個漏洞，還以這個主題寫了一本暢銷書。後來有一群物理系學生，破解了...

◎〈前言〉

2009年6月，一份英國報紙報導，曾經擔任金融交易員的艾略特．薛爾特（ElliotShort）靠賭馬賺進兩千多萬英鎊。他買了賓士車、請了司機，把辦公室設立在倫敦最昂貴的騎士橋地區，還經常在倫敦的高級夜總會一擲千金。

這篇報導指出，薛爾特贏錢的策略非常簡單：只要跟大眾反向操作就好。因為最被看好的賽馬不一定會贏，所以採用這種方法有可能賺到大錢。薛爾特運用這方法在英國最著名的幾次賽馬中賺到大筆財富，包括在切爾滕納姆賽馬節（CheltenhamFestival）贏得一百五十萬英鎊，以及在皇家賽馬會（RoyalAscot）贏得三百萬英鎊等。

這篇報導只有一個問題，就是它並非百分之百真實。薛爾特宣稱在切爾滕納姆賽馬節和皇家賽馬會贏到大錢，但其實他根本沒下過注。他說動大眾拿出數十萬英鎊投資他的下注系統，自己則拿這些錢度假和吃喝玩樂。最後，投資人開始質疑薛爾特，他也遭到逮捕。2013年4月法院審理這個案件時，薛爾特獲判有罪並處以五年徒刑。

有那麼多人受騙似乎令人難以置信，但穩贏不輸的投注系統確實滿吸引人的。我們總認為不可能贏過賭場和賭博業者，但賭博致富的報導完全顛覆了這種觀點。這類報導意味著機會賽局有某些漏洞，只要我們夠聰明找出來，就能利用它大賺其錢。隨機性可以推測得到，財富則受公式控制。這類想法非常誘人，許多賽局從問世之初就有人努力試圖找出漏洞。然而，人們追尋穩贏不輸的投注方法所影響的，遠不只是賭徒─自古至今，賭博已經完全改變我們對運氣的理解。

＊＊＊

十八世紀，巴黎的賭場出現史上第一具輪盤時，賭客很快就開始構思新的投注方法。這些策略的名稱大多很吸引人，成功率也相當嚇人。有一種方法稱為平賭法（martingale），源自一種用於吃角子老虎的策略，據說保證萬無一失。它的名聲逐漸遠播，在當地賭客間極為風行。

平賭法是把賭注下在黑色或紅色。顏色不重要，重要的是賭注。賭客並非每次都下注相同金額，而是每次輸錢後就把下注金額加倍。這樣一來，賭客選到正確的顏色時，不只能贏回先前所有輸掉的錢，還會賺到與本金相當的金額。

乍看之下，這套方法似乎完美至極，但其實有個重大缺點：下注金額往往會增加得非常快，遠遠不是賭客甚至賭場負擔得起。採用平賭法或許起初能賺到一小筆錢，但長時間下來，一定會受限於賭本而難以為繼。雖然平賭法曾經相當風行，但沒有人有能力成功地採行這種策略。文學家大仲馬曾說：「平賭法就像靈魂一樣捉摸不定。」

許多賭客受這種策略吸引並持續採用的理由之一，是它從數學上看來無懈可擊。如果列出已經下注的金額和可能贏到的總金額，怎麼看都是穩賺不賠。然而實際運用時，這個算式的缺陷就會顯現出來。紙上談兵時，平賭法看來似乎不錯，但實際上它是行不通的。

談到賭博時，了解賭局背後的理論幫助很大，但如果這個理論根本還沒找到，又該怎麼辦？文藝復興時期的吉羅拉摩．卡爾達諾（GerolamoCardano）是興味十足的賭徒，他花光了繼承來的財產後，決定靠賭博賺錢。對卡爾達諾而言，這意味著要評估隨機事件發生的可能性。

在卡爾達諾的時代，我們所知的機率還不存在。當時沒有關於偶發事件的定律、沒有關於事物可能性的法則。如果有人在賭骰子時擲出兩個六點，純粹是運氣很好。對於許多賭局，沒有人能明確指出「公正」的賭注應該是多少。

