第二章
走路也有大學問
哥尼斯堡道路之謎
波羅的海沿岸有立陶宛和波蘭，兩國之間嵌入了一片俄羅斯領土，稱為加里寧格勒省（Kaliningrad Oblast）。省內的加里寧格勒市是個工業港，不管從哪角度來看，那裡都很單調。該市在二次大戰期間先是被盟軍轟炸機摧殘，後來則是被入侵的蘇俄部隊荼毒。如今所見的灰色粗劣公寓建築，則是在戰後匆促建成。原先座落於此的普魯士優美都市哥尼斯堡（Konigsberg）幾乎是蕩然無存。不只是熱愛建築的人士深感悲痛，懷舊的數學家也感到惋惜，因為歷來最偉大的數學家之一，尤拉（Leonhard Euler），就是因為十八世紀哥尼斯堡的規畫，才解答了一道難題，最後還促成兩個數學新領域，分別稱為「拓撲學」[1]（Topology）和「圖論」[2]（Graph Theory）。
註[1]拓撲學名稱起源於希臘語Topology，主要研究因數學分析而產生的幾何問題，今日，拓撲學主要研究拓撲空間在拓撲變換下的不變性質和不變量。
註[2]圖論屬應用數學的一部分，主要以圖為研究對象。圖論中的圖便是由數個給定的點及連接兩點間的線所構成，透過此種圖形來描述事物間的特定關係。
哥尼斯堡座落於普瑞格爾河畔（Pregel）。有七座橋樑連接兩座島嶼和河川兩岸，如圖所示。 當地居民流行一種消遣，嘗試通過所有橋樑走完一圈，並不得跨越任何橋樑超過一次。當時的人知道怎樣才能自得其樂。
這項活動看似簡單，結果卻證明這絕非雕蟲小技。想像某個週日下午，一位哥尼斯堡人外出散步，卻愈來愈感到挫敗。「1、2、3、4、5、6……錯了！1、5、7、4、2、3……天打雷劈喔！」。事實上，尤拉第一次聽到這回事時，還沒有人找出這道難題的解法，他深感興趣並開始研究，結果證明這不可能有解。 尤拉把地圖轉換為網絡圖來分析這道問題。
哥尼斯堡的橋樑網絡
網絡是以線條連接點群構成。乍看之下，上一張地圖和這張網絡圖並不相像，不過就數學家的說法，兩者是完全等價。也就是說，兩圖是拓撲等價的圖示。
標示A、B、C、D的點分別代表河川北岸、南岸（A和D）和兩座島嶼（B和C）。線條代表串連A、B、C和D的七座橋樑。有兩座橋樑連接A和B，兩座連接B和D，一座連接B和C，一座連接A和C，另外一座則連接C和D。
尤拉把點或節點區分為「奇」、「偶」兩種。奇節點表示有奇數線條從該點外延，偶節點則表示有偶數線條向外延伸。除了哥尼斯堡之外，尤拉還研究了許多網絡，他證明：
若各條路徑都只能通行一次，則唯有當環道中沒有奇節點或具有兩個奇節點時才能辦到。若為其他任何狀況都必須反覆通行，否則就無法走完網絡。
他還發現：若有兩個奇節點，那麼穿越環路的路徑就必須從奇節點之一開始，並以另一個為終點。
哥尼斯堡謎題終於出現證明。所有A、B、C、D四個節點全都是奇數的，因此根據尤拉第一定則，不可能有任何走法能夠解答原始問題。
從倫敦地下鐵看拓撲學
所有人都體驗過這門學問，卻不見得知道那就是拓撲學。倫敦地下鐵地圖是最好的範例。這是現代數一數二的偉大設計，在倫敦搭乘地鐵絕對不會找不到路。「搭棕線到牛津廣場，換乘藍線搭兩站到維多利亞。」
圖示的簡潔網絡是由直線和等距車站所構成，看來和倫敦真正的地鐵路線毫不相像。如果你是根據普通地圖來描繪，倫敦的地下鐵路線，看來就像隻腿肢散亂的笨拙蜘蛛，右下角則幾乎沒有東西。不過，真正和旅客有關的事項是車站順序和隧道路線的交點。這看來就像是把實際地圖畫在橡皮上，接著擠壓拉扯成為較好用的形狀，而這就是拓撲學！
