武士刀為何折不斷？
指數與對數
還記得嗎？菲洛最討厭水、肥皂和洗髮精，這點至今仍是沒有改變。他唯獨對鹹鹹的海水是情有獨鍾，喜歡的不得了。
爸媽暫時裝得毫不介意，隨他高興。這段期間裡，爸媽是好話說盡，催著弟弟去洗澡，然而卻一點效果也沒有。於是，一場我們家才會發生的洗澡戰爭開打了，弟弟最後還是被拖進浴室；接著只聽見弟弟大喊大叫，用不輸給百米賽跑的速度趕緊沖完身體後，就跑回自己房間裡不出來，臉上露出的神情顯然是在說著：「給我記住！」
今天又發生了一場洗澡戰爭，不過菲洛這次關在自己房間還不到十分鐘，就衝到廚房找爺爺發洩他的牢騷。爺爺正在廚房煮著古早味的蔬菜湯，湯裡的食材只有放入義大利麵和馬鈴薯。
「爺爺，為什麼每天一定非得洗澡才行呢？你不覺得奇怪嗎？」菲洛的表情彷彿法官般的嚴肅，對著爺爺追問。「爺爺你以前不是說過，戰爭的時候想要洗澡也沒水、沒肥皂可用。那時候有人因此而死掉嗎？而且，連電視也有說呀，我們使用的肥皂和清潔劑會污染大海，還會害魚死掉，根本就沒有一點好處嘛！我會不想洗澡，也是因為不想害魚死掉呀。」
「你說得沒錯，菲洛。話雖然是這麼說，可是……。」爺爺不知該怎麼回答。「如果不洗澡的話，細菌就會趁這段時間繁殖，引起各種疾病。細菌很狡猾，一眨眼就會排成陣勢，展開攻擊，然後產生出無敵的團隊哦。」
「可是，我們不是也有抗體嗎？抗體也是無敵的呀！葛蕾莉亞老師曾經這麼說過耶。」菲洛興奮地反駁著爺爺，就好像這場戰爭已經開打了一樣。
「確實是這樣。」爺爺點著頭說。「然而，事情可沒有這麼簡單哦。總之，細菌這傢伙會不斷地、不斷地增加，最後連抗體也起不了作用的話，就必須要吃藥了。」
一聽到藥，菲洛突然擔心地豎起耳朵仔細聽。
「我們首先必須知道一件事。」爺爺開始說明。「在合適的地方，也就是不乾淨的地方，細菌會一分為二，由一個變成二個。經過一陣子後，細菌又會再度分裂，總共就會有四個細菌。如此分裂下去，很快就會產生出數量可觀的細菌。這也就是說……」爺爺一邊說著，一邊又拿來了廚房的黑板。「讓我們畫圖說明吧。首先，細菌開始時只有一個，假設每30分鐘會分裂一次，就像這樣哦！」
30分鐘後
一小時後
一小時半後
……
爺爺，這次的圖與之前說明足球彩券時畫的圖好像哦！」
「沒錯！我正想講而已。不過，這次的情形是要知道，經過一定時間後，細菌會變成多少個哦。像這個時候，也是用累乘的方法計算。假設經過10個小時好了，我們可以寫成：
2×2×2×2×……×2 個細菌
20次
「停！讓我來計算。」菲洛精神奕奕地說完後，跑去拿了計算機回來，然後仔細地按下計算鍵，再把正確無誤的答案現給爺爺看。
220＝1,048,576
「哇，真是太可怕了！這樣的數量真的就跟軍隊一樣嘛。才不過一個細菌而已，就可以增加成這麼多的數量；如果一開始有更多細菌的話，不就糟糕了。」
「你知道科學家如何稱呼這種增加的形式嗎？這種增加形式稱為指數型成長。在計算累乘的時候，底下的數字叫做基數，右上角的數字則稱為指數。成長的數量是由經過的時間所決定的，也就是會與指數產生關聯，因此而被稱為是指數型。
構成我們身體的細胞也是呈指數型增加的哦！」
菲洛似乎暫時陷入沉思，但是他突然又擔心地說：「這樣的話，只要一個細菌不就可以增加成100萬的100萬的100萬個細菌嗎？」菲洛一邊說著，一邊看著時鐘。「怎樣才會知道到底經過多少時間呢？」
