集合的基礎
還記得高中數學 （編註：此指日本高中數學）學到的集合嗎？在圓圈中畫圓圈、兩個圓圈重疊的集合。那麼，集合的正式定義是什麼呢？答案是範圍明確的事物團體。集合會使用特殊的符號，這節先來熟悉符號的表示方式吧！
集合與元素
如同「猜拳手勢」，「範圍明確的事物團體，稱為集合（set）；而集合裡所含的各別事物，稱為該集合的元素（element）。」比如，假設「猜拳手勢」的集合為 P ，則「石頭、剪刀、布」就是 P 的元素。
一般來說， a 為集合 A 的元素，記為 a A ； b 不 為集合 A 的元素，記為b A 。
在上述例子，石頭 P，但 OK 手勢 P。
集合的表示方式
石頭 剪刀 布 為猜拳的手勢
集合有兩種表示方式，其中一種是在｛｝中列出所有元素；另一種是先以x等適當文字（可使用喜歡的文字）代表元素，再於縱線（｜）的右邊寫出滿足元素的條件 。
假設有 P 石頭 剪刀 布 和 Q 石頭 布 兩個集合，則集合 Q 含於集
合 P 裡頭。此時，集合 Q 稱為集合 P 的部分集合（subset），記為 。
一般來說，當兩集合的其中一方為另一方的部分集合，則兩集合之間存在包含關係（inclusion relation）。
對於兩集合 A 、 B ，既屬於 A 又屬於 B 的所有元素集合，稱為交集（intersection）；至少屬於 A 、 B 其中一邊的所有元素集合，稱為聯集（union），符號分別如下表示：
宇集合與補集
對於已知的集合 U ，僅討論 U 的部分集合時，集合 U 稱為宇集合。而對於宇集合 U 的部分集合 A ，屬於 U 但不屬於 A 的所有元素集合，稱為 A 的補集（ ），記為 A 。
令關東地區的都道府縣，也就是 東京都 埼玉縣 千葉縣 神奈川縣茨城縣 櫪木縣 群馬縣 為宇集合 U 時，關於 U 的部分集合 A 東京都 千葉縣 神奈川縣 ，
A =埼玉縣 茨城縣 櫪木縣 群馬縣
【問題 2-3 ：和事件與機率的加法定理】
已知有九張分別寫有數字 到 的紙牌，從中選出三張時，紙牌數字全為奇數的機率為甲□。又三張紙牌數字相加為奇數的機率為乙□ 。
（日本福岡大學）
（甲）5/42 （乙）10/21
（甲）
從1到9相異九張紙牌中選出三張時，樣本空間的組合數為9C3種。其中，若想要三張皆為奇數，則這三張必須從1、3、5、7、9 五張紙牌中選出，所以有 5C 3 種。因此，欲求機率為
（乙）
樣本空間跟（甲）相同，共有 9 3 種。其中，若想要三張紙牌的數字和為奇數，則需為下述情況之一：
〔事件 〕三張皆為奇數
〔事件 〕三張中一張為奇數、兩張為偶數
〔事件 的機率〕
由（甲）可知
〔事件 的機率〕
從1、3、5、7、9五張奇數紙牌中選出一張，從2、4、6、8 四張偶數紙牌中選出兩張，共有 5C 1 × 4C2 種。
欲求機率是事件A和事件B的和事件（ 30頁）機率 。
因為事件A和事件B互斥（32頁），所以由加法定理（32頁）可知
上帝賜與的常數
截至 2016 年 12 月，圓周率 計算到小數點後 22 兆 4591 億 5771 萬 8361 位數（編註：於 2019 年計算至 31.4 兆位），但這個計算仍舊沒有「終點」。圓周率是小數點後不規則無限延續的無理數（無法表示成分數的數）。換言之，圓周率是絕對無法知道正確數值的數。
與相同，自然對數的底數（稱為歐拉數或者納皮爾數）（ 92 頁）也是無理數。而且， 和 都歸屬於超越數（ transcendental number ）這個分類。所謂的超越數，是指「不能成為有理數係數的代數方程式解的數」。簡單來說，超越數是無法僅以加法、減法、乘法、除法表述的數。
