數學女孩秘密筆記：積分篇

名人推薦：前師範大數學系教授兼主任 洪萬生

由梨：「哥哥，我遇到奇怪的數學問題。」
我：「奇怪的數學問題？」
上國中的表妹由梨，總是叫我『哥哥』，放假時經常跑到我的房間玩，一起討論數學的問題，我們的關係非常好。
由梨：「兄弟兩人步行前往車站，因為哥哥的腳步比較快，弟弟只能緊跟在後頭……像是這樣的問題。」
我：「嗯，的確有類似的問題。」
由梨：「哥哥等一下弟弟不就好了！」
我：「哈哈。真的就像由梨所說的，放到現實生活上會聽起來很奇怪。妳是說像這樣的問題吧？」

問題1（兄弟步行）
兄弟兩人同時從家裡出發，哥哥每分鐘走100公尺，但弟弟每分鐘只能走50公尺。假設家裡到車站的距離有500公尺，試問當哥哥抵達車站時，弟弟距離家裡多少公尺？

由梨：「就是這樣的問題。弟弟好可憐喵……」
由梨用貓語表示氣憤。
我：「對了，妳會解這個問題嗎？」
由梨：「這很簡單啊。到車站的距離有500公尺，哥哥每分鐘走100公尺，所以5分鐘就會抵達嘛？」

我：「沒錯。」
由梨：「因為弟弟每分鐘走50公尺，5分鐘走了250公尺，所以他距離家裡250公尺！」

由梨晃著栗色馬尾，得意地說出答案。

解答1（兄弟步行）
弟弟距離家裡250公尺。

我：「嗯，正確。」
由梨：「竟然丟下弟弟先走，太不過分了！」
我：「也對。」
由梨：「哥哥不會把由梨丟下自己先走吧？」
我：「真的發生的話，應該是妳丟下我吧？」
由梨：「你說什麼？」
我：「丟下不管……嗯，那麼，假設抵達車站的哥哥回過頭去找弟弟吧。」
由梨：「回過頭去找？」

問題2（來回往返的哥哥）
兄弟兩人同時從家裡出發，哥哥每分鐘走100公尺，但弟弟每分鐘只能走50公尺。假設到家裡到車站的距離有500公尺，哥哥抵達車站後馬上掉頭，碰到弟弟後再走回車站，不斷在車站與弟弟之間來回往返。試問當弟弟抵達車站時，哥哥總共走了多少公尺？

由梨：「這樣……來來回回很複雜耶！」
我：「但是，妳懂題目的意思吧。」
由梨：「讓我想一下。弟弟不斷接近車站……也就是說，哥哥往返的距離漸漸縮短嘛。最後愈變愈短……不停來來回回，這怎麼可能發生啊！」
我：「嘛，現實生活中不會有人這樣做，但這可以想成是點的移動。」
由梨：「想成點的移動還是很難吧？變成是無限項的相加運算。」
我：「問題2可以像問題1馬上解出來喔。」
由梨：「問題明明是無限的往返？」
我：「這題可以從走了多少時間切入。哥哥是在車站與弟弟之間來回往返，但弟弟卻不是這樣。弟弟從家裡出發後，就一直走向車站。弟弟抵達車站花了多少時間？」
由梨：「到車站的距離有500公尺，弟弟每分鐘走50公尺。這樣的話……

所以，弟弟走了10分鐘。」
我：「那麼，在這10分鐘內，哥哥走了多少公尺？」
由梨：「啊！是這樣啊！哥哥每分鐘走100公尺，走了10分鐘……

所以，哥哥走了1000公尺！」
我：「答對了。」

解答2（來回往返的哥哥）
哥哥總共走了1000公尺。

由梨：「這好厲害……」
我：「當我們知道每分鐘走多遠，自然會去想『走了幾分鐘』。」
由梨：「最後再乘起來就好了嘛。」
我：「沒錯。相乗後就能知道走了多遠。
速度 × 花費時間
這相當於在求面積。」
由梨：「不是吧？我沒有在求面積唷？」
我：「不對，這是在求『速度圖』的面積喔，相當於在積分速度……」
由梨：「積分？那是什麼，很有趣嗎？」
我：「嗯，很有趣喔。舉個簡單的例子來說明，我想由梨就能了解積分的概念了。」
由梨：「積分會很複雜嗎？」
我：「不會，妳一定可以理解的。」
由梨：「太好了，那就趕快開始吧。」
我：「……」
我們就這樣踏上了『積分學習之旅』。

