一本通數學原理

名人推薦：洪萬生　博士　台灣師範大學數學系退休教授（全書審查）
傅昭銘　博士　國立台灣大學物理系教授（專文導讀）
高涌泉　博士　國立台灣大學物理系教授（推薦）

CHAPTER ONE 西元前3000年—西元前二世紀
第1篇　數字寫法 (Writing Numbers) （西元前3000年，全球）
位值系統(place value system)用有限的數字符號寫任何數字。
有些數字系統中，每個十進位有不同的符號。位值系統中只使用少量的符號。
在古埃及的數字系統裡（溯及西元前3000年），他們有個位數的符號、十位數的符號等等，數字365的寫法是：
〈圖〉
其中I表示個位數，∩表示十位數，e表示百位數。( 標註的符號抓圖檔COPY)
中文的數字系統寫法和英文的念法差不多，例如：”Three hundred and sixty-five” ，換句話說就是：有幾個百，幾個十，幾個一。數字365的寫法如下：
〈圖〉三 百 六 十 五
3 100 6 10 5
代表：3x 100 + 6x 10 + 5
這兩套系統都沒有限制符號的數量，也就是說，我們需要不同的符號代表百萬，需要另一個符號代表千萬等等。現代系統是使用數字0~9這10個符號。
每個數字的價值依它在數字裡的位置而定。例如，在數字365中，右邊的5代表5，6代表60，因為它往左移了一位，所以3代表300。這個系統是從印度經過阿拉伯國家傳到西方的，稱為印阿系統。
古巴比倫的位值系統更精簡，只用兩個符號：！代表1，< 代表10。他們的位值系統是採六十進位法，而非十進位法。以下的數字： (標示符號抓圖檔COPY)
〈圖〉
代表3x 602 + 21x 60 + 43 = 12103

CHAPTER ONE 第2篇　分數(Fractions) （西元前第3000年，埃及和巴比倫）
從古至今，分數的寫法向來都有好幾種，例如埃及的寫法很有限，現今我們使用的是巴比倫系統。
任何先進的文明都有分數系統，古埃及雖以工藝技術聞名，但他們的分數系統比較難用。
除了2/ 3這個例外以外，古埃及人唯一認得的分數是以1為分子的分數，名叫單分數(aliquot fraction)，例如1/ 2、1/ 3、1/ 4。任何其他的分數都必須用這些單分數表示。此外，分數不准重複，例如，如果他們想寫2/ 5，不能寫成1/ 5 +1/ 5。對於第二個1/ 5，他們必須找總和是1/ 5的單分數，例如1/ 6+ 1/ 30。所以他們會把2 /5寫成2/ 5 = 1/ 5 + 1/ 6 + 1/ 30。（還有其他的可能寫法）
古埃及的數學例子很少留存下來，少數留存下來的例子是刻在皮軸上，溯及西元前1650年，裡面包含分數計算，例如前面舉的例子。
巴比倫系統比較有彈性，是採用他們的整數寫法。每單位分成60個更小的等分，稱為細部(minute parts)，每個細部又可再細分成60等分，稱為第二細部(second minute parts)，以此類推，還有第三細部和第四細部。我們現在仍用這套系統來計時，把一小時分成60分鐘，一分鐘分成60秒（不過，一秒鐘是以十進位小數細分，而不是第三與第四細部）。
為什麼整數和分數系統都是使用60？很可能是因為它有太多因數，所以有很多分數有「終止」。（譯註：下一頁會解釋什麼是終止。）
以分數1/ 2、1/ 3、1/ 4直到1/ 9為例，使用一般小數表示時，其中有4個分數(1/ 2、1/ 4、1/ 5、1/ 8)有終止，另外4個(1/ 3、1/ 6、1/ 7、1/ 9)是無限循環，例如1/ 3= 0.3333…（3無限延伸）。使用巴比倫分數時，只有1/ 7沒有終止。
如今，分數有兩種寫法。例如，5除以8時，可寫成5/ 8或0.625。
CHAPTER ONE 第3篇　 二次方程式(Quadratic Equations) （西元前2000年，巴比倫）
二次方程式包含未知數的平方，幾千年前巴比倫的數學家就已經知道如何解二次方程式了。
對任何文明來說，土地的衡量一向都很重要。想知道一塊正方形土地有多大，你是以邊長乘以邊長計算，亦即邊長的平方。拉丁文的平方稱為quadratus，這就是quadratic這個字的由來，平方用語由來已久。
代數上，二次方程式的形式如下：
ax2 + bx + c = 0
其中a、b、c都是數字。
世界各地的數學課都很熟悉這個方程式（亦即x方程式）。
〈圖〉
當然，這是以現代的代數記號表示。不過，解二次方程式的方法已經存在數千年了。
倫敦大英博物館裡有一塊巴比倫的刻寫板，板上有下面這個問題的解法：
方形面積加上方形邊長等於0.75，方形的邊長是多少？
泥板上的計算如下（見12頁）的表格左邊所示，現代的解法是列在表格的右邊。

通常，我們是用下面的方法解x2 + bx = c方程式：
〈圖〉
當a=1時，這多多少少和上面的現代方程式相同。

CHAPTER ONE 第4篇　 最大角錐體(The Greatest Pyramid) （西元前1853年，埃及）
副標　角錐台(frustum of a pyramid)是指角錐體的頂部切除，古埃及手稿提到計算其體積的方法。
古埃及以建造金字塔聞名，可惜工程技術已經失傳。同樣的，我們現在只能猜測埃及人擁有的數學技巧。
以圓錐體或角錐體之類的立體為例，它們從底部到頂端的斜率都一致。切除它的頂部，就會得到錐台。優格杯就是一種錐台。
莫斯科的紙草（溯及西元前1850年）裡面有一套計算角錐台體積的規則，內容如下：
假設頂部切除的角錐高度是6，
底部方形的邊長是4，頂部方形的邊長是2。
4的平方是16，
4乘以2得8，
2的平方是4，
16加8再加4等於28，
6除以3等於2，
2乘以28得56，
你會發現這就是答案。
根據這套規則，以下是計算體積的方程式：
1/ 3 x 6 (42+2x4+22) = 56
這樣的確可以得出正確的體積。
一般而言，如果錐台的高度是h，頂部方形的邊長是r，底部方形的邊長是R，計算體積的方程式如下：
1/ 3 h ( R2+ Rr+ r2)
〈圖〉 〈圖說〉上圖顯示切掉頂部的錐體。
結果是對的，沒有資料顯示這方法是怎麼得出來的。是實驗得出？還是源自理論？
這個數學結果稱為「最大埃及角錐體」（注意，這是數學家說的）。

CHAPTER ONE 西元前3000年—西元前二世紀
第1篇　數字寫法 (Writing Numbers) （西元前3000年，全球）
位值系統(place value system)用有限的數字符號寫任何數字。
有些數字系統中，每個十進位有不同的符號。位值系統中只使用少量的符號。
在古埃及的數字系統裡（溯及西元前3000年），他們有個位數的符號、十位數的符號等等，數字365的寫法是：
〈圖〉
其中I表示個位數，∩表示十位數，e表示百位數。( 標註的符號抓圖檔COPY)
中文的數字系統寫法和英文的念法差不多，例如：”Three hundred and sixty-five” ，換句話說就是：有幾...