本期精彩內容
p.3 丘成桐／規範理論的緣起
p.5 Keonhee Lee／為什麼要研究動力系統？
p.17 Charlotte-V. Pollet (博佳佳)／希臘真的是數學的誕生地？
p.31 劉又中、薛昭雄／含二階線性遞迴數列之收斂級數
p.42 林開亮／從張進安老師的問題到 Riemann 的複變定理
p.56 林俊吉、王作城／臺灣終戰前後的數學發展與啟蒙初探 --- 以臺北高等學校與臺北帝國大學為例
p.66 楊玉星／圓內接多邊形的歐拉線
p.73 周伯欣、李依淳／從幾何觀點推導二階逆矩陣公式
p.76 于安邦／通過物理方法解決數學問題
p.87 黃越／有理角的三角函數哪些是無理數？
p.94 史立新／二維含參型一元三次函數極值點的最值
作者簡介：
數學研究所於民國三十年由姜立夫先生在昆明開始籌備，時值抗戰， 圖書設備不易購置，故直至三十六年始正式成立。
所址設在上海，由陳省身先生代理所長，成立之初，因接收偽上海科學研究所之圖書，即有一尚堪參考應用之圖書室，內收有數學書籍一千七百餘冊， 定期刊物八十五種，及期刊合訂本一千三百餘卷，三十八年本所遷台，此項珍貴之藏書，亦皆隨所遷運來台。
數學所遷台後，由中央研究院總幹事周鴻經先生兼代所長，當時因環境關係， 僅能安頓於台灣大學之一間教室內，除繼續購置圖書及與國外學人保持聯繫外，所內之研究工作一時幾等於停頓，至四十六年中央研究院遷南港新址，始克重新展開 工作，掖用青年後進，加強訓練及研究。其後歷經林致平所長，及劉世超和許振榮 代所長的努力，雖然經費拮据，編制又小，但訓練了不少年青人，為往後的發展提供了條件。民國五十九年，周元燊先生接任所長，極力爭取擴增員額和經費，並推 動機率論及統計學的研究；同時也適時開展數學推廣及支援國內數學教育的改革工 作。六十七年樊土畿先生繼任所長，正值經濟起飛，研究經費在本院第一次五年計劃 的帶領下大幅增長，編制員額也逐年增加，本所開始強調基礎研究。此後經過劉豐哲、李國偉、黃啟瑞、劉太平幾位所長的籌劃，本所的研究領域擴張迅速，圖書及硬體設施也具一定規模，研究的支援人力更改善不少。
近年來本所主要研究成果都已在相關領域的重要雜誌及國際會議上發表， 而本所研究人員與國際上一些著名研究機構也經常有學術上的交流。
由於計算機對數學研究的深刻影響，本所也密切注意計算方法本身的研究與應用。 除了著眼高等計算的研究外，也特別推廣各領域善用計算工具，朝向全所可配置數學實驗室方向發展。
作者序
本期摘錄丘成桐教授去年演講中關於規範理論的部分。1929年Hermann Weyl 重新詮釋自己1918年的工作，在切向量場的圓群變換下，闡述電動力學如何保持不變，開啟了規範理論的先河。該理論隨即推廣至非阿貝爾規範群，其後並納入特徵類的理論。
弦論約於1970年發軔，弦對稱性引發出坐標不變性及規範不變性。1974年，學者斷定額外維度必然存在。這些額外維度讓學者十分困擾，而半世紀前的Kaluza-Klein理論提示他們：額外維度或可縮到極小的尺寸。他們因此引入緊緻化(compactification)的想法，讓額外維度微小至難以檢測。早期的嘗試無法保持左、右旋粒子的宇稱性(parity)。1985年，Horowitz及Strominger證實：Calabi-Yau 流形不僅可緊緻化額外6個維度，且可保持粒子宇稱性，更甚者，其所保持的超對稱性足以複製標準模型的某些特質，Calabi-Yau 流形的genus也可預測標準模型應有的粒子家族個數。
話說Calabi-Yau 流形，緣起自丘成桐教授在70年代初思考的問題：是否存在曲率非零(因此重力非零) 的真空(vacuum)時空？他知道這其實就是Calabi稍早提出的問題：物體的拓樸性質可否決定其幾何性質？物理上，Ricci曲率描述物質引發的時空彎曲，Ricci曲率到處為零意味真空。而陳省身先生於40年代證明：Ricci曲率到處為零的流形只能具有某種拓樸；具有這些拓樸之流形，謂之第一陳氏類為零。Calabi 反問：若某緊緻 Kähler流形的第一陳氏類為零，能否將其變形，使其Ricci曲率到處為零？丘成桐教授在1976 年證明該問題的答案是肯定的，而這類流形也就是所謂的Calabi-Yau 流形。