1.2 變化的位置
我：「假設有一條直線，點 在線上移動。」

直線上的點

由梨：「又是點 。」
我：「如果沒有任何標示，我們不曉得點 所在的位置。在直線上畫上數字刻度後，普通的直線就變成數線。」

表示點 位置的數線

由梨：「嗯嗯，數線。」
我：「舉例來說，假設以 表示點 的位置，

我們會用這個數學式表示點 在位置1上。」
由梨：「若是 呢？」
我：「表示點 前進很多！」
由梨：「那若是 呢？」
我：「表示突然移動到非常遠的地方！……嘛，以此類推。」
由梨：「一點都不難嘛。」
我：「非常好。不過，點 在移動，比方說點 從位置 移動到位置 」

點 從位置 移動到

由梨：「嗯嗯。點 移動了。」
我：「此時，

表示位置改變了多少。」
由梨：「好的。」
我：「雖然由 可了解『位置變化』，但卻不知道速度。」
由梨：「因為不知道點 移動了1秒還是3萬年。」
我：「沒錯。如果不知道移動花費的時間，也就沒辦法知道速度。所以，在求點 的速度時，必須注意每個時刻的位置。舉例來說——
・在時刻 ，點 的位置為 。
・在時刻 ，點 的位置為 。
——像這樣來討論。」
由梨：「花費時間是 嘛。」
我：「沒錯。花費時間就是『時間變化』，表示為

做到這邊就能計算速度

速度的公式會變成這樣。」
由梨：「我了解了，但是好麻煩耶。」
我：「好麻煩？」
由梨：「位置、時間、速度都跑出來了，好麻煩唷——」
我：「位置是指『在哪裡』；時間是指『什麼時候』；速度是指『往哪個方向跑多快』，一點都不麻煩喔。」
由梨：「時間、位置一起改變，所以看起來很複雜啊。」
我：「遇到複數變數一同變化，看起來很複雜時，可以畫出關係圖來幫助理解，抓住變化的情況。」
由梨：「喵來如此。」
我：「想要知道隨著時間改變，位置如何變化時，可以畫出『位置圖』；想要知道隨著時間改變，速度如何變化時，可以畫出『速度圖』。那麼，實際來畫畫看，我們先來畫個『位置圖』吧。」

問題3（繪製『位置圖』）
點 以固定速度 在直線上移動。
在時刻0，點 的位置為 。

速度 時刻0
位置0 位置

在時刻 ，點 的位置為 。

速度 時刻
位置0 位置 位置

假設點 一直以固定速度 持續移動，試畫表示時間 與位置 關係的『位置圖』。

由梨：「點 是以固定速度在移動，所以『位置圖』會不斷向右上方延伸嘛。」

我：「咦？」
由梨：「啊，我漏掉了。一開始的位置是 。」

我：「這樣不對，由梨。就算再怎麼嫌麻煩，妳省略太多東西了。橫軸和縱軸沒有任何標示的話，這圖形會沒有任何意義。」
由梨：「對唷。我想想……橫軸為時間 、縱軸為位置 嘛。」

我：「沒錯。由這關係圖可以知道，點 在時刻0時位於位置 。因為 時 Ｃ。」
由梨：「嗯……為什麼這關係圖有兩個0呢？」
我：「啊，那是時間的0和位置的0。一般會一起寫成原點O，但這邊把它們分開來寫。」
由梨：「嗯——」
我：「接著討論關係圖上其他時間的位置吧，像是 時 的值為？」
由梨：「嗯……速度為 、花費時間為1，只前進了 ，加上一開始的位置是 ，所以 的值會是 ？」
我：「沒錯。 時 ，試著把答案寫進『位置圖』中吧。」

在時間 時，位置

由梨：「哈哈， 出現在 的上頭。」
我：「因為 是 時的位置。同理，改變時間 的話……
的時候
的時候
的時候
的時候
…… 會像這樣變化。比較新位置和一開始的位置 ，會發現時間 增加 、時間 增加 、時間 增加 。換句話說，從起始位置C開始的『位置變化』跟時間成正比關係。」
由梨：「是啊。」
我：「一般化後，時間 與位置 的關係會是

