自序
所謂圓錐曲線包括了拋物線、橢圓及雙曲線，它們都可由平面與圓錐以一適當的角度相截而得，所以通稱為圓錐截痕（conic sections）。
圓錐截痕最早由古希臘人開始研究，歐幾里德曾寫過四大冊的圓錐截痕，可惜原著已經遺失。不過歐幾里德後不久的阿波羅尼亞斯（Apollonius，約西元前262～190年；本書簡稱其為阿波氏），參考了他的著作，並發展了許多自己的想法，得到很多研究的成果，寫成了《圓錐截痕》八大冊。
歐幾里德的《原本》是古希臘數學的代表作，阿波氏的《圓錐截痕》是古希臘高等幾何學的傑作；阿波氏因而有「偉大幾何學家」的稱號。
《圓錐截痕》是純粹的數學研究，幾乎找不到因應需要而有的研究動機。直到1800多年後，的十七世紀初，天文學家刻卜勒（Kepler，1571~1630年）得到他的行星三大運動定律，圓錐截痕才因這麼有用而重新受到重視。
也大約在這個時候，伽利略（Galileo Galilei，1564~1643年）研究拋物運動，而知道拋物運動的軌跡為拋物線。
十七世紀下半的牛頓（I. Newton，1642~1727年）更提出了萬有引力的想法，並證明受到引力的影響，行星繞行太陽的軌道為橢圓；彗星的軌道可以是橢圓也可以是雙曲線或拋物線。其實，一個天體繞著相對大得多的另一天體的運動軌跡，就是一圓錐截痕。
十七世紀數學的一重要發展是引進了坐標，以兩坐標間的代數（包括級數）關係，來處理曲線。傳統的，需要以幾何方法來處理的圓錐截痕，也很快代數化，於是圓錐截痕又叫做圓錐曲線。而這些曲線的兩變數之間的關係是二次的，所以又叫做二次曲線。
有了坐標及代數方法，圓錐截痕許多很難處理的定理就變得相對的簡單。牛頓雖然有辦法用古典的幾何方法，處理引力與行星軌道的關係；不過有了坐標，就容易發展解析方法（微積分），兩者之間的關係就比較容易處理。（牛頓研究引力與軌道的關係時，使用他自己發展的微積分，但寫書時，則用傳統的幾何方法，因為當時大家都還不太懂微積分。）
無論用代數或幾何方法，三類圓錐截痕（曲線）似乎有類似的性質（同為圓錐的截痕、二次的曲線），但也有非得分別處理的性質（橢圓及雙曲線有對稱中心、兩條對稱軸、兩個焦點，而拋物線沒有對稱中心，只有一條對稱軸、一個焦點）。十九世紀射影幾何的發展，則把這三種曲線統一在射影的觀點之下。
我們的學生在國中時學平面幾何，到高中時學圓錐曲線。前者採用（綜合）幾何的方法，後者則採用坐標幾何的方法，因此前者很有幾何的味道，後者則幾何的味道淡得多，甚至沒有。
其實，古代的圓錐截痕，需要以平面幾何為基礎，更需要有立體幾何的能耐，幾何味道滿點。本書的一個重點，就是要呈現圓錐截痕的這些精華。另外，用了坐標，圓錐截痕變成了圓錐曲線。有了坐標，圓錐曲線更可深入研究，其與行星運動之間的關係才能確立。高中的圓錐曲線其實只是淺嚐即口，本書的另一個重點，就是用坐標的方法，深入探討圓錐曲線。
最後，我們把重點放在圓錐曲線的射影性質，使我們了解到橢圓、雙曲線、拋物線有非常密切的關係。
非以數學為專業，但對高中幾何有興趣，想再進一步涉獵者，是本書設定的對象。我們放棄用坐標方法來探討射影幾何，他雖然比較定量，但較屬於技術層次。關於射影幾何，我們只介紹綜合幾何的方法，以便得到定性的認識。
平面幾何的素材只是簡單的直線與圓，但衍生的內容，已經足夠讓人稱奇。稍微複雜的圓錐曲線，更有曲折的歷史背景，以及豐碩的內涵。如此數學的、甚至是文化的瑰寶，應讓大家有機會欣賞享受。希望對此本書能有些貢獻。
曹亮吉
台北2005年12月
2025專利防護中