「這個問題非常好，你的腦袋很靈光哦！這個問題正好也有一個計算方法，可以讓我們得到答案。數學家就像是格林童話裡的拇指仙童，隨時都在思考回到原點的方法。在每一項、每一項的計算中，數學家甚至會去思考如何能由答案推算出問題。
我用容易了解的方式說明吧。
在剛才的計算中，我們試著求出單獨一個細菌就能夠產生出多少個細菌。現在把計算過程反過來，我們想知道的是，假設有一定數量的細菌，由一個細菌要繁殖到這個數量，需要花上多少時間。
打個比方，讓我們想一想下面的問題。『一個細菌要變成1,048,576個細菌需要多少時間，亦即需要多少個30分鐘？』
為了解決這種問題，數學家想出與累乘完全相反的算式。有了這個算式，我們也可以求出指數。你看，這種算式稱為對數，寫出來就像這個樣子：
log2 1,048,576 ＝ 20
看起來好像有點複雜，實際上這個算式是在表示一個簡單的問題：要求得1,048,576，需要的指數是多少？而答案就是20。這個算式可以利用計算機來計算喲。」
「可是這種寫法真的好複雜哦。如果爺爺不在，我根本就看不懂嘛。」
「沒錯。數學老是用符號一類的東西來寫算式，因此最讓人感到頭痛的是如何解讀這些符號，倒不是能不能理解算式所要表達的意義。
然而，也不能因此就小看了這些符號。數學是在處理抽象的概念，如果不利用符號表示，就沒辦法去計算哦。」
「不過呀，爺爺，累乘真的是太棒了。」菲洛似乎想起了計算出那麼驚人數字的乘法。「不管是足球彩券，或是細菌，都能用它來計算耶！」
「累乘的用途可是數也數不清的呢。」爺爺非常高興，說話時的聲音都高了八度。「有段故事很有意義喲。傳說在很久以前，有位名叫希薩（Sissa Ben）的印度人，他發明了一項偉大的遊戲西洋棋，並且把它獻給當時的國王。國王非常喜歡這項了不起的發明，因此召希薩入宮，表示願意賞賜他任何想要的東西。希薩恭敬回答國王：『我希望國王能賜給我小麥，只要在棋盤上的第一格放上一粒，第二格二粒，第三格四粒、第四格八粒，數量就像這樣加倍放下去，直到最後第64格就可以了。』
國王心想，這真是個毫無慾望的人呀！於是就命令大臣完成希薩的願望。
但是，國王之後聽了大臣的報告，卻嚇得差點從椅子上摔下來。大臣向國王表示，就算把全世界的小麥都集中起來，也只是希薩要求的數量的一小部份而已。事實上只要計算一下，就會得出這樣的數字：
1＋2＋22＋23＋24＋25＋……＋263
這個數字到底有多大呢？如果平均分佈在地球整個表面上，每平方公尺至少都能夠分到三粒小麥喲。」
「太誇張了！」菲洛握著計算機，整個人都愣住了。他接著搔著頭，想著該如何趕快好好利用這個故事。
「爺爺，我明天去跟媽媽說說看，如果我幫忙把餐具擺到桌上，看媽媽願不願意每天都能比前一天多給一倍的水果糖。要不然，我把這個故事告訴葛蕾莉亞老師好了。不過，要有交換條件才行，譬如減少一個回家作業啦。老師不會已經知道這個故事了吧？」
「如果是發明西洋棋的故事，我想老師應該已經聽過了。不過，爺爺還有一個故事，包準葛蕾莉亞老師會用任何東西跟你交換。
日本武士知道一種特殊的方法，可以用來打造出柔韌卻又極為堅固的武士刀。他們將金屬的薄片放進火裡焠鍊，再用鐵鎚敲打成非常薄的金屬板，然後折成兩半，重新放回火裡焠煉，再用鐵鎚敲打。這個過程要不斷地重複，直到厚度變得與原先的薄片相同為止。如果葛蕾莉亞老師平常有在做千層酥的麵皮，應該馬上就可以理解吧。要打造出一把武士刀，得要重複這些程序20次左右哦。」
