第1章 創造出零
「零就是什麼都沒有的意思嗎？」
1.1 零是什麼？
由梨「哥哥，零是什麼呢？」
我「怎麼突然這麼問呢？」
我是高中生，這裡是我的房間。
由梨是國中生，她是我的表妹。
住在附近的由梨常到我的房間玩。
雖然我不是由梨的親哥哥，不過她從小就會叫我『哥哥』。
由梨「別管那麼多啦！快回答我，零到底是什麼呢？」
我「0是一個數啊。」
由梨「我知道0是一個數啊，可是1和2也是數啊？那0這個數又有什麼特別的呢？」
我「0有什麼特別的啊——嗯，
任何數加上0時，值都不會改變。
這種解釋可以嗎？」
由梨「值都不會改變？」
我「舉例來說，123這個數加上0之後，值還是123，沒有改變。也就是說……」
123 + 0 = 123
由梨「是啊，123加上0之後還是123。」
我「當然，不只123會這樣，譬如說，
12345 + 0 = 12345
100 + 0 = 100
3.14 + 0 = 3.14
999 + 0 = 999
-3 + 0 = -3
0 + 0 = 0
不管是哪個數都一樣。如果用a這個字母來表示某個數，那麼下面這個等式會成立
a + 0 = a
換言之，對於任何數a，a+0皆與a相等。0就是這樣的數，有這種性質的數也只有0。」
由梨「嗯……還有沒有更詳細的說明呢？」
我「更詳細的說明？這樣的性質可以嗎？
任何數乘上0時，值都會變成0。
舉例來說，123這個數乘上0之後，值就會變成0。也就是說，
123 × 0 = 0
對於任何數a，下面這個等式會成立
a× 0 = 0
0就是這樣的數，有這種性質的數也只有0。」
由梨「哦！就是這個！」
我「咦？為什麼突然那麼激動呢？」
由梨「我想聽更多有關『a和b相乘後會等於0』的說明！」
我「可以啊。a和b相乘會寫成ab，這個你知道吧。」
由梨「知道。」
我「當
ab = 0
成立時，a和b中至少有一個是0。」
由梨「可能a是0，也可能b是0。」
我「也可能a和b兩個都是零。」
由梨「沒錯。」
我「當a = 0和b=0這兩個等式至少有一個成立時，我們會寫成
a = 0或b=0。
若ab = 0，則a = 0或b=0成立。這段敘述可以寫成
ab = 0 => a = 0或b=0。
反過來說，若a = 0或b=0，則ab=0成立。這段敘述可以寫成
ab = 0 <= a = 0或b=0。
兩邊合起來便可得到
ab = 0 <=> a = 0或b=0。」
由梨「這兩個是同一件事吧？」
我「是啊。
ab = 0
成立，與
a = 0或b=0。
成立，這兩件事在邏輯上是同一件事，故兩者等價。」
由梨「我說哥哥啊。會不會發生『ab = 0，但a和b兩邊都不是0』這樣的情況呢？」
我「不會喔。a和b至少要有一個是0才行。」
由梨「說的也是！嗯……」
我「為什麼喃喃自語呢？ab = 0與a = 0或b=0等價，這是很重要的事喔。」
由梨「有那麼重要嗎？」
我「是啊。比方說我們解二次方程式的時候就會用到喔。」
由梨「真的嗎！」
我「舉例來說，
x2 - 5x + 6 = 0
當我們在解這個方程式的時候，會將x2 - 5x + 6化成(x - 2)(x - 3)的形式，也就是所謂的因式分解。」
由梨「是啊，要因式分解成這樣。」
我「因式分解是將數學式化為相乘的形式，也就是化為『積的形式』。這個例子中，就是將原式化為x - 2與x - 3這兩個式子的積。若要問為什麼要化為『積的形式』，這是因為要用到