卡爾達諾最先指出這類賭局可以運用數學來分析。他知道，要在機會的世界中遊走，必須知道這世界的界線何在。因此他觀察各種可能的結果，針對格外有趣的結果詳加研究。兩個骰子的可能點數組合共有36種，但只有一種組合可以得出兩個6點。此外他還研究了如何處理多重隨機事件，並提出卡爾達諾方程式，用來計算重複賭局的正確機率。卡爾達諾打牌時可以運用的武器不只才智，還有匕首，而且從不怯於使用。1525年，某日他在威尼斯打牌時，發現對手出老千。卡爾達諾說：「我發現紙牌上有記號時，立刻拿匕首劃傷他的臉，不過傷口不深。」

其後數十年，其他研究者也逐步破解機率的奧祕。在一群義大利貴族要求下，伽利略研究了為什麼某些骰子點數組合出現比較多次。天文學家約翰．克卜勒（Johannes Kepler）也在研究行星運動之餘，抽空撰寫關於骰子和賭博理論的短篇論文。

1654年，法國作家安托瓦．龔堡（AntoineGombaud）提出一個賭博問題，使機會科學興盛一時。他對以下問題感到相當困惑：究竟是投擲一顆骰子4次，在其中擲出一個六點比較難，還是投擲兩顆骰子24次且在其中擲出兩個六點比較難？龔堡認為這兩個事件的機率應該相同，但沒辦法證明，於是寫信給數學家朋友布萊茲．帕斯卡（Blaise Pascal），問他是否確實如此。

為了解答這個問題，帕斯卡求助於富有的律師及數學家皮爾．德．費馬（Pierrede Fermat）。他們以先前卡爾達諾的隨機性研究成果為基礎，逐步打造機率的基本定律，許多新觀念後來成為數學理論的核心。此外，帕斯卡和費馬還定義了賭局的期望值，這個值可用來評量重複參與某個賭局時的平均獲利。他們的研究證明龔堡的想法是錯的：投擲一顆骰子4次且在其中擲出一個六點，要比投擲兩顆骰子24次並在其中擲出兩個六點來得容易。然而，由於龔堡提出這個謎題，數學家獲得全新的概念。數學家理查．愛普斯坦（RichardEpstein）說：「賭徒可說是機率理論的乾爹。」

賭注除了協助研究者從純數學的觀點了解一次下注的價值，還透露出我們在現實生活中對決策的評價。十八世紀，丹尼爾．白努利（DanielBernoulli）想了解一般人為什麼通常偏好低風險的下注方式，而不喜歡（理論上）獲利較高的下注方式。如果期望獲利不影響財務選擇，那造成影響的究竟是什麼因素？

白努利從期望效用（expectedutility）而非期望報酬的觀點來思考，解決了賭注問題。他認為，同量金錢的價值有時較高、有時較低，取決於這個人現在有多少錢。舉例來說，一塊錢對窮人的價值就比對有錢人來得高。研究人員蓋布瑞爾．克萊曼（GabrielCramer）表示：「數學家依據金額估計金錢的價值，觀念正確的人則依據用途來估計。」

這類看法相當有用。的確，效用概念是整個保險業的重要基礎。大多數人不喜歡平時不用付款，等發生狀況時才付出一大筆錢，而寧願選擇定期且可預期地支付，即使付出的總金額更多也無妨。我們購買保險與否取決於其效用。如果重置或更換某樣東西的成本很低，我們通常就不會買保險。

在這本書中，我們將介紹賽局理論、統計學到混沌理論和人工智慧等，探討賭博對科學思維的影響。科學和賭博的關係如此錯綜複雜，其實並不令人意外，畢竟賭注可說是一窺機率世界的窗口。賭博告訴我們如何權衡風險和報酬，以及我們為什麼會隨環境而改變對事物的評價；它還幫助我們了解我們如何做決定，以及該如何控制運氣的影響。賭博涵括數學、心理學、經濟學和物理學，是對隨機（或看似隨機的）事件有興趣的研究者注目的焦點。

科學和下注間的關係不只對研究人員有用。賭徒越來越常運用科學觀念，開發成功的下注策略。在許多例子中，科學概念形成完整的循環：有些方法原本出於學術好奇，後來又被運用到現實世界中，試圖在賭場中獲利。