「爺爺，用這種方法的話，武士刀的層次就有2的20次方厚耶，怪不得會那麼堅固。」
菲洛試著想像閃閃發光、厚達2的20次方層的武士刀，心想那確實是了不起的東西。之後，菲洛似乎又想到了細菌大軍的事，因為他居然大言不慚地對爺爺說：「爺爺，從明天開始，我也稍微洗個澡好了。不管怎樣，我先跟媽媽說說看，我可以每半個月洗一次澡；腳的話就每三天洗一次。這樣應該夠了吧？還是說，時間應該要再久一點呢？」
圓形的月曆───時鐘
文明的搖籃
我的小弟菲洛，今年九歲。
認識菲洛的人都知道，我這個弟弟很活潑，人又聰明，對於這個世界運作的方式充滿好奇，每天都不斷忙著探索新的事物。
雖然他在學校學到了許多知識，但是這樣仍無法滿足他的好奇心。因此，他還經常追著我們全家人問說：「為什麼？」菲洛最早學到的一句話不是別的，就是這句「為什麼」。從那時候起，全家人就不斷受到菲洛的問題轟炸。
每天早上，菲洛會追在爸爸後面問著各種問題，像是晚上的星星跑哪去了之類的，一直到爸爸出門為止。「不是已經告訴過你了嗎？爸爸上班要遲到了啦。」話一說完，爸爸就狼狽地趕忙出門。
媽媽每晚也是傷透了腦筋，因為她得要面對菲洛的各種困難問題。媽媽將這取名為是「睡前的大哉問」。從睡前收拾明天上課要用的東西、換穿睡衣，一直到上床準備睡覺的這段時間，媽媽總是會陪著一旁，而菲洛仍是不停地問東問西，一點也沒有打算要睡。如果要等到他入睡，最少也得等上一個鐘頭左右。而且，他提的問題還真讓人不知該如何回答，像是火星的生物啦、神秘的埃及文明啦，或是臭氧層的破洞等等。
一開始，弟弟只是純粹愛問問題而已，但是漸漸他會去思考、判斷。例如當他聽到狂牛症的報導時，就做出了這樣的反應：「電視上說殺掉了1000頭的牛……這樣總會殺到一頭牛的老大，然後就能讓牛群裡的每一頭牛變乖。這樣的做法太卑鄙了吧。」
由此可知，要和菲洛講理可真不是件容易的事。
不過，每年全家人的耳根子還是能夠清淨個2、3次，那就是當外公來到家裡的時候。外公每次在家裡都會待上一段很長的時間。外公以前是高中老師，教了40多年數學了。不過，除了數學之外，外公也會教我們很多其他的知識，像是美洲的印第安人，或是快絕種的無尾熊等等。
因此，當外公來家裡的時候，弟弟就只會纏著外公，連理都不理我們了。無論什麼樣的問題，外公總會利用一些小故事或是虛構情節，和藹親切地為我們解答。當然，如果可以用到數學的話，外公也會用數學說明。雖然外公不再靠數學工作賺錢，但並不表示他就遠離了數學。只要有人有點意願想聽，無論對方是誰、地點在哪，外公都能開始上起他的數學課。
幾天前，菲洛一知道外公又要來家裡後，開心得不得了，除了班上的同學是一定要知道的外，連在大樓電梯或是便利商店遇到的人，他也通通告知。因此，現在每個人都伸長著脖子，等候外公的到來；連菲洛最喜歡的葛拉茲老師也很期待，一直在問來了嗎？來了嗎？
「姊，妳看！」今天菲洛把我叫過去，拿了他的數學筆記給我看。「我和葛拉茲老師一起算了一下外公要來的日子耶。姊，妳知道嗎？時鐘不只可以看時間，還可以用來計算哪一天是星期幾哦！」
像這種時候，菲洛的口氣總是很驕傲。因為啊，要是在腦中將菲洛最相信的人做個排名的話，我永遠是倒數第一。最上面的是外公和葛拉茲老師，兩個人一直都是不分高下地排在一起。再來是爸爸跟媽媽，然後再下面則是一本名為《千問千答》的書；最後一個才輪得到我。