第八座橋樑在十九世紀後期建成，座落地點如第35頁的圖所示。究竟創建這座城市的元老是要為旅客改寫該市的謎題，或是由於當時交通壅塞所致，原因並不清楚，不過這樣一來，哥尼斯堡便「尤拉化」了。如今已經有可能不反覆通過橋樑便能完成旅程。其原因是，奇節點已經減少為兩個，不過根據尤拉第二定則，這就表示想要通行環道的人，就必須從B點起步並在C點結束，或也可以反向通行。
可嘆，1944年的空襲把老橋炸毀大半。然而，從往後繪製的地圖可以看出，顯然已經有五座跨河橋樑重建完成，於是市中心區就像這樣： 加里寧格勒（哥尼斯堡）橋樑圖（現況）看來加里寧格勒又再次尤拉化，好比採B-C-A-B-D-C路線行進。俄國人是不是故意這樣做的？
紙筆挑戰
這是孩童一向都很喜歡的謎題。右邊是農莊大門圖。
鉛筆不得抬離紙面，也不許反覆畫過同一條線，是否有辦法一筆畫完本圖？
既然已經知道尤拉定則，你就可以證明不可能一筆畫出這幅圖，因為圖中有4個奇節點。然而，只要改變謎面形狀，畫成如左圖所示，這時就有可能畫出。條件是你要從標示X的兩個奇節點之一開始。
瓦斯查表員該怎麼走最省時？
哥尼斯堡人通行「尤拉環道」（Euler circuits）只是為了好玩。不過，在許多狀況下，不反覆通行來完成旅程就是比較嚴肅的目的。
倘若郵差或瓦斯查表員採取的路線並不反覆通行，就可以節省寶貴的時間。
現代世界最看重效率，經理人採用尤拉環道來協助他們找出捷徑。以色列有個很好的例子，當地的主要電力分公司希望提高查表員的工作效率。某個地區需要24位員工各自負責一個段落，才能完成整個街道網絡的查表工作。管理當局開始設法縮減查表所需人力。
研究這項問題的人為每位查表員調整街道規畫，儘量把奇節點都改成偶節點。結果完成了一套效率更高的路線，成效驚人，整個街坊的查表工作所需時間縮減了40%。現在只需要15名查表員就夠了，其他9名肯定要詛咒尤拉，為什麼他要發現哥尼斯堡解法。
負責規畫各種導遊行程的人對尤拉環道都會感到興趣，不過或許他們並不自知。導遊帶團在繁忙城鎮觀光時，沒有人會想要引導旅遊團重走遊覽過的道路。若是在堂皇宅第參觀，裡面的通道太過狹窄，隊伍難以雙向通行，這時問題就更嚴重了。室內參觀多半只限單向通行！這就會牽涉到導遊可以使用哪些出入口，還有哪些則要保持關閉。
掃街車分兩次清理道路兩側溝道時，還會碰到更複雜的問題。不過，這些問題都可以採用尤拉定則的改良形式來分析解決。
旅行售貨員的路程煩惱
清道夫、郵差和導遊都要避免兩次通過相同路徑，這表示他們是在尋找尤拉環道。另外還有種路徑與此有細微差異，也就是「漢密頓環道」（Hamiltonian circuit）。採行漢密頓環道的人，每個節點都只能通過一次，不過不見得要通過所有路徑。
這裡提出一個例子。假定馬克負責銷售紡織機，在轄區縣內有3家潛在客戶。今天他希望全部登門拜訪。圖示為3家客戶的位置。
註[3]最常見的問題是每個地點只拜訪一次，並不規定終點。馬克的狀況很特殊，因為他希望在完成環道之後回到家中，因此除了拜訪客戶之間的旅程之外，還要加上最後一段行程。
單連式與複連式迷宮
古希臘時代已經有迷宮和迷津，或許更早之前就已經出現並延續到現在。時至今日還比以往更受歡迎。英國最著名的迷宮位於漢普頓宮，這可以回溯至十七世紀。底下為該迷宮圖示。
迷宮可以分為兩類，「單連式」（simply connected）和「複連式」（multiply connected）。漢普頓宮的迷宮屬於單連式。這表示解謎時，只要一手接觸一道牆面（左右均可），全程都不脫離牆面就可以走完迷宮。但是這並不保證你能夠沿著最短路線走到中央，不過最後還是會走到出口。
