1.1 數學不是「UNO」，而是「Pageone」
為什麼數學這麼難呢？為什麼有很多人會覺得數學「很困難」呢？
覺得數學很難的原因千奇百怪，不過有一個很重要的原因是「數學中只有一小部分能用常識理解」。其它像是物理、生物等領域的學者們，研究的是自然界內的現象；而人文、社會學領域的學者們，研究的則是現實中的人類行為。研究這些學問時，研究者們可以在現實中親眼看到這些自然現象或人類行為，故可藉由現實中的經驗理解這些學問。
另一方面，數學卻不存在於自然界中，是一門完全由人類建構出來的學問。
當然，就像古埃及為了決定如何分配土地，而發展出數學中的幾何學一樣，數學原本是為了解決現實中的問題而發展出來的學問。不過當幾何學這門數學領域發展出來以後，就與埃及的土地分配沒有關係了，也和世界各地的土地分配沒有任何關係。
在思考幾何學問題時，用到的只有幾何學的規則，以及解題時的預設條件。學習幾何學時，會畫出有點或直線的圖，而在數學領域中，點沒有大小之分、直線沒有寬窄之別。這與我們的現實經驗不同，這些就是「我們在解數學題時的預設條件」。
我們可藉由這些規則，一一探究幾何學中各種圖形的性質。由此瞭解到的性質又稱為「定理」，而重要的定理則會被賦予名字，像是「畢氏定理」。畢氏定理說的是直角三角形的斜邊長（圖1.1的a）與其它兩邊（b與c）有著a2 = b2 + c2的關係。知道怎麼使用畢氏定理，就可以馬上算出長方形土地的對角線長。由此可知，數學世界的定理也可以幫助我們解決現實中的問題。
不過，即使我們可以接受數學世界中的預設條件，在閱讀數學書籍的時候，還有一個會讓我們覺得數學很困難的地方，那就是艱澀的數學式。
1.1 畢氏定理
之所以會覺得數學式很困難，是因為數學式中「只會」寫出數學符號與預設條件。用日語寫出來的文章，內容再怎麼艱澀，還是可以用我們平常使用的日語知識慢慢讀下去。但讀數學式時卻不是這麼一回事。數學式完全由數學符號與預設條件所組成。+-×÷這些符號在數學的每個領域中，都預設是同樣的意義。而(-1) × (-1) = +1這種負負得正的規則，也是在確認不會與其它預設條件矛盾之後，才決定出來的規則。
至於x是什麼、n是什麼之類，對於未知數的定義，則是在解題時當場決定的預設條件。舉例來說，統計學的書中可能會出現這樣的敘述
假設一組資料中有n個數值，分別是x1, x2, …, xn，則這些數值的平均值x¯可表示為（算式1.1）
其中n是數值的個數，x1, x2, …, xn代表每一個數值，x¯則是數值的平均，這些都是當場決定的事項。如果這條算式出現在一本數學書中，那麼這條算式所定義的事項，在這本書以後的內容中也持續有效。要是讀者直接跳到過這個部分，或者是忘記這條算式的定義，在閱讀後面的內容時，不管怎麼讀應該都讀不懂才對。
這樣的規則和某些卡牌遊戲的規則有幾個相似的地方。想必各位都有聽過「UNO」這個卡牌遊戲吧。UNO的玩家需從手牌中選擇與場上的牌花色相同，或者數字相同的牌打出。要是手上沒有可以出的牌，就必須從牌堆中抽出一張牌放入手牌內。遊戲時，每位玩家依序出牌，最先出完手牌的人就能獲得勝利。有些卡牌中還有著像是「讓下一個人抽兩張牌」、「出牌順序反轉」之類的指示。
那麼，各位有聽過「Pageone」（正確來說應該是「American Pageone」）的撲克牌遊戲嗎？Pageone是UNO的原型遊戲之一，有著各式各樣的變種玩法，不過「從手牌中選擇與場上的牌花色相同，或者數字相同的牌打出。要是手上沒有可以出的牌，就必須從牌堆中抽出一張牌放入手牌內。每位玩家依序出牌，最先出完手牌的人就能獲得勝利」這個基本規則和UNO是一樣的。