因此，我心想今天剛好逮到這個機會，就把我讀到關於美索不達米亞文明的事情搬出來說，炫耀一下我的知識。
「當然知道呀！」我的口氣相當自豪。「我知道的還不只那樣，時鐘還可以用來計算日期喲！現在的伊拉克人啦，古代的蘇美人、巴比倫人等等，也都曾經用過這種計算方法哦。他們不但是偉大的天文學家，同時也是時間學家，能把時鐘當成月曆來使用，所以時鐘就是圓形的月曆喲！先畫出一個圓，接著把圓分成360個部份，一個部份就代表一天。照著這個方法，一年如果結束，他們就會再畫一個新的圓。」
「先等一下啦！一年不是有365天半嗎？這樣不就會多一些出來？我看《
小小天文學家》上面是這麼寫的喔！」菲洛馬上就挑起了毛病。只要是針對我，他就都是一副要找人吵架的樣子，總是要辯贏了才開心。
「嗯，你說的沒錯。巴比倫人是少算了幾天。他們觀察著天空的樣子，一直都以為一年就是360天。不過，你覺得這是什麼時候的事呢？這可是在兩條大河間出現史上第一個城鎮的時候耶！那個地方不是經常被稱為是『文明的搖籃』嗎？那時候文明剛剛出現沒多久而已，你不覺得就是這樣才更有發展的希望嗎？而且呀，所謂的『科學觀察』就是起源於對天空的觀察哦！外公沒告訴過你嗎？」
「外公早就講過了啦！外公覺得我可以當個科學家，所以什麼事都會告訴我。」
看到了吧！不過什麼時候，什麼事情，菲洛簡直就把外公當成神一樣地崇拜。
「好吧，那我想外公也告訴過你，人類從遊牧民族變成農民時，為了從事栽培作物的工作，不管何時都必須事先了解季節，因此得要隨時注意天空的變化，於是就成了天文學家。聽說伊拉克現在還保留了一處有名的建築，是座形狀像是金字塔一樣的高塔。巴比倫人就是從這座塔上觀察天空的哦。」
「外公還沒有說過這些啦……不過，他一定是在等機會。外公總是說，要說明一件事情，就得要有適當的機會。」
看吧！我說得沒錯吧？菲洛對外公可是百分之百的信賴。
「總之，他們呀，」我並沒為因此而感到挫折，還是繼續說下去。「後來知道一年不只有360天，於是就停止使用這種圓形的月曆，但還是保持把圓畫分成360個部份的觀念。因此，就算到了今天，我們不是用度做為測量角的單位嗎？這個單位指的就是360度的1/360哦。
我完全是碰巧知道這些事情，是剛好在一本有關藝術史的雜誌上看到的。在這之前，我經常會想說，為什麼會有人要把圓分成360個部份，而不是分成100個部份，或是其他數字呢？我現在終於懂了喲！原來呀，我們所說的1度，就等於是巴比倫人的1天哦！
因此，我還了解了另一件事，就是直角為什麼等於90度。因為是360度的4分之1，就是像這樣算出來的哦：
360÷4＝90
嘿，了解了嗎？」菲洛露出一臉佩服的表情，不知道他對我的信賴指數會不會因此而稍微提高？
「姊，妳好厲害哦。」菲洛一邊說著，一邊好像又再想著什麼事情。「姊，妳看，這是葛拉茲老師教我的哦。把時鐘分成七個部份，像這樣分別寫上星期一、二、三……，馬上就可以知道10天後是星期幾了耶！」
1－星期一 2－星期二 3－星期三 4－星期四 5-星期五 6－星期六7－星期日
「姊，妳看這個。記得外公什麼時候打電話來的嗎？是星期天哦。外公在電話裡說10天後會來我們家。這個指針如果從7出發，前進10格的話，就會停在3的地方，對吧？也就是說，外公來的時候是星期三。星期三下午不用上課，可以去車站接外公耶。懂了嗎？」菲洛一口氣劈哩啪啦地說完。接著，他吸了口氣後，又繼續講下去。「葛拉茲老師說，用這種時鐘的算法，還可以拿來跟人開玩笑耶！比方說，我如果問7加10是多少，大家都會回答17吧。但是，這個答案是錯的哦。如果用星期時鐘計算的話，答案是3才對。」