為超越數時， 不會是僅以自然數、 + 、 、×、÷組成的方程式解。比如，2 為無理數，但可以是方程式 × = 2 的解，所以 2 不是超越數。
想要證明某數不為超越數，只要找出解為該數「以自然數、 + 、 、×、÷組成的方程式」就行了，但想要證明某數為超越數一般是非常困難的。
接觸自然科學後，會訝異代表如此複雜數的 和 ，竟然出現於各式各樣的情況中。其中，最令人感到驚訝的是，歐拉公式 = cos + sin 的 代入 可得下式。
這個由 、 、 （虛數單位： 168 頁）、 1 （乘法的單位元素）、 0 （加法的單位元素）數學中最重要的五個數組成的式子，經常被譽為「世界上最美的數學式」。
IT 企業 Google 公司的名字語源是大數單位古戈爾（ googol ： 1 古戈爾為 10 的100 次方），是由美國數學家愛德華‧卡斯納（ Edward Kasner ）提出，他對由歐拉公式推導出來的這條式子說道：「我們能夠做的事情不是停下來探尋深意，而是直接謄寫這個數學式。對神祕主義者、科學家、數學家來說，這個數學式具有同等的吸引力。」實際上，不少人將 和 稱為「上帝賜予的常數」。
數學很優美？
以《天鵝湖》《胡桃鉗》作曲家聞名的柴可夫斯基曾留下這樣一段話：「如果數學不優美，數學本身就不會誕生出來。人類頂尖的天才們深深為這門難解的學問著迷，除了美之外還有什麼吸引人之處呢？」
再來，活躍於 世紀的匈牙利數學家保羅‧艾狄胥（ ）也說道：
「數為什麼優美？這就像在問：貝多芬《第九號交響曲》為什麼優美？若你自己心中沒有答案，其他人也沒辦法回答你。我知道數是優美的。如果數不優美，就不存在優美的事物了。」
順便一提，艾狄胥一生發表的論文數量，僅次於那位李昂哈德‧歐拉。據說他不眼不休的埋首研究。有一說是，他一天花費 小時思考數學問題。
翻查字典可得知，「美」的解釋為「刺激知覺、感覺、情感，引起內在快感的事物」（截自日本字典《廣辭苑》）。
那麼，數學有什麼會引起內在快感呢？
我想應該是數學具有下述四項性質：
對稱性
合理性
意外性
簡潔性
關於對稱性，若東京鐵塔、富士山不是左右對稱，應該不會讓人為之著迷吧。
從古希臘時代開始，左右對稱就被認為是人評定優美的重要要素。
圓形、正方形等圖形不用說，數學式有時也有對稱性，此時會覺得優美是非常自然的。
關於合理性，經由數學證明的正確結論，永遠都不會被推翻。它將超越立場、國家、時代，一直保持真實。 世紀的英國詩人約翰‧濟慈吟詠：「美即是真，真即是美。」
若真是如此（我全面認同），在能夠遇見真實的數學中，肯定不少人都能感受到優美吧。
關於意外性，如下一加一減奇數的倒數，最後會收斂到圓周率的四分之一：
這個數學式稱為「萊布尼茲圓周率公式」，在學習數學的過程中，時常會像這樣碰到令人意外的事情。
想讓家人、朋友、戀人等重要的人高興時，許多人會準備驚喜派對、驚喜禮物。
由此可見，對意外性感到驚豔會帶來「內在快感」。
關於簡潔性，假設凸多面體（沒有內凹的多面體）的頂點（ ）數為 、邊（ ）數為 、面（ ）數為 ，則下述非常單純的數學式會成立：
注意到這項連畢達哥拉斯柏拉圖、歐幾里得阿基米德、克卜勒、勒內‧笛卡兒都疏忽掉的簡單關係式的人是， 世紀的偉大數學家李昂哈德‧歐拉。歐拉發現這項定理時，在寄給友人的信中興奮寫道：
「令人驚訝的是，據我所知，沒有其他人注意到這項立體幾何中的一般性質。」
不難想見，歐拉的心中肯定產生了「內在快感」。
數學家等科學家冥冥之中相信：「這個世界受到簡單的法則所支配」。而且，正因為在該簡潔中發現崇高的美，才願意將其一生奉獻給數學、科學。
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