複連式迷宮區分為不同獨立範圍，各範圍彼此隔絕且沒有牆面相連。這表示以手觸牆的簡單作法並不靈光。你進出迷宮時並不需要抵達中心點。複連式迷宮有種既定解法，這在十九世紀後期就已經發現，不過說明篇幅過長，這裡不提（而且道破訣竅不就會有點掃興嗎？）。
馬克拜訪所有客戶的最短路線為何？
馬克有不同選擇。他可以採ABC、ACB、BAC、BCA、CAB或CBA。實際上這些全都是漢密頓環道，因為馬克分別拜訪網絡中的每個「節點」恰好各為一次。不過馬克還有個問題。他希望知道其中哪一條是最短路線，如此他就可以減少里程，並儘量延長待在客戶位置的時間[3]。
馬克要拜訪3戶，共有6種可行的漢密頓環道。他有6種選擇，數量很少，可以迅速把不同環道的各目的地間隔距離相加，並確立最短路線。
要找出有幾種環道，最快的作法就是計算節點數目，就本例為3種。把遞減數列依序相乘3×2×1，這可以寫成3!（或稱為3的階乘）。若有4位客戶則為4×3×2×1，或有24種不同環道。
階乘用驚嘆號來表示是實至名歸，因為等到有待訪問的客戶數目提高到區區10家，可採行的不同環道就為10!或達到3,628,800種。檢查哪條路線最短必須用上電腦，否則就完全辦不到。而且環道的數量還會以驚人速率提高。就算只有20家客戶，數量也已經十分龐大（超過10萬兆），並超過普通電腦的能力，無法評估所有的可行路線。若有人要遞送包裹到60家客戶，可行路線會達到天文數字。
因此，漢密頓環道和尤拉環道並不相同，要找出漢密頓環道中的最短距離看似簡單，實際上卻非常難解。這完全是由於階乘計算十分龐雜，就算是小數字也是如此。事實上，至今數學家還沒有徹底解決「旅行售貨員問題」（Travelling Salesman problem）（這就是「馬克問題」的通俗名稱），目前還沒有發現概括的解法，也無法擔保能找出通過系列目的地的最短路線。
這對許多行業而言似乎都是個打擊，不只是售貨員，還有其他的實例，包括：要運送啤酒到各酒吧的釀酒廠、要外出看診的醫師，當然也包括外出購物的一般大眾。幾乎所有人都會浪費些許汽油或片刻時間，因為最佳的解法通常都很難尋覓。
所幸，事情也不見得都是這樣愁雲慘霧。旅行的人可以採用幾種技巧，來找出接近最佳途徑的路線。其中一種是天生的人類常識，用肉眼挑選前往10個目的地的環道，通常 註[4] 也有人稱之為「貪婪演算法」，在面臨選擇時，就選擇最有利的那個，而不去考慮可能的不良影響。
斯特靈的絕妙公式
──輕鬆求出N階乘近似值
十八世紀的斯特靈（James Stirling）想出一種嚇人的公式來估計N!（N階乘）。 公式為： 個公式有兩點很有意思。首先是結果異常精確，若是用來估算10以上的階乘，則結果誤差會遠低於1%。第二是公式出現了兩個重要數值，π和「e」（可參考第十七章的介紹），卻沒有明顯理由。 都和最短距離相差不到20%。
若想確保結果更為精確，那就要用上電腦。電腦程式設計師有多種可用技巧，不過沒有一種可以輕鬆說明。或許最單純的方式就是根據一般所說的「貪心演算法」[4]（Greedy Algorithm）來進行。現在我們就以接下來的網絡為例。