「這就叫活學活用呀！」我對菲洛說到，同時回想自己在學校所學的。「這種算法是每7天就等於繞圓一周，再次回到出發的地方吧。這種方法好像是把7當成一個計算單位。沒錯，日期就是用一個星期，也就是7天來重複計算的哦。因此，計算的時候，先將7天的數字7拿出來當成減數就好了。
換句話說，就像這樣把7一一減掉：
17－7＝10
再減一次：
10－7＝3
得到餘數3，也就是星期三，就是我們要求出來的答案囉。
不過，像這樣把7一一減掉所得的餘數，和17除以7得到的餘數都一樣，對吧？也就是像這個樣子哦，
17÷7＝2 餘數為3
「姊，妳的腦袋和外公差不多聰明耶！」菲洛長這麼大以來，還是第一次誇讚我。
我得意地繼續說下去：「計算時間也是一樣的方式。時間的計算單位，也就是減數會是12。你知道為什麼嗎？因為每12小時就等於繞了圓一周呀。
例如現在是10點好了，假設去遠足6小時，回來時就是4點。
10＋6＝16，16－12＝4；沒錯吧？
在這種計算中，除了單位外，餘數也很重要哦！」
「葛拉茲老師也是這樣說的耶！老師還教了我一個好玩的遊戲，可以知道外公會不會坐在電車靠窗的位置哦。」
「跟我說！跟我說！」我催著弟弟。平常也只有外公會告訴我這種事情而已，沒想到現在卻是由弟弟來教我。
「姊，妳看這張畫著電車裡面的圖，有沒有發現什麼事？」
□1 □5 □9 □13 □17 □21 □25 □26 □33 □37 餘數為1
□2 □6 □10 □14 □18 □22 □26 □30 □34 □38 餘數為2
□3 □7 □11 □15 □19 □23 □27 □31 □35 □39 餘數為3
□4 □8 □12 □16 □20 □24 □28 □32 □36 □40 餘數為0
「1後面的數字如果除以4的話，餘數全部都是1。2後面的數字，餘數都是2；3後面的數字，餘數是3；4後面的數字，餘數就都是0，對吧？」菲洛老師一臉嚴肅地對我說。
「嗯，我懂了。只要用4去除，看餘數多少就知道了嘛。每一排有4個座位，所以計算座位時的單位就是4。」
「從這張圖可以知道，如果外公的座位號碼除以4，得到的餘數是0的話，他就是坐在左邊靠窗的位置。如果餘數是1的話，則是右邊靠窗的位置。餘數是2或3的話，那就很可惜，外公的座位沒辦法好好欣賞風景了！
葛拉茲老師說，把1列的數字全放在一起，可以編成像學校一樣的班級。沒錯，老師的確是說班級。餘數是1的班級，餘數是2的班級，餘數是3的班級，還有餘數是0的班級。希望外公的座位是在0或1的班上。」
「外公的事情就不需要你在那裡瞎操心。外公買票的時候，一定會考慮到餘數的問題，說不定還會順便幫售票員上一課呢。」
「妳知道我決定要怎麼做嗎？」菲洛似乎已經在計劃著別的事情。「這次我要外公來和我一起睡。我會把折疊床搬出來，然後套上印有超人圖案的床單哦。有次朋友來家裡，我給他睡那張床單，他高興得還跑去跟老師說了呢。而且，在我睡著前，還可以和外公聊天。我想外公自己一個人睡也很無聊吧。不只是無聊而已，或許還會感到害怕……。外公睡著後，我說不定可以偷偷地、偷偷地去摸他的禿頭哦……。」
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