（算式）
這個等價關係。
（算式）
……這樣就解出答案了。」
由梨「2或3。」
我「是啊。二次方程式x2 - 5x + 6 = 0的解是x = 2或x = 3。在解二次方程式的時候，比起x2 - 5x + 6這種『和的形式』，(x - 2 )(x - 3)這種『積的形式』比較容易看出解是多少。所以，像ab = 0這種『積的形式』等於0的等式相當重要。」
由梨「是沒錯啦……這樣的話果然還是有點怪。」
我「由梨從剛才開始好像就一直有話要說，是想說什麼呢？」
1.2 不可思議的數
由梨「那個啊，前陣子學校有個朋友跟我說了一件很奇怪的事。」
我「男朋友？」
由梨「不是啦！……就是啊，這種『不可思議的數』真的存在嗎？」
『不可思議的數』
AB等於零，但A和B都不是零。
我「積是零，但兩者都不是零嗎……」
由梨「我都跟他說沒有這種數了，他卻回我創造出來就有了。數是可以創造出來的嗎？」
我「啊，原來是這麼回事嗎？我們平常用的數字中，當然不存在這種『不可思議的數』。不過，我們確實可以創造出擁有這種『不可思議的數』的性質的東西喔。譬如說，如果把矩陣納入考慮的話，就可以創造出這種『不可思議的數』了。」
由梨「矩陣？」
我「數學領域中有一種叫做矩陣的東西，這是一種『類似數的東西』。矩陣可以做加法、乘法——可以像數字那樣計算。」
由梨「可以計算的矩陣……」
我「而且在矩陣中，確實會出現『AB等於零，但A和B皆不等於零』的情況喔。」
由梨「類似數，卻又不是數。我聽不太懂是什麼意思耶。」
我「矩陣雖然和數類似，卻也有許多地方和我們平常看到的數字有所不同。這就是數學家們創造出來的矩陣。」
由梨「創造出很像數字的矩陣……這是什麼意思呢？」
我「矩陣是什麼？矩陣之間的加法怎麼算？乘法怎麼算？這些都要透過定義來決定，就像是創造出來的一樣。」
由梨「好複雜喔，聽起來好難。」
我「一點都不難喔。知道怎麼計算矩陣的話，就能做到更多有趣的事囉。比方說，我們可以用矩陣來旋轉星空。」
由梨「旋轉星空……我們不是在講數學嗎？」
我「讓我們照著順序一步步看下去吧。」
由梨「快講快講！」
1.3 矩陣
我「首先，讓我們來看一個簡單的矩陣例子。像這樣把數字排在一起，就是所謂的矩陣。」
矩陣的例子
由梨「1、2、3、4。」
我「沒錯。這裡寫的是1、2、3、4，不過其實你想寫什麼數都可以。只要把數排成這個樣子，外面再用一個括弧框起來，就是一個矩陣了。」
由梨「這樣啊——」
我「這個矩陣（1 2 3 4）有兩個列。1 2是第1列，3 4是第2列。」
1 第1列 2 第2列
由梨「哦——」
我「另一方面，這個矩陣有兩個行。1 3是第1行——」
由梨「2 4是第2行。」
我「沒錯。這個矩陣有兩個列、兩個行，是一個2× 2矩陣。你看，一點都不難吧？」
由梨「雖然不難，但是也不有趣。」
我「矩陣也不一定會是（1234）。就算把1, 2, 3, 4換成其它數字，一樣是2× 2矩陣喔。就像這樣。」
2× 2矩陣的例子
由梨「這樣啊……」
我「剛才寫的矩陣都是2× 2矩陣。不過在一般情形下，矩陣要有幾列、有幾行都行。」
由梨「像是3× 3矩陣嗎？」
我「沒錯，列和行的個數不一樣也可以喔。」
由梨「嗯嗯。」
我「像是2× 2矩陣，3 × 3矩陣這種列數與行數相同的矩陣，又叫做方陣。」
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