在關係圖上，呈現斜率 的直線。」
由梨：「又是一般化。」

解答3（繪製『位置圖』）
表示點 的時間 與位置 關係的『位置圖』如下

點 的『位置圖』

由梨：「嗯嗯，哥哥真的很喜歡列出數學式耶。」
我：「喜歡啊。只要知道 和 ，就能夠用數學式 ，求出任何時間 所對應的位置 。這個『任何時間 所對應的』很吸引我啊。」
由梨：「喔喔——這就是對數學式的愛啊。」
我：「『位置圖』就像是這樣，那『速度圖』會如何呢？」
由梨：「因為速度固定不變，所以呈現水平線？」
我：「是的。點 的速度在任何時間 皆為定值 。若以小文字 表示在時間 的點 速度，

這個數學式在『速度圖』上呈現水平線。橫軸為時間 ，縱軸為速度 。」

點 的『速度圖』

由梨：「速度一直沒有改變嘛。」
我：「沒錯。因為前提條件是點 的速度固定不變，所以即便位置改變了，速度也不會出現變化。」
由梨：「嗯嗯……啊哈哈哈哈！」
我：「突然怎麼了？！」
由梨：「我突然想到以前哥哥舉在堅硬冰塊上面滑動的例子。」＊

我：「啊啊，的確有這回事。點 的移動跟不受外力在冰上滑動一樣。」

1.3 『位置圖』⇨『速度圖』
我：「點 以速度 移動，將移動情況畫成『位置圖』和『速度圖』後，兩張圖形會差很多。」

『位置圖』 『速度圖』

由梨：「因為是不同的關係圖，圖形當然不一樣吧？」
我：「雖然圖形的確不一樣，但兩張圖並非完全沒有關聯喔。兩張圖都是用來表示點 的移動。」
由梨：「我不懂哥哥想說什麼。」
我：「我想要說的是，
・『位置圖』的斜率為 。
・『速度圖』的截距為 。
兩張圖表示了不同的意義。」
由梨：「嗯……？」
我：「『位置圖』的斜率等於速度，這妳了解吧？」
由梨：「我知道唷。『位置圖』的斜率愈大，表示相同時間能夠跑得更遠，也就是速度愈快嘛。」

『位置圖』 『速度圖』

我：「『位置圖』上斜率 的斜直線，會變成『速度圖』上會截距 的水平線。當我們知道『位置圖』，就能夠畫出『速度圖』。」
『位置圖』⇨『速度圖』
由梨：「齁齁——」
我：「接著，這次反過來想吧。」
『位置圖』⇦『速度圖』
由梨：「反過來？」

1.4 『位置圖』⇦『速度圖』
我：「只要知道『速度圖』的圖形面積，就能夠畫出『位置圖』！」
由梨：「完全聽不懂！」
我：「把兩張圖排在一起，妳就能夠看出來了喔。」

由梨緊盯『位置圖』與『速度圖』，努力想要找出兩圖的關係。
我：「……」
由梨：「……哈哈。」
我：「看出來了嗎？」
由梨：「我知道了！很簡單啊！當時間 變成 時，『位置圖』上的長度是 ，『速度圖』所圍成的面積是 。」
我：「沒錯。『速度圖』上經過時間 所圍成的長方形面積為 。把 加上 的位置 ，就會變成位置 對時間 的數學式

其中， 既是『位置變化』，也是『速度圖』上對應的面積。」
由梨：「喵來如此。明明是在說點的移動，卻變成面積……」
我：「嗯，所以，
速度 × 花費時間
前面才會說這個數學式是指面積。『速度圖』的面積代表『位置變化』。把時間 的面積加上時刻 的位置，就能夠知道時間 的位置。換句話說，我們可以畫出『位置圖』。」
由梨：「嗯嗯。意思是我們可用乘法計算長方形的面積，把『速度圖』轉為『位置圖』嘛。」
我：「這是點 的情況。然後，接下來會愈來愈有趣。」
由梨：「哥哥的眼睛在閃閃發光！」
我：「這邊能用乘法轉換關係圖，是因為點 以固定的速度在移動。在這前提條件下，點 在任何時間的速度都是 。因為速度固定不變，所以『速度圖』呈現長方形。因為圖形是長方形，所以才能用乘法來求面積。沒錯吧？」
由梨：「嗯嗯，然後呢？」
我：「速度固定的情況很簡單。但是，如果像下面的問題，速度發生改變的話呢？」
由梨：「喔喔——？」

