名人推薦：中央研究院數學研究所兼任研究員 李國偉
科學文創有限公司創辦人余筱嵐
臺灣師範大學數學系教授 游森棚

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活動1在正方形紙中摺正三角形
FOLDINGEQUILATERALTRIANGLESINASQUARE

適用課程：微積分先修（precalculus）、初等代數、三角函數、幾何學、微積分（最佳化）、數學建模。

摘要
請學生想辦法，用一張正方形紙，摺出一個正三角形。這個挑戰就是在一個正方形裡面找出最大可能的正三角形。當然，學生需要證明自己所推測的三角形是最大的。

內容
此問題的幾何學部份，只需要能夠運用30−60−90度的三角形。然而，若有更多創造性的幾何學見解，可產生更非凡的解決方案。
對於微積分課堂，此問題的提出事實上不需要提到摺紙：請找出正方形中內接最大的正三角形。但是知道的人事實上運用這種知識摺紙的時候，可激發產生額外的動機。這是一個具有挑戰性的數學建模問題，可以完全達成，不需要借助其他工具，也無須小心協助學生建立模型，更不必確實了解三角函數並進行正確的圖形分析。由於是一個最佳化問題，脫離了微積分教科書中經常會遇到的模式限制，從而可使學生將自己的知識應用於全新而實際的情況。

講義
三種講義以供選擇：
1.介紹用正方形紙，摺正三角形的一般問題
2.在建立最佳化模型時，提供數個指導步驟。
3.引導學生逐步完成最佳化模型。

時間規劃
講義1需要大約40分鐘的上課時間，包括讓學生探索與像其他同學呈現自己摺三角形的方法。
講義2或3，如果要在課堂上完成，可能共需50−60分鐘，取決於學生建立數學模型的速度快慢。

講義1−1
如何摺一個正三角形

活動的目標是要用一張正方形紙，摺一個正三角形。

問題1：首先用紙摺一個30−60−90度三角形。提示：摺出的斜邊要是其他任一邊的兩倍。
努力摺，別放棄！將你成功的方法寫在下面空白處。

問題2：現在，用你在問題1所寫的解答，在正方形紙裡摺出一個正三角形。

延伸：假設正方形紙的原始邊長為1，那麼你所摺的正三角形邊長是多少？正三角形邊長可以摺得更長嗎？

講義1−2
如何找到正方形中內接最大的正三角形？之一

如果我們想要把一張正方形紙，摺成一個正三角形，就是要摺出一個盡可能最大的三角形。在這個活動中，教師的任務是建立一個數學模型，以找出可以放在這個正方形裡面的最大面積正三角形。按照以下步驟，幫助建立模型。

問題1：如果這個三角形是最大的，那麼我們是否可假設三角形其中一角，會與正方形一角重合？為什麼？

問題2：假設問題1為真，繪製你的與正方形一角重合的三角形，「重合的角」請畫在左下方。現在你需要導入一些變數（variable）來建立模型，這些變數可能是什麼？（提示：其中一個變數是正方形與三角形的左下角，稱為θ。）

問題3：另一個變數將是你的參數（parameter），此參數會隨著得到三角形的最大面積而變。選擇一個變數（聰明的選，選的不好可能會使問題變得更困難），然後再根據你的變數，為三角形面積成立一個數學式。

問題4：用你所成立的數學式，利用你所知道的技巧，找出變數的值，這個變數可使正三角形具有最大面積。務必注意參數的合理區間。

問題5：你的答案是什麼？具有最大面積的三角形是什麼？找一種摺紙方法，可以摺出這種三角形。

延伸：你在問題5的答案，也可以用來在一張正方形紙中摺出一個最大的正六邊形（regularhexagon）。你知道該怎樣作嗎？

講義1−3
如何找到正方形中內接最大的正三角形？之二

在這個活動中，你的任務是找出邊長為1正方形中的最大正三角形。（註：正三角形為三邊長相等且三角皆為60度的三角形。）一步步進行程序，將幫助你發現這個問題的數學模型，接著再解決最佳化（optimization）問題：尋找三角形位置和最大面積。
這裡有一些隨機的例子：

