從零開始—追蹤零的符號與意義

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推薦序：神奇的零---（台大數學系副教授蔡聰明）

世界為什麼是「存有」而不是「空無」？
（Why is there something instead of nothing ?）
──萊布尼茲

本書的第一句話就相當吸引人：「如果你看零，你會看到空無；但是如果你洞穿它，你會看到整個世界。」書末的結語更是精采：「空無不在那裡，而空無正在那裡。」這就好像聽一首樂曲，開頭震撼，結束壯麗，令人回味無窮。讓我們情不自禁地想要一窺「究竟出版社」出版的這本零書的「究竟」。
波斯天文學家、數學家兼詩人奧瑪珈音（Omar Khayyam, 1050─1123）寫有著名的《魯拜集》，其中有一首詩，正好可以互相輝映（黃克孫譯）：

飯顆山頭飯顆生，
蓮花燈下蓮花起。
忽聞棒喝一聲來：
道不在斯不在彼。
換言之，「道」與「空無」不在這裡，也不在那裡，它們無所不在。
從存有（例如「我思故我在」的人）出發，有兩個方向的伸展：向右是大自然、宇宙、無窮大；向左是小世界、原子，再到超弦、無窮小、零、空無。最奇妙的是，最後兩頭互相銜接。這就是著名的「Ouroboros」圖：
一條蛇吞食著自己的尾巴，終究會出現自己的頭吃自己的頭之困境。在邏輯上，這象徵著論證的「繞圈子」（vicious circle）。在物理學上，這象徵著宇宙論與粒子物理學的匯合。零或空無是逆向通到大宇宙的一扇門，這讓我想起詩人艾略特（T. S. Eliot）在〈四個四重奏〉（The Four Quartets）中的一段詩：

In order to arrive at what you do not know
You must go by a way which is the way of ignorance.
In order to possess what you do not possess
You must go by the way of dispossession.
In order to arrive at what you are
You must go through the way in which you are not.
And what you do not know is the only thing you know
And what you own is what you do not own
And where you are is where you are not.

零是一個神奇的數，本義是空無（nothing, empty, non-being , void, vacuum, null ），但卻無奇不有。本書為零立傳，展示零的起源、性質，所遇到的困難、演變，如何伴隨數學和人類文明的成長。零的概念與記號，我們現在看起來覺得稀鬆平常，但是它的誕生過程卻相當艱難，所以數學史家Cajori稱零為「哥倫布的蛋」（Columbus-egg）。一個有深度與豐富內涵的東西，經常是「正言若反」，似有實無，似無實有，充滿著矛盾，因此才會「看似尋常最奇絕，成如容易卻艱辛」。零及其近親「無窮小」和遠親「無窮大」這三個概念都是絕妙的例子。它們合奏出微積分的交響曲。法國詩人雨果（Hugo）說：「當無窮大出現時，每一個數都變成零。」女詩人辛波絲卡（Szymborska）說：

我偏愛自由無拘的零，
勝過排列在阿拉伯數字後面的零。
本書是一位數學專業的人寫的，除了準確地講述數學與數學史之外，還充滿著哲學、詩與禪味的有趣內涵，表現作者博學多聞、旁徵博引的一面。在書中，詩人莎士比亞、奧瑪珈音、里爾克、濟慈、斯文本恩、但尼生、歌德……，哲學家柏拉圖、柏克萊、維根斯坦……都曾經出場，為零增添不少的哲思與詩意之美。「詩人跟空無搏鬥，奮力想從無中產生有；詩人叩敲沈寂，靜待一個回音。」這是從零傳來的梵音妙樂，如芭蕉的俳句：古老池塘，青蛙躍進，撲通一聲！
這是一本有趣的書，它像是一首詩，可以打開一扇窗，讓我們看見隱藏在平凡世界中的美。歌德說：詩要隱藏有哲學。同理，數學的科普書要有詩與哲學。
李爾王說：「空無只能生出空無。」老子說：「萬物生於有，有生於無。」換言之，空無可以生出任何東西。我們觀察：0＝－1＋1＝－2＋2＝……，發現零可以成對生出所有的數。數學家馮紐曼甚至用空集合創造出所有的自然數。
西元前212年，當阿基米德正沈迷在他的幾何圖形時，闖進一名羅馬士兵，阿基米德叫道：「不要弄壞我的圖形！」於是阿基米德被殺死，據說這位士兵的名字叫做「Zero」。「零」殺死了阿基米德！羅馬人是一個只注重實用的民族，對事物沒有終極關懷（ultimate concern），因此，在數學與理論科學上毫無建樹。羅馬數字不利於演算，也沒有零，甚至於有一位學者因引進0而被處以拶刑。
數學研究數與形的規律，表現為公式與定理，它們的背後都涉及無窮多的對象。德國偉大數學家Hilbert說：數學是研究無窮的學問（Mathematics is the science of infinity.）。無窮正好是數學美的要素。我發現本書中有兩個我很喜歡的公式：