用電腦找出距離最短的兩個節點（本例為D和E），並串連兩點納入路線。接著再用電腦找出次接近的成對節點（A和D）並把兩點串連起來。一旦電腦發現，最接近的成對節點會產生封閉迴線，好比把A和E相連就會產生這種現象，這時就放棄這個選項，並尋找次接近的成對節點（A和B）。讓電腦繼續做下去，直到每個節點都和另外兩個串連並完成環道。就多數網絡環道而言，這項技術所產生的結果，和最短可能距離通常都相差不到10%。不過這並不保證能夠找出最短路線。
找出串連A、B、C、D和E的最短路線
另外還有些技術的效率更是遠高於此，保證電腦能有98%的機率可以找出最短路線。嶄新技術不斷問世，如今已經有指望能夠發明藉萬物的DNA來運作的「生物電腦」，或許這可以促成極端高效率的方式，來解答網絡問題。不過，數學家都喜歡能夠完美解答問題的純粹本質，實際用途並非所求。也因此旅行售貨員問題才始終都這麼具有挑戰性。 帕斯卡三角
帕斯卡三角（Pascal掇 triangle）是種漂亮的數字模式，通常是在中學低年級階段講授。請看接下來的圖示即呈現這種三角： 要求出三角中的數字，只需要把上層的兩個數字相加即可（不過端點數值例外，那始終都等於1）。
第九章
為什麼公車一次來三班
錯過公車有可能是好事
所有人都知道，每次想搭公車時都要等上天長地久，接著一來就是三班。這是常見的都市之謎，而且至少頻繁得可以用來當作書名。不過，數學家也確實會認為是個謎團。因為通常公車並不是一來就三班，而是兩兩出現，讀者在第163頁的「知識補給站」中可以看出其中原因。
不過，眼前就暫時假定，公車的確一來就是三班。如果這是事實的話，那麼通勤乘客的惡夢根本就不是惡夢。
或許你每次有重要約會的時候也都很倒楣，老是要錯過公車。或許你會想像，錯過公車絕對不會是好事。不過，倘若公車都是成三出現，那麼恰好錯過一班公車，或許你還可以預期會更快抵達目的地。
怎麼會這樣呢？錯過公車怎麼可能反而是好事？
我們鑽研公車現象之前，要先設計一種所謂的數學模式，也就是用虛構數字來簡化真實情況。只要假定合理，就能用模式來驗證構想，看出事情的脈絡。
假定公車總站每15分鐘發一班車。結果等到公車抵達你的候車亭，卻全都是三班集結為一群。為方便討論，就假設一群內各班公車的間隔都只有1分鐘。
既然這三班公車都是在某個45分鐘時段內由總站出發，那麼圖示兩群公車的間隔時段就必然是43分鐘。
集結之前 15分鐘-15分鐘-15分鐘 集結之後 1分鐘-1分鐘-43分鐘
現在假定你剛好看到一班公車離開你的候車亭。你並不知道那班車是一群公車中的哪一班。有可能是第一班，也可能是中間或最後一班，機會均等。倘若那是第一或第二班，那麼你只需要等1分鐘，就可以等到下一班。然而，倘若那是第三班，那麼你就要等43分鐘。
這就表示，你等到下一班車的平均時段長度為： 1分鐘＋1分鐘＋43分鐘/3＝15分鐘
不過，倘若當你來到候車亭之時，並沒有看到公車呢？換句話說，倘若你並不是恰好錯過公車，那又會如何呢？這就表示，你是在公車兩種間隔之一的時段間抵達。或許你剛好逮到1分鐘間隔時段。不過，你也有的43/45機會是碰上較長間隔。而且你抵達的時間，還可能是位於長間隔時段之間的任何時刻。你或許要從43分鐘的起點開始等起，也或許是從終點開始，那麼下班公車就要到站。因此，這時你的平均候車時間就是（43＋0）/2＝21.5分鐘。若是你抵達候車亭之時，並沒有看到公車離站，而且我們還把你在1分鐘間隔時段抵達的微小機會也納入，並略做調整，那麼你等車的時間還是要更長，超過看到公車離站的狀況。若你沒有看到公車離站，平均就要多等5分多鐘。