＊＊＊

著名物理學家理查．費曼於1940年代初次前往賭城拉斯維加斯，他在形形色色的賭局間遊走，研究他可能會贏多少錢（其實應該說會輸多少錢）。他的結論是，擲骰子雖然不是最公平的賭局，但其實沒有那麼糟：他每下注一美元的平均期望損失是0.014美元。當然，這是嘗試過很多次之後的期望損失。費曼嘗試這種賭局時運氣特別差，馬上就輸了五美元，這已經足以嚇得他再也不敢在賭場賭博。

儘管如此，多年之間費曼還是去了好幾次賭城。他特別喜歡跟賭場女郎聊天。有一次他去賭城時，跟一位叫瑪麗蓮的藝人共進午餐。他們吃午餐時，瑪麗蓮指著一個在草地上散步的人。這個人是著名的職業賭徒尼克．丹德羅斯（Nick Dandolos），外號「希臘人尼克」。費曼覺得這件事很奇怪。他計算過賭場裡每種賭局的機率，想不通希臘人尼克怎麼可能一直賺錢。

瑪麗蓮叫希臘人尼克到他們這一桌來，費曼問他怎麼可能靠賭博為生。尼克答道：「我只在機率對我有利時下注。」費曼不大懂他的意思，機率怎麼可能對某人有利呢？希臘人尼克告訴費曼他賺錢的真正祕訣。他說：「我不在賭桌上下注，而是找特別迷信幸運數字等有某些偏見的賭客，跟他們對賭。」尼克知道賭場有優勢，所以他轉而跟天真的賭客對賭。他和運用平賭策略的巴黎賭徒不同，他了解賭局，也了解賭博的人。他的眼光超越各種賭博策略（這些策略只會讓他輸錢），找出方法使機率轉而對他有利。算出機率不是最困難的部分，真正重要的技巧是把這些知識轉換成有效的策略。

儘管虛張聲勢的多、真正有料的少，多年以來仍然流傳著許多賭博策略成功的故事。有些傳聞說某個集團找到彩券的漏洞，或是某一批人在有瑕疵的輪盤上賺了一大筆錢。還有一些學生（通常是數學相關科系）藉由算牌發了一筆小財等等。

但是近年來，更先進的觀念已經超越了這些技巧。從預測運動比數的統計學家，到擊敗人類智慧型演算法的發明者，人類一直在尋求新方法贏過賭場和莊家。但究竟是誰把堅實的科學概念轉換成真金白銀？還有，他們的策略又從何而來？

贏錢的新聞通常聚焦在賭客的身分或贏了多少錢。科學化的下注方法經常被當成數學戲法看待，重要概念往往忽略不談，理論更沒人關心。但我們應該關注的是：這些戲法是怎麼變出來的？自古以來，賭博經常啟發新的科學領域，讓人類更理解運氣和決策，這些方法也擴及科技和金融等各個領域，如果我們能發掘出現代下注策略的內部機制，就能了解科學方法如何不斷挑戰我們對機會的看法。

從簡單到複雜、從大膽到荒謬，賭博產出了各種令人驚奇的觀念。在世界各地，賭徒不斷挑戰預測的極限，以及秩序與混沌間的界限。有些賭客研究決策和競爭的精微之處，有些觀察人類行為的怪癖，以及探討心智的特質。透過分析成功的下注策略，我們將可以了解賭博如何持續影響我們對運氣的理解，並且了解如何駕馭運氣。

◎〈前言〉

2009年6月，一份英國報紙報導，曾經擔任金融交易員的艾略特．薛爾特（ElliotShort）靠賭馬賺進兩千多萬英鎊。他買了賓士車、請了司機，把辦公室設立在倫敦最昂貴的騎士橋地區，還經常在倫敦的高級夜總會一擲千金。

這篇報導指出，薛爾特贏錢的策略非常簡單：只要跟大眾反向操作就好。因為最被看好的賽馬不一定會贏，所以採用這種方法有可能賺到大錢。薛爾特運用這方法在英國最著名的幾次賽馬中賺到大筆財富，包括在切爾滕納姆賽馬節（CheltenhamFestival）贏得一百五十萬英鎊，以及在皇家賽馬會（RoyalAscot）贏得三百萬英鎊等...