問題1：如果這個三角形是最大的，那麼我們可以假設三角形其中一角，會與正方形一角重合？為什麼？（提示：答案為正確，請解釋為什麼。）

問題2：假設問題1為真，繪製你的與正方形一角重合的三角形，「重合的角」請畫在左下方。（提示：請參閱上方四個例子。）現在你需要導入一些變數來建立模型，這些變數可能是什麼？（提示：設θ為正方形與三角形的左下角，設三角形的邊長為x。）

問題3：以一個變數x，找出三角形面積的式子。接著，找出一個式子與x、θ兩變數相關的式子。最後將這兩個式子合併，得到只有一個變數θ的三角形面積式子。（提示：最後求得的式子為A=）

問題4：你的變數θ範圍？說明之。（提示：範圍是0◦≤θ≤15◦）

問題5：最重要的部分：用你的式子和求得的θ範圍，使用最佳化技術來求出正三角形面積最大值的θ值。同時，也求出最大面積值。（提示：為了簡化，你可用sin和cos來表示所有三角函數）。

解答與教學法

摺一個正三角形

有幾種方法可以在正方形裡面摺出正三角形，所有方法都與摺出一個60度角有關。你的學生可能會發現有創造性的新方法，但一般最常見的方式如下所示。（我們在這些圖中，原始正方形的邊長為1。）

在此，摺紙的「動作」是將紙的一角A，摺到紙中線（所以紙必須先對摺），同時還要確定摺痕通過角B。(*1)A點與中線重疊的位置，產生一個P點，所以產生了一個ABP的正三角形。有幾種方法可以
看到了許多不同的方式：
•設C為AB中點。先看△BCP，BP長度為1（因在P點AB與BP完全重合），且BC長度為1/2。根據畢式定理，CP長度為，故△BCP是30−60−90度三角形。因此連結AP，得到一個正三角形。
•由於摺疊AB與BP完全重合，BP長度為1。我們可以說「現在以同樣的方式，將B點也摺到紙中線」，或說「由於對稱」，所以求得AP長度也為1。因此，△ABP是一個正三角形。

在此所呈現的解答，這個三角形的邊長與正方形相等。但是，如果我們想像一下，將三角形A點逆時針旋轉一點點，可使邊長變大一點點，但仍在正方形內，所以在正方形裡是可能作一個更大的正三角形。

教學法：許多學生首先會嘗試在正方形右下方的角，開始建構一個30−60−90度三角形。這樣作並不簡單，因此可建議這些學生試著在正方形裡面摺三角形，以跨越這層心理障礙。亦可建議學生將紙對摺，利用紙的1/2中心線。

註1：這是一個標準摺紙動作：點p1摺疊到線l上，但這樣摺還不足以確認摺痕位置。所以需要第二個點p2，我們使摺線確實通過p2，加上點p1在線l上。進一步訊息請參見拋物線摺紙活動。

學生經常會聽班上其他組的想法，或是有些人想出的好主意一組傳一組，這樣還不錯，但每個學生都應該寫出證明，證實自己的三角形真的是30−60−90度三角形或正三角形。小組也應該向班上同學展示各組證明，以便每個學生都可以看見完成的方式不只一種。也可以將正式的書面證明指定為每個學生的家庭作業。（經過小組討論，家庭作業應該不難，但「正式的」寫作呈現，仍是一個非常有價值的活動。）

找出最大三角形

這份講義有兩個版本：一個只對問題提供框架，將所有細節留給學生處理。另一個則是帶著學生一步步走過問題。解答基本上是一樣的，一併呈現於此。
講義中的第一個問題，答案「是的」。若三角形的一角沒有在正方形的角上，則三角形不能接觸正方形的一邊（因為三角形有三個角，正方形有四個邊側）。假設這是左邊，為了要使三角形最大，三角形的三個角一定要接觸正方形的三個邊。接著，我們可向左拉動三角形，讓角碰到正方形的左邊，頂部或底部都可以，使三角形的一角在正方形的一角上。

為建立模型，學生會需要一張像上面的圖，三角形底部（長x）應由正方形左下角開始，延伸到正方形的右邊。接著，我們需要考慮θ範圍，0◦≤θ≤15◦。因為，若θ>15◦，則α≤15◦；若θ≥15◦，則相對來說α<15◦◦換句話說，正方形的對稱性，限制了θ的範圍，這是我們需要考慮的。
我們需要找出正三角形面積A的數學式，然後利用θ以使數學式得到最大。（我們要用θ而不用x來求最大，是因為θ這個變數可告訴我們三角形在正方形中的位置。）由於三角形底邊長為x，高度則為。故，但我們要將x換成θ。因為cosθ=1/x，故x=1/cosθ=secθ，因此導出：