UNO是用專用牌來玩，所以有些牌上會寫著「讓下一個人抽兩張牌」這樣的說明。不過Pageone是用撲克牌來玩，所以若玩家希望特定數字的牌有特殊用法，需要在開始玩之前就自行定義清楚，像是「出2，下一個人要出兩張牌」，或者是「出8，出牌順序反轉」之類的。因為這是遊戲規則，所以即使被問到「為什麼出8的時候出牌順序會反過來呢？」也很難回答出個所以然。因為這是預設條件，所以沒有為什麼。
筆者念小學的時候，在學校玩Pageone的時候常會「當場決定遊戲規則」。在開始正式遊戲之前，我們會隨意抽出一張牌，如果這張牌是3，就訂出「出3，下一位玩家就要抽兩張牌」這樣的規則，並當場把這個規則背起來。要是在遊玩途中弄錯規則的話就要「加手牌」，也就是要接受處罰。
讀數學書籍的時候，就和這種「當場決定規則的Pageone」一樣。若想知道書中數學式中的x和y分別是什麼意思，就要往前翻翻這本書中這條數學式之前的內容，一定會有「將某某東西表示為x」之類的說明。要是沒有確認這一點，就會被「加手牌」，就算讀完這本書也不曉得書的內容在講些什麼。
1.2 數學書的閱讀方式：數學家也不可能一目十行
在你看書的時候，讀一頁大概需要多少時間呢？如果是讀起來很輕鬆的書籍，應該可以一頁一頁地迅速翻過。如果是稍微有點困難的書，閱讀的速度可能就和唸出聲音的速度差不多。
但閱讀數學書籍的時候就不是這麼一回事了。某些情況下，讀一頁，甚至是理解一條數學式可能就會花上好幾天。不只是還未習慣閱讀數學書籍的初學者，數學家也很有可能會出現這樣的情況。數學家們在閱讀數學論文時，需要充分的時間理解最新的研究成果。
為什麼閱讀數學書籍時很花時間呢？筆者認為原因有以下幾點。
書中所寫的數學規則僅適用於該書 如前一節所述，現實生活中的「常識」沒辦法應用在閱讀數學書籍上。數學書中除了有+-×÷這些適用於所有數學領域的規則之外，還有著「將某某東西表示為x」這種僅適用於這本書的規則。在閱讀數學書籍時，需隨時記著這些規則，一一理解每條數學式想表達什麼意思，數學式又為什麼要這樣變形才行。
不是用日語文法寫成 數學式的書寫規則與日語文法有所不同。若要問和哪種語言比較接近，比起日語，數學式與歐美語言較為相似。舉例來說，本書第九章以後會用P(X)來表示「X的機率」。英語中寫成“probability of X”，P在X前面。但在日語和中文順序剛好相反，「機率」在X的後面。因此在日語數學書中，常可看到日語中夾雜著各種「外國語言」及「數學語言」。
不一定是從前面開始閱讀 一般的語言中，為了在唸出聲音時能讓人馬上理解，通常是從一段文字的最前端開始，照著文字的順序一一理解文字的意義。但數學式並沒有預設要被唸出聲音來，故不一定是從最前端開始理解每一個符號的意思。
數學式中有著「先乘除、後加減」的規則。因此像是「1 + 2 × 3」這樣的式子，就必須先計算2 × 3，再計算1 + (2 × 3的結果)。
另外，我們在第十二章中說明「區間估計」時，也會出現「P(-1.96≦Z≦1.96) = 0.95」這樣的式子。讀者必須先讀懂( )內想表達的是「Z在-1.96以上，1.96以下」的意思，然後瞭解到P(…)想表達的是「( )內的事情發生的機率」，最後看到「= 0.95」時，才會明白到這個機率是0.95。照這個規則閱讀這條式子，先瞭解式子的中間部分，再逐漸往左右兩邊擴張，才能讀懂這條式子想表達的意思。
沒辦法把數學式唸出來 如前所述，數學式並沒有預設要被唸出聲音來。因此，唸不出數學式是很正常的。
第四章中說明用來表示總和的符號「Σ」時，會提到「（算式）」這個數學式的唸法是「sigma xi i等於1到n」或「將i等於1到n的xi加總」，但這個數學式並不是非得要這樣唸才行，不管怎麼唸都沒有關係。