◎前言
數學家理查．愛普斯坦說：「賭徒可說是機率理論的乾爹。」其實不只是機率，長久以來，各領域的頂尖頭腦都深受博奕吸引，他們不斷挑戰預測的極限，探究秩序與混沌的界限，以揭曉「機會」背後的學問。從賽局理論、混沌理論、統計學、心理學、物理學、經濟學乃至人工智慧，都因「賭」而拓展了探索的疆界。了解賭的科學，你能學會洞察普遍存在的判斷盲點，更睿智地權衡風險與報酬，從而做出優質決策，控制運氣的影響。
◎第一章　三種程度的無知
輪盤的小球最終落在哪一格，是隨機的嗎？數學家亨利．龐卡赫認為，這類事件看似隨機，是因為我們不知道成因；他建議我們依照對問題的無知程度來分類問題。龐卡赫還主張，簡單的物理過程可以簡化到表面看來像是隨機─這個想法構成七十年後混沌理論的重要部分。卡爾．皮爾森仰賴統計學，藉由找出數據的重覆型態，來預測球會落在哪。資訊理論先驅克勞德．夏農與後來成為「計量金融之父」的愛德華．索普則發明史上第一具穿戴式
電腦，帶到賭場蒐集資料、即時預測小球的落點。輪盤贏錢策略的演進，反映出機率科學近一世紀來的發展⋯⋯
◎第二章　靠蠻力中彩券
怎麼做才能讓某樣東西分布得既隨機又均衡？創立現代統計學的隆納德‧費雪研究怎麼在廣大農地上灑農藥時，面臨這個問題。今日的彩券業者設法限制中獎彩券的數量，以及避免中獎彩券過度集中時，也面臨類似挑戰。包牌買彩券要贏錢，前提是什麼？投注彩券時，你的競爭對手除了莊家，還有誰？麻省理工學院的投注團隊，比競爭對手多了解了什麼，而抱得大獎歸？這一章介紹賭徒們怎麼破解美國歷來的各種彩券，以及彩券要仰賴多大的「蠻力」⋯⋯
◎第三章　從洛沙拉摩斯國家實驗室，到蒙地卡羅賭場
愛德華．索普靠著算牌狂贏「廿一點」，賭場改成用六副牌擾亂算牌客，為何效果適得其反？賭場最後索性見到專業算牌客便擋在門外，但賭香港賽馬可不用露臉。在這裡你會認識冷門偏誤、迴歸分析，了解用分析過的賽事數據來檢驗預測，其實不是好方法。
奧坎剃刀原理則教你，為何選擇最簡單的解釋反而明智（想建立某真實過程的模型，就該排除不必要特徵）。研究氫彈的數學家，對於預測賭馬結果有何啟發？投資領域的「基本分析法」要注意什麼盲點？機會賽局中常見的「馬可夫鏈」，如何有助於尋找隱含資訊？為何一味求進展往往找不出最佳解決方法，最快的解方有時會像在走回頭路？教人拿捏投資資金比例的「凱利準則」，用於賽馬時又有什麼弱點？
◎第四章　博士行家
用來預測洪水、地震、森林大火和保險損失的「極值理論」，如何跨進運動賽事？研究放射性衰變與大腦神經元活動的「卜瓦松過程」，在預測足球比賽時能起什麼作用？人性偏誤會導致我們誤判
賽事的哪些方面？為何有些投注公司反其道而行，樂於吸引精明賭客來投注？投注業者改變賠率不是為了符合結果的真實機率，那是為了啥？購買不同產業多家公司的股票，投資組合多樣性為何仍不夠？購買擔保債券憑證，你要避免什麼錯誤假設？買賣股票時若持股時間不長，常被比做賭博而非投資，然而已有研究指出，運動投注可達成與投資股市相仿的風險與報酬平衡。網際網路如何改變博奕活動的面貌？博奕合法化又有哪些有別於道德面的思考角度？