God＝Man＝0。

我還讀到一段有趣的話：「美國是零的國度，我們從零開始，從空無一物開始，這就是美國的理念。我們僅從自身的理性、我們的嚮往、我們的追尋開始。」深信一步一腳印，可到達任何地方，這種不怕零並且善待零的自信最美！
零與人類文明的關係非常密切。古希臘人跟零苦鬥超過三百年以上的時間，有悲劇也有喜劇。這件事情在數學史上是一個關鍵，值得在此細說。
首先是哲學家們爭論：物質是有窮可分割或無窮可分割（finitely or infinitely divisible）？由此發展出兩派：離散派與連續派。離散派又叫原子論派（Atomism）。
連續派主張物質可以無止境地分割。哲學家Anaxagoras說：「沒有最小，因為小之中還有更小；也沒有最大，因為大之中還有更大。」但是，經過無窮步驟的分割，最終會是什麼？它是「有」還是「無」？例如一條有限的線段經過無窮步驟的分割，最後得到「點」（point），那麼，點是有長度或沒有長度？如果點有長度，那麼有限的線段會具有無窮的長度，這是一個矛盾。如果點沒有長度，那麼線段是「無中生有」（something out of nothing）出來的，這是不可思議的事情。無論如何，這兩個困境連續派都無法克服。
畢達哥拉斯（Pythagoras）是離散派，主張線段只能做有限步驟的分割得到點，「點」是組成幾何圖形的最基本要素。點雖然很小，但是有一定的大小，長度不為0。從而，任何兩線段皆可共度（commensurable），即它們的比值為有理數。在這個基礎下，畢氏成功地將幾何學建立在算術的基礎上面。這就是所謂的幾何原子論（Geometric Atomism）。畢氏進一步創立「數掌控著宇宙」（Number rules the universe.）以及「萬有皆整數」（All is whole numbers.）的「數學教派」。但是，好景不常，畢氏學派很快就發現：正方形的對角線與一邊不可共度。這等價於為無理數。這像921大地震，震垮了畢氏學派的幾何研究綱領，在數學史上造成數學的第一次危機，產生「希臘人對無窮的恐懼」（the Greek horror of the infinite）。
柏拉圖深知這件事情的重大意義，因此他說：「不知道正方形的對角線與一邊不可共度的人愧生為人。」柏拉圖在雅典的市郊設立世界第一所大學，叫做柏拉圖學院，以探究宇宙間一切奧祕為宗旨，在門口掛著一塊招牌寫著：「不懂幾何學的人不得進入此門。」這是第一個大學的入學考試標準。柏拉圖一方面創立「理型世界」的哲學來回應這件事情（每有一個重大的知識突破，就對應有一種哲學），一方面提出最重要的一個問題：如何重建幾何學？
柏拉圖學院出身的歐幾里得（Euclid），在西元前300年成功地完成這件大事，但他已不走畢氏的舊路，而改採公理演繹法（Axiomatic- Deductive method）。歐氏的第一個定義：點只占有位置，而沒有長度。這是對畢氏學派的失敗所做的修正。從而，點不生存在這個世界，而是生存在柏拉圖的理型世界。我們實際上做出來的點一定有大小，因此有人說：幾何學是用不正確的圖形做正確論證的學問。
歐氏幾何的公理演繹系統是往後所有數學與科學理論所要模仿的典範，因此愛因斯坦說：「如果歐氏不能點燃你年輕的熱情，那麼你生來就不是一位科學思想家」。美國女詩人Millay稱讚歐幾里得說：「只有歐幾里得見過赤裸裸的美。」歐氏幾何也讓十一歲的羅素一學就「如醉如癡，像初戀一般」。
但是，如何由沒有長度的點累積出有長度的線段？這個難題歐氏也沒有解決，一直等到牛頓與萊布尼茲在1680年代創立微積分後才解決：把線段〔a, b〕分割成無窮多段的無窮小段，在x點處的無窮小段記為dx，然後對dx連續求和（即積分），讓x從a積分到b，就得到線段a, b的長度。問題解決，微積分也發明了。換言之，沒有長度的點不能積分成線段的長，把點的長度解釋為無窮小才可以積分，才解決千古的難題。
但是，什麼是無窮小？這是另一個難題，數學家又奮鬥了大約三百年，直到1960年才給出無窮小的邏輯基礎，發展出非標準分析學（Non-standard Analysis）。我引Bing Ilse的一段詩來說明無窮小的詭譎：

無窮小最接近於零。
無窮小是如此的小，
以至於不再是某個東西，
但它還不至於是空無。
今日的二進位法，用0與1就可以表達出所有的數，這恰好適合於電腦的使用。另外，在機率論中，一個事件的機率總是介於0與1之間；丟一個銅板有正反兩面，可用1與0來代表，而銅板序列幾乎可推演出所有的機運法則。在宇宙論中，有一種說法：在時間的零點，宇宙是一個密度無窮大的奇異點。如果是這樣的話，零、點與無窮大三合一於宇宙最初的一瞬，這太神奇了！
總而言之，零不只是空無（Zero is more than nothing.），簡直是無所不有。
最後，我引Queneau Raymond的一段關於0和1的詩，當作結尾：

When One made love to Zero
Spheres embraced their arches
And prime numbers caught their breath

註：prime numbers：質數，表示不可分解之意。