我們可以把導出的數學式，利用微積分最大化，但並非必要。由於cosθ在0≤θ≤π/12之間是遞減函數（其實應該要用弧度），我們知道secθ在這個區間為遞增函數。sec2θ也一樣，所以A的最大值會落在這個區間的最右端，即θ=π/12。繪製函數A(θ)的圖，學生可以看見這種情形：

因此，在θ=π/12=15◦的位置，會得到最大面積。結果使得三角形的一個角落在正方形的一個角上，並且三角形會對稱於正方形的對角線。
使用這個導函數求解，學生會得到：

因0≤θ≤15◦，我們知道只有在θ=0時，dA/dθ=0，表示面積式在θ=0位置有一個臨界點，但這只是我們區間的一個端點，代表面積A的極值會發生在端點θ=0和θ=15◦（因為中間沒有重要的點）。因此問題變成哪個點會有最大值，哪個點會有最小值？我們可以用面積A的二階導函數來確定點θ=0的凹性，
但用這樣的導函數好像已經預先知道什麼一樣，因此我們不用導函數，而直接驗證當θ=0和θ=15◦時的A值，15度獲勝。
兩個版本講義都作的學生，應該能夠發現最大正三角形具有一種摺紙順序。下面的圖即顯示這個摺紙順序，作用等同於「無字證明」的圖解。（首先注意最左邊的圖，θ=15◦）此摺紙順序證明，是由EmilyGingras所開發（MerrimackCollegeclassof2002）。


教學法：熟悉經典「沿牧場一邊圍籬笆」或「紙板摺盒子」等微積分題目的學生，應可立即發現最大正三角問題可用類似方法求解。然而，我們問題的模型與這些經典微積分題非常不同，大多數學生發現建立適當模型頗具挑戰性。背後困難的部分，是要確定你可以用一個代表三角形在正方形中位置的變數，使問題參數化，而最好的方法似乎是用角度，因此你必須用角度來導出三角形面積的數學式。無論如何，此問題對於學習微積分最佳化問題的學生來說，屬於適當的程度，應該有能力求解。但此活動價值在於磨練學生的數學建模技巧，故教師除了講義中的提示，不應再給予學生其他提示，同時應鼓勵學生探索他們所選擇的路徑，提出正確的證明，無論是數字、圖形或解析法都可以。
然而，並非所有教師都想要公開活動的內容細節，因此最佳化講義的第二個版本，是為那些希望學生對於此類問題能夠自行發現適當的程序，依序求解的教師。第二版講義的格式和步驟順序，是由測試人員KatarzynaPotocka所進行（RamapoCollegeofNewJersey）。
在幾何學課程，進行這個活動也很有價值，可強化數學規則之間的關聯性。通常數學本科生在高級幾何學課程中，會宣稱已經忘記所有微積分，因此這麼做更有價值。

延伸活動
如下圖所示，在正方形中如何找到一個最大的內接正六邊形，先將正方形水平和垂直對摺，產生摺痕，可看見四分之一的正方形，上面的摺痕展開圖正好就是最大正三角形。因此，在正方形中摺一個最大正角形，這個方法剛好可以調整摺出一個最大正六邊形。最右邊的圖即為摺法的簡圖。


當然，問題可改為在正方形中摺出任何正多邊形，雖然證明最大面積會使問題變得更複雜，但並沒有超越本科生程度，是很好的活動延伸。下圖顯示一種證明最大六邊形的方法。設θ為正六邊形與正方形底邊（邊長亦為1）的夾角，x為正六邊形邊長。正六邊形由六個正三角形組成，所以計算正六邊形的面積不難：A=6×（一個正三角形面積）=6(x/2)(√3/2)x=(3√3/2)x2。但是我們希望利用改變θ使正六邊形面積最大化。