那就是為什麼，恰好錯過公車有可能會讓你更快完成整段旅程。
公車真的一來就是三班嗎？
車班集結成群絕對不是公車公司無能所造成的。這種集結現象純粹是生活中的現實。就算總站每15分鐘準時發車，乘客來到候車亭的時間卻不是那麼精確。絕大多數乘客都是隨機抵達。很可能在公車路線某點上，會突然有大批乘客抵達，當然搭車上下時也要刷卡投幣。這種行為會讓公車慢下來，也因此到了下一站時，就會需要搭載更多旅客。
這樣一來，下一班公車就會愈來愈接近前一班。況且，由於在兩班車的間隔期間抵達的乘客人數也要減少，於是第二班公車要搭載的乘客還要更少。因此第二班公車還會行進得更快。這時兩班公車就會陷入一種惡性循環，所以第二班車就幾乎肯定會趕上第一班，結果這兩班車就會雙雙完成旅程。這就是為什麼公車常會兩兩成群。
公車行進的路線愈長，就愈可能和另一班車集結成群。果真有三班公車聚集併列，也比較可能是在接近漫長行程的終點時出現。這種現象也比較常見於班車相距很近的狀況，換句話說，就是車班較為密集的公車路線。這還真是諷刺，「最好」的公車路線卻變成最會集結成群，也最容易引來罵名的路線。 然而，這種怪異的結果有個先決條件，那就是公車確實會每三班集結。不過，第163頁的「知識補給站」可以證明，公車比較可能兩兩聚集，卻較少成三集結。倘若公車是兩兩集結，那麼結果是就算你恰好錯過公車，也不會影響候車時間長度。
倘若公車完全不集結成群，這時若乘客錯過公車，情況就最糟糕了。這時錯過公車絕對就要等15分鐘，而這時若是沒有看到公車，就表示平均要候車7.5分鐘。不過，倘若你看到公車離開，至少你就知道今天他們還在營運…… 為什麼總是看到公車朝反方向離去？ 另外有個問題和公車集結有關，這種現象很怪，實際上也可能發生。假定你的候車亭很接近公車路線終點。公車到終點就要掉頭向起點開回去。你也注意到，不管你在任何時間前往候車，幾乎每次都會先看到你的公車朝反方向離去，隨後才會看到你要搭的方向。這感覺上就像是串通好的，你是否應該寫信去抱怨？要解釋這種公車方向不平均的問題，請看第166頁的「知識補給站」中相仿的送花情節。
我們先替你的公車路線擬定幾個時間。你的候車亭距離路線終點只有1分鐘，而且公車繞完整條路線要花15分鐘。這就表示，你的公車每15分鐘就來一班。你抵達時，公車有可能在較長路線行進，也就是你在那13分鐘間隔期間來到候車亭，不然你也可能是在公車開抵終點並掉頭回駛的那2分鐘間隔期間抵達。
只要你是隨機抵達，那麼你就比較可能在較長間隔期間抵達，機率是13比2，因此你看到的第一班公車，就會在只要你是隨機抵達，那麼你就比較可能在較長間隔期間抵達，機率是13比2，因此你看到的第一班公車，就會在道路另一側行駛，並正要前往終點站。事實上，只要是每隔15分鐘發一班車，不管有多少輛公車在你的路線上行駛都沒有關係。因此，儘管你會覺得，在道路另一側行駛的公車班次比你這側的多，事實上卻不是如此。
花為什麼全都送到莎拉手中？
菲爾有兩位女朋友，他去探望女友時都搭火車。貝姬住在城北，莎拉則住在城南。由於菲爾猶豫不決，不知道該去探視哪位，因此他打算碰運氣來決定。每天他都隨機在不同時間來到車站，倘若北上列車先抵達，他就去找貝姬，若是南下列車先抵達，他就去看莎拉。幾個月之後，菲爾開始覺得命運有安排，因為他只探視了貝姬兩次，去找莎拉卻達28次。這該如何解釋？
答案和列車頻率完全無關。北上南下的火車班次相等。其實其中原因還非常單純。南下的列車在整點和每小時的15、30與45分鐘時抵達菲爾候車的車站；而北上的列車則是在每小時的01、16、31和46分鐘時抵達。