1989年Poincaré 研究三體問題，揭示混沌性的存在。1960年Smale考慮馬蹄映射，將正方形壓縮、伸長、摺疊形成馬蹄，而後重覆操作，得到股數漸增的蛇形馬蹄。馬蹄映射是混沌系統的經典模型，具三特性：週期性軌道的稠密性、對初始條件的敏感依賴性，及拓樸混合性。而若動力系統包含橫向同宿(transverse homoclinic)點，必定具有馬蹄映射的全部動力性質；三體系統即為一例。
我們稱動力系統具雙曲性，若且唯若其漸進相空間之切空間可分解成兩個部分，系統在其中分別收縮及擴張。馬蹄映射具雙曲性。而不具雙曲性的系統又會是如何? Keonhee Lee 教授介紹了一些前沿結果，嘗試以測度論來描述系統的可擴張性，力圖使擴張流得以包含奇異點，進而推廣Smale的譜分解定理。
薛昭雄教授及劉又中先生探討形如$\sum_{n=0}^\infty\frac{a_{nk}}{r^{n+1}}$的級數，其中${a_n }$為二階線性遞迴數列。他們著眼於特徵方程式的根，見解獨到。173期張進安先生考慮的是$a_n$為Fibonacci 數列的特殊情況。林開亮教授以生成函數理解此情況。
梁惠禎 2020年9月
本期摘錄丘成桐教授去年演講中關於規範理論的部分。1929年Hermann Weyl 重新詮釋自己1918年的工作，在切向量場的圓群變換下，闡述電動力學如何保持不變，開啟了規範理論的先河。該理論隨即推廣至非阿貝爾規範群，其後並納入特徵類的理論。
弦論約於1970年發軔，弦對稱性引發出坐標不變性及規範不變性。1974年，學者斷定額外維度必然存在。這些額外維度讓學者十分困擾，而半世紀前的Kaluza-Klein理論提示他們：額外維度或可縮到極小的尺寸。他們因此引入緊緻化(compactification)的想法，讓額外維度微小至難以檢測。早期的嘗試無法保持左...
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p.3 丘成桐／規範理論的緣起
p.5 Keonhee Lee／為什麼要研究動力系統？
p.17 Charlotte-V. Pollet (博佳佳)／希臘真的是數學的誕生地？
p.31 劉又中、薛昭雄／含二階線性遞迴數列之收斂級數
p.42 林開亮／從張進安老師的問題到 Riemann 的複變定理
p.56 林俊吉、王作城／臺灣終戰前後的數學發展與啟蒙初探 --- 以臺北高等學校與臺北帝國大學為例
p.66 楊玉星／圓內接多邊形的歐拉線
p.73 周伯欣、李依淳／從幾何觀點推導二階逆矩陣公式
p.76 于安邦／通過物理方法解決數學問題
p.87 黃越／有理角的三角函數哪些是無理數？
p.94 史立新／二維含參型一元三次函數極值點的最值
p.3 丘成桐／規範理論的緣起
p.5 Keonhee Lee／為什麼要研究動力系統？
p.17 Charlotte-V. Pollet (博佳佳)／希臘真的是數學的誕生地？
p.31 劉又中、薛昭雄／含二階線性遞迴數列之收斂級數
p.42 林開亮／從張進安老師的問題到 Riemann 的複變定理
p.56 林俊吉、王作城／臺灣終戰前後的數學發展與啟蒙初探 --- 以臺北高等學校與臺北帝國大學為例
p.66 楊玉星／圓內接多邊形的歐拉線
p.73 周伯欣、李依淳／從幾何觀點推導二階逆矩陣公式
p.76 于安邦／通過物理方法解決數學問題
p.87 黃越／有理角的三角函數哪些是無理數？...
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