圖(b)顯示解法。六邊形的直徑為2x，假設六邊形的兩個對角會接觸正方形的左右邊，此二角與正方形會形成一個直角三角形（如圖中），已知正方形邊長為1，直角三角形斜邊即為六邊形對角線（長度為2x）。此直角三角形的底邊，平行於正方形的底邊，而斜邊則平行於六邊形的底邊，因此我們知道這個直角三角形的底角為θ。由於cosθ=1/2x，或x=(1/2)secθ，因此六邊形面積為A=(3√3/8)sec2θ。
為使六邊形面積最大化，我們需要找出θ的範圍。由於正六邊形的對稱性，告訴我們0◦≤θ≤15◦，我們只需要考慮這個範圍。如前面的內接正三角形，區間最大端點θ=15◦，會有最大面積。這將使得六邊形的一個對角線，與正方形的一個對角線重疊。

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活動1在正方形紙中摺正三角形
FOLDINGEQUILATERALTRIANGLESINASQUARE

適用課程：微積分先修（precalculus）、初等代數、三角函數、幾何學、微積分（最佳化）、數學建模。

摘要
請學生想辦法，用一張正方形紙，摺出一個正三角形。這個挑戰就是在一個正方形裡面找出最大可能的正三角形。當然，學生需要證明自己所推測的三角形是最大的。

內容
此問題的幾何學部份，只需要能夠運用30−60−90度的三角形。然而，若有更多創造性的幾何學見解，可產生更非凡的解決方案。
對於微積分課堂，此問題的提出事實上不需要提到摺紙：請找出...

推薦序
第二版前言
導讀
致謝
活動1 在正方形紙中摺正三角形
Folding Equilateral Triangles in a Square
活動2 三角函數摺紙
Origami Trigonometry
活動3 將長度作N等分：藤本近似法
Dividing a Length into Equal Nths: Fujimoto Approximation
活動4 將長度確實作N等分
Dividing a Length into Equal Nths Exactly
活動5 螺旋摺紙
Origami Helix
活動6 拋物線摺紙
Folding a Parabola
活動7 摺紙能作角三等分嗎？
Can Origami Trisect an Angle?
活動8 解三次方程式
Solving Cubic Equations
活動9 Lill法
LILL’S METHOD
活動10 紙條摺成紙結
FOLDING STRIPS INTO KNOTS
活動11 芳賀和夫的摺紙學
HAGA’S “ORIGAMICS”
活動12 星環模組
MODULAR STAR RING
活動13 蝴蝶炸彈摺紙
FOLDING A BUTTERFLY BOMB
活動14 莫利六面體
Molly’s Hexahedron
活動15 名片單元摺紙
BUSINESS CARD MODULARS
活動16 五複合正四面體
FIVE INTERSECTING TETRAHEDRA
活動17 巴克球摺紙
ORIGAMI BUCKYBALLS
活動18 製作環面摺紙
MAKING ORIGAMI TORI
活動19 門格海綿模組
MODULAR MENGER SPONGE
活動20 紙鶴摺紙和著色
FOLDING AND COLORING A CRANE
活動21 探索平面頂點摺疊
EXPLORING FLAT VERTEX FOLDS
活動22 不可能的摺痕模式
IMPOSSIBLE CREASE PATTERNS
活動23 方轉摺疊
FOLDING A SQUARE TWIST
活動24 計算平摺
COUNTING FLAT FOLDS
活動25 自相似波
SELF-SIMILAR WAVE
活動26 平頂點摺疊的矩陣模型
MATRIX MODEL OF FLAT VERTEX FOLDS
活動27 3D頂點摺疊的矩陣模型
MATRIX MODEL OF 3D VERTEX FOLDS
活動28 摺紙與同態
ORIGAMI AND HOMOMORPHISMS
活動29 剛性摺疊1：高斯曲率
RIGID FOLDS 1：GAUSSIAN CURVATURE
活動30 剛性摺疊2：球面三角學
RIGID FOLDS 2：SPHERICAL TRIGONOMETRY
附錄：活動選擇與課程
參考文獻
索引

推薦序
第二版前言
導讀
致謝
活動1 在正方形紙中摺正三角形
Folding Equilateral Triangles in a Square
活動2 三角函數摺紙
Origami Trigonometry
活動3 將長度作N等分：藤本近似法
Dividing a Length into Equal Nths: Fujimoto Approximation
活動4 將長度確實作N等分
Dividing a Length into Equal Nths Exactly
活動5 螺旋摺紙
Origami Helix
活動6 拋物線摺紙
Folding a Parabola
活動7 摺紙能作角三等分嗎？
Can Origami Trisect an Angle?
活動8 解三次方程式
Solving Cubic Equations
活動9 Lill法...