「要是沒有讀出聲音的話就很難記住」這種想法也不是不能理解，但照著文字符號的排列把數學式硬背下來其實沒有什麼意義。就算反覆唸著「sigma xi i等於1到n」而將其硬背下來，若沒有辦法把這轉換成數學符號（算式），就沒有意義了。
讀到後面時會覺得突然變得很難 我們小時候學過的數學知識在我們的生活中會不斷重複使用。生活中經常使用的「+-×÷」就是在小學時學到的，在多次使用之後我們已熟練了這些計算方式。就像前面提到的「平均」這個例子一樣，如果在一本書中已經定義了一次規則，就不會在同一本書內講第二次，而且這個定義會一直沿用到書結束。
數學書籍中，常會在一開始就提到一大堆諸如「x代表某某意思」之類，看起來很單純的定義。由於在這本書之後的內容中，都會把這個定義當成理所當然的條件來使用，所以要是一開始不把這些單純的定義當一回事，讀到後面時就會覺得突然變得很難。
閱讀數學書籍時會碰到上述困難。老實說，對於筆者而言，閱讀寫有一大堆數學式的書時也會覺得很累，常會想要跳過數學式的部分。但這就像是讀日語時，跳過艱難的漢字只讀假名一樣，絕對看不懂在寫什麼。
因此，對那些覺得數學書籍很難看懂的人，我建議閱讀時在旁邊做一份筆記。當看到書中寫著「x代表某某意思」的內容時，就在筆記上寫下「x：某某意思」。之後如果在其它數學式中看到x，就再回頭看看筆記中的「x：某某意思」。這麼一來，讀者就可以在腦中將各種數學式一一組合起來，想像出這本書想說明的世界，建構出自己的「世界觀」。
換句話說，就像是在玩剛才提到的「當場決定規則的Pageone」時，將當場決定的規則寫在筆記上，邊看著規則邊玩遊戲一樣。筆者現在在閱讀有許多數學式的學術論文時，也常用這種方法。
1.3 本書的內容展望
我們剛才提過「世界觀」這個詞。在閱讀數學書籍的時候，「展望」也是很重要的事。不管是在推導數學式還是在推導邏輯，要是沒有一個目標，腦中的數學世界會逐漸蒙上一層濃霧。若知道終點是什麼，就能夠同時從出發點與終點走出一條路徑，幫助理解這段推論的過程。
因此在本章的最後，我想簡單說明在這本書中，做為統計學的「熱身運動」的第一部內容，與說明統計學概念的第二、三部內容有什麼樣的關係。請對照著圖1.3看。
第二章「狡猾的政客」中，我們會說明數學中的邏輯與集合，以及集合的示意圖「文氏圖」。本書中常會用到數學上的邏輯，特別是在第十二章講到「檢定」時，數學邏輯更是必備的基礎概念。而在第九章講到機率時，我們會用集合與文氏圖來說明「條件機率」的概念。
第三章「希臘字母看起來好帥」中，我們會說明在數學中常用到的希臘字母。而且在本章中所提到的「常數」與「變數」的概念，在本書的其它地方也會用到。另外，本章會提到「不等式」。第十章中說明「隨機變數的範圍」，以及第十二章說明「區間估計」時，都會用到不等式的概念。
第四章「加法→乘法→次方，逐漸演進的計算方法」中，會說明「+、-、×、÷、根號、次方」等計算符號。本章還會提到代表加總的「Σ符號」，這個符號在第七章中求平均值，以及第十四章中計算各種與期望值有關的數值時都會出現。此外，在第八章中講到「對數尺度」時，會用到本章所提到的「對數」概念；而在第十三章中講到「連續」時，會用到本章所提到的「實數」概念。
第五章「函數與數學式」中，會說明數學領域中非常重要的「函數」，以及函數的「圖形」等概念。第八章講到能夠精簡資料意義的「迴歸」，以及第十三章講到與機率有關的「機率密度函數」時，都會用到函數與圖形的觀念。
第六章「從單位到微分、從合計到積分」中，會說明數學領域中用來衡量「量」的變化時會用到的「微分」與「積分」。第八章在求迴歸線時會用到「最小平方法」，說明最小平方法時就會用到微分的概念；第十三章在說明「連續型機率分配」時，則會用到積分的概念。
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