由梨：「哥哥，我遇到奇怪的數學問題。」
我：「奇怪的數學問題？」
上國中的表妹由梨，總是叫我『哥哥』，放假時經常跑到我的房間玩，一起討論數學的問題，我們的關係非常好。
由梨：「兄弟兩人步行前往車站，因為哥哥的腳步比較快，弟弟只能緊跟在後頭……像是這樣的問題。」
我：「嗯，的確有類似的問題。」
由梨：「哥哥等一下弟弟不就好了！」
我：「哈哈。真的就像由梨所說的，放到現實生活上會聽起來很奇怪。妳是說像這樣的問題吧？」

問題1（兄弟步行）
兄弟兩人同時從家裡出發，哥哥每分鐘走100公尺，但弟弟每分鐘只能...

獻給你 1
序章 2
第1章 觀察變化的乘法 3
1.1 我的房間 3
1.2 變化的位置 7
1.3 『位置圖』⇨『速度圖』 12
1.4 『位置圖』⇦『速度圖』 13
1.5 變化的速度 15
1.6 速度改變也沒關係？ 17
第一章的問題 18
第2章 用夾擠定理求面積 19
2.1 圖形上出現空隙 19
2.2 從上面逼近 22
2.3 一般化 24
2.4 求相加的和 25
2.5由梨的質疑 28
2.6 逼近極限 30
2.7 『速度圖』的面積 33
2.8 拋物線 35
2.9 分成4等分計算L4 36
2.10 分成4等分計算M4 37
2.11 n等分 37
2.12 計算平方和 38
2.13 『夾擠定理』 40
2.14由梨的發現 42
第2章的問題 43
第3章 微積分的基本定理 44
3.1 圖書室 44
3.2 這是什麼函數？ 45
3.3 微分與積分 49
3.4 斜率與面積 54
3.5 積分符號與定積分 57
3.6 數學對象與數學主張 61
3.7 原函數 63
3.8 不定積分的探求 64
3.9 定積分的探求 65
3.10 定和分的探求 66
第3章的問題 73
第4章 看出式子形式 74
4.1 冪乘的形式 74
4.2 相加形式 76
4.3 和的積分是積分的和 77
4.4 和的問題 79
4.5 常數倍 80
4.6 冪級數的形式 83
4.7 相乘形式 86
4.8 從微分到積分 89
4.9 套用部分積分的公式 92
4.10 式子形式 94
第4章的問題 98
第5章 試求圓的面積 99
5.1 圖書室 99
5.2 圓的面積 101
5.3 使用披薩 102
5.4 nLn的極限 106
5.5 『∞×0』的模式 108
5.6 『00』的模式？ 111
5.7 sinθθ→1的意義 113
5.8 回到圓的面積 115
5.9 nMn的極限 116
第5章的問題 120
終章 121
解答 123
獻給想要深入思考的你 135
後記 139

獻給你 1
序章 2
第1章 觀察變化的乘法 3
1.1 我的房間 3
1.2 變化的位置 7
1.3 『位置圖』⇨『速度圖』 12
1.4 『位置圖』⇦『速度圖』 13
1.5 變化的速度 15
1.6 速度改變也沒關係？ 17
第一章的問題 18
第2章 用夾擠定理求面積 19
2.1 圖形上出現空隙 19
2.2 從上面逼近 22
2.3 一般化 24
2.4 求相加的和 25
2.5由梨的質疑 28
2.6 逼近極限 30
2.7 『速度圖』的面積 33
2.8 拋物線 35
2.9 分成4等分計算L4 36
2.10 分成4等分計算M4 37
2.11 n等分 37
2.12 計算平方和 38
2.13 『夾擠定理』 40
2.14由梨的發現 42...