目錄i
圖目錄v
推薦序vii
自序xv
本書使用手冊xx
0 高等微積分(數學分析) 簡介. . . .1
0.1 什麼是高等微積分? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
0.2 高等微積分是有多困難? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
0.3 高等微積分的數學屬性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
0.4 學高等微積分時需要注意哪些事情? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
0.5 如何學好高等微積分? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
0.6 課堂上該如何學習? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
0.7 關於寫作業的默契. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
0.7.1 作業設計原理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
0.7.2 學生如何看待作業? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
0.8 從修課學生的觀點看高等微積分. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
0.8.1 數學系二年級學生修完高等微積分課的心得— 顏伯霖. . . . . . . . . . . 21
0.8.2 數學系二年級學生從寫作業的過程體會高等微積分— 邱烱南. . . . . . . . 22
0.8.3 外系同學對於高等微積分的看法— 游崇祐. . . . . . . . . . . . . . . . . 23
0.8.4 高年級同學對於高等微積分課採取的讀書策略— 李秉軒. . . . . . . . . . 24
0.9 結語. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1 實數系的建構與性質. . . .27
1.1 有理數的基本性質. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.2 戴德金切割與實數的完備性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.3 可數集與不可數集. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
習題. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2 數列的極限理論. . . .55
2.1 數列極限的精確定義. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.2 收斂數列的性質. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.3 單調數列理論. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.4 子數列理論. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2.5 無窮小與無窮大. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
習題. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3 實數的完備性. . . .83
3.1 單調有界定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.2 區間套定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.3 有限覆蓋定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.4 數列緊緻性定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.5 柯西收斂準則. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.6 由柯西收斂準則證明戴德金切割原理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.7 與柯西數列相關的討論. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.8 理論的推廣與抽象化. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
習題. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4 函數的極限與連續函數. . . .95
4.1 函數的極限. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.2 函數極限的性質. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.3 連續函數. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.4 均勻連續. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
4.5 有界閉區間上連續函數的性質. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
4.6 中間值定理的應用. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
4.7 附錄. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
習題. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
5 導數與微分. . . .137
5.1 導數的定義. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
5.2 導數的性質與求導法則. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
5.3 均值定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
5.4 羅必達法則. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
5.5 幾個導數理論的重要結果. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
5.5.1 對數函數的等級. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
5.5.2 反導函數的起源. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
5.5.3 導函數的一些限制. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
5.5.4 函數的遞增遞減與凹口. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
5.6 微分. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
5.7 附錄. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
習題. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
6 黎曼積分理論. . . .175
6.1 定積分. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
6.2 黎曼可積的充要條件. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
6.3 可積分的函數與黎曼可積的性質. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
6.4 微積分基本定理與積分技巧的證明. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
6.5 定積分的應用. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
習題. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
7 瑕積分理論. . . .207
7.1 瑕積分. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
7.2 第一類瑕積分的收斂理論. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
7.3 第二類瑕積分的收斂理論. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
7.4 伽瑪函數與高斯積分. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
7.4.1 伽瑪函數. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
7.4.2 高斯積分. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
習題. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
8 無窮級數理論. . . .233
8.1 無窮級數的基本性質. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
8.2 正項級數的收斂判別法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
8.3 一般級數的收斂判別法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
8.4 無窮級數的加法交換律與乘法分配律. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
習題. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
9 函數項級數. . . .263
9.1 均勻收斂. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
9.2 均勻收斂的性質. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
9.3 函數項級數. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
9.4 冪級數. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
9.5 泰勒級數理論. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
習題. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
10 多變數微分理論. . . .305
10.1 隱函數定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
10.2 反函數定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
10.3 函數獨立與函數相依. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
習題. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
參考文獻. . . .325
索引. . . .327

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0 高等微積分(數學分析) 簡介. . . .1
0.1 什麼是高等微積分? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
0.2 高等微積分是有多困難? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
0.3 高等微積分的數學屬性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
0.4 學高等微積分時需要注意哪些事情? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
0.5 如何學好高等微積分? . . . . . . . . . . . . . . ....