因此，倘若菲爾是在隨機時間抵達，那麼他就比較可能在南下列車到站前之較長間隔期間抵達，同時比較不可能在南下列車剛走、北上列車到站前之較短間隔期間抵達。（事實上機率就為14倍）
在雨中跑多快才不會被淋濕？
本章談了很多有關於等公車和火車的事情。當然，偶爾大眾運輸系統也會失靈，到最後你根本就必須走路。倘若這時還下起了大雨，而且你的雨傘也不在手邊，那麼問題就更大條了。
這裡有個老問題：「你是應該跑步或走路？」若是你決定開跑，想想原本打不到身上的許多雨點，這下你都要撞上了。那麼就走路吧，這樣你在雨中就會待得更長，肩上也淋個濕透。多年以來都有些人認真構思，從數學角度來鑽研這個問題。結論始終都是，若想儘量保持乾燥，你就應該全力奔跑。或許你根據常識就知道這點。
然而，這道問題還有個意外轉折。標準答案假定雨點是垂直落下。倘若下雨時還刮風，雨點是以某個角度下墜，那時又會如何？
當雨點垂直下墜，而你站立不動，雨點只會打到你的頭頂肩上。然而，倘若有風從你背後吹來，那麼就算你靜靜站著，還是有部分雨點會淋到你的後背。這就猶如雨點除了垂當雨點垂直下墜，而你站立不動，雨點只會打到你的頭頂肩上。然而，倘若有風從你背後吹來，那麼就算你靜靜站著，還是有部分雨點會淋到你的後背。這就猶如雨點除了垂直下墜之外，還會橫向撲來。雨點有水平速率。這個意外轉折就是，當雨點從你後方撲來，有時候最好還是走路，不要奔跑。不過，這只有當你的移動速率，能夠超過雨點的水平速率之時才管用。 偶爾高速也會有缺點
第170頁的「知識補給站」中所列出的公式，可以求出你會淋得多濕。不過這裡先做個摘要，總結如下：
倘若你的體格普通，而且雨點是從你後方撲來，並約等於漫步的速率，那麼你沿途緩步前進時被淋到的雨量，就會少於全速奔跑的狀況。
換句話說，在某些情況下，走路會比跑步更好！
顯然這個結果並不合常理。其原因是，倘若你在前述狀況下以較高速奔跑，儘管回家所花的時間會縮短，但是你的正面多淋到的雨量，就會超過頭部少淋到的雨量！
身在雨中，有時候走路會比跑步更能保持乾燥
這裡就假定行人是個矩形木塊，這樣計算比較簡單。（把頭腳綁在一起並去掉頭部，外形還真相像。）我們考慮到七項因素：
V：雨點下落速率
K：雨點下落角度
D：雨點密度（仟克/每立方公尺）
At：行人之頂部面積
Af：行人之正面面積
H：行人與目的地之距離
Vp：行人之奔跑速率
這裡沒有充分篇幅來做完整代數運算，不過我們制定下列公式的作法是，分別計算行人的正面和頂面會淋到多少雨水，接著再把兩項累加起來。
假定行人的移動速率至少和雨點水平速率相等，則落於行人身上的雨水總仟克數便為：
本公式的重點在於括號中的那筆算式。倘若tanK之解大於1.0，則等號右側便為負值；也就是打在行人身上的雨量會減少。行人可以控制自己的跑速Vp，盡可能保持乾燥，倘若tanK之解大於1，那麼他就應該保持跑速，不要超過雨點的水平速率。（來次深呼吸！）
通常，一個人的正面對頂部之面積比值約等於5.0。既然15度之正切值約等於0.2，這就代表若是雨點之下墜角大於15度，則不用雨傘時就應該和雨點的水平速率等速移動，這樣跑回家最能保持乾燥。
當然，等到你完全想通，身上就淋得更濕了，反而是乾脆不要知道這項公式還比較好！
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