◎第五章　機器人崛起
人需要時間處理資訊、會猶豫，而且很難同時做很多事情─這正是機器人的機會。現在有許多機器人程式四處尋找失誤賠率，藉以套利；另一些機器人功能相反，會盡可能掩蓋這些資料。另外就如《快閃大對決》一書所述，有的大券商為了比競爭對手提早幾毫秒得知新事件，甚至大費周章炸山鋪路，好鋪設自己的電纜以攔截資訊。
只是機器人雖然「能人所不能」，麻煩的是它的行動未必總符合人類主人的利益。騎士資產管理公司由於更新高速交易軟體時出錯，程式自顧自不斷買進與賣出股票，鉅額損失導致該公司當年底就被收購。2013 年駭客假造新聞，稱歐巴馬因爆炸而受傷，金融市場反應速度似乎並非出自人類交易員之手，這是好是壞？機器人崛起後，傳統金融理論已經遠遠不足，我們應該把投注或金融市場視為生態系，而非固定不變的經濟法則，那麼我們對生態系的理解，哪些正確、哪些有誤呢？
◎第六章　虛張聲勢闖天下
賽局理論用在資訊全部已知的賽局上效果最好，那麼若是運用在複雜到難以理解的情境時，會出現什麼狀況？西洋棋與許多種撲克牌玩法非常複雜，不論是人類或電腦都還找不出最佳策略。金融市場也有類似問題─許多重要資訊雖已隨手可得，但有更多交互作用的影響因子難以掌握。
賽局沒有達到最佳結果時，參與者的決定不會趨向平衡，反而會大幅震盪，混亂難解的決策變得更加常見，就如同碎形理論之父本華．曼德博所發現違反一般直覺的現象：股票市場「大變化後面往往還會出現大變化，小變化之後往往會接連出現小變化」。在玩家容易失誤或必須在賽局中學習時，賽局理論也不是找出最佳策略的好方法⋯⋯
◎第七章　機器對手
繼電腦「深藍」於1997年打敗西洋棋王卡斯帕洛夫之後，2004年IBM 又設計了「華生」參加機智問答節目，照樣電慘人類對手。
不過深藍只需用電腦的方式下棋─運用大量運算能力審視接下來的可能棋步，評估可用策略。卡斯帕洛夫指出這種「蠻力」具備的智慧不多：「它不是擁有人類的創意和直覺，能以人類的方式思考和下棋的電腦。」同樣的「華生」不需假扮人類也能取勝。電腦科學家達斯．畢靈斯說：「西洋棋不夠看，那我們來試試撲克牌好了。」電腦打撲克牌時，其實是在解決一個我們十分熟悉的問題：如何處理缺漏的資訊。生活中有許多狀況都是不完全資訊賽局，撲克牌是這類狀況的完美縮影。電腦打撲克牌時不僅搜尋勝利策略困難得多，為了取勝還必須觀察對手，評估大量選擇─電腦需要有顆大腦才行⋯⋯
◎第八章　超越算牌
經營撲克牌館的迪克里斯提納被判經營非法賭場後，請來經濟學家藍道爾．希柏擔任專家證人，要務是說服法官撲克是技巧賽局，因此不是非法賭博。希柏認為最重要的問題是：技巧對牌局的影響，需要多久才能超越機率？
我們很容易把賽局分成「運氣」（賭博）和「技巧」（投資）兩類，問題是兩者的界線沒有我們想的那麼分明。我們以為是隨機的過程，通常很不隨機；如果選擇正確，我們容易歸因於技巧，選擇失敗的話則偏向說運氣不好。關於成功投注的報導普遍從數學角度切入，「決定」被簡化成基本機率，但以撲克為例，賭客還要解讀對手的行為。馮紐曼發展出賽局理論來解決這問題時，發現採用虛張聲勢等詐騙策略其實是最佳方案─賭客一直都作對了，只是不知道原因。有時人性因素是影響事態的主要因素，優秀的機器人程式單單知道機率仍不夠，還要結合數學與心理學。
◎致謝

◎前言
數學家理查．愛普斯坦說：「賭徒可說是機率理論的乾爹。」其實不只是機率，長久以來，各領域的頂尖頭腦都深受博奕吸引，他們不斷挑戰預測的極限，探究秩序與混沌的界限，以揭曉「機會」背後的學問。從賽局理論、混沌理論、統計學、心理學、物理學、經濟學乃至人工智慧，都因「賭」而拓展了探索的疆界。了解賭的科學，你能學會洞察普遍存在的判斷盲點，更睿智地權衡風險與報酬，從而做出優質決策，控制運氣的影響。
◎第一章　三種程度的無知
輪盤的小球最終落在哪一格，是隨機的嗎？數學家亨利．龐卡赫認為，這類事件看似隨機，...