給青年數學家的信
親愛的梅格：
或許如妳所預期，得知妳考慮攻讀數學時，我非常高興，不只是因為數個夏天前，妳用數星期反覆閱讀《時間的皺紋》(A Wrinkle in Time) 的時間並未白費，同時也不枉費我費心對妳解釋超立方體和高維空間。我不依順序回答妳的問題，先回答其中最實際的問題：除了我以外，有誰真的靠數學維生？
這個問題的答案和許多人所想的不一樣。我所服務的大學在幾年前對校友進行調查，發現在種種學位之中，有數學學位的人平均所得最高。提醒妳，雖然這是在他們成立醫學院之前，但至少駁倒一項迷思：學數學無法擁有高所得的工作。
事實上是我們每天到處都可遇到數學家，只是很難察覺而已。我過去的學生有的管理釀酒廠、創立他們自己的電子公司、設計汽車、寫電腦程式和在股票市場交易期貨。我們幾乎從未認知到銀行經理或許擁有數學學位、發明和製造DVD和MP3播放機的人們中有很多是數學家，或是將木星衛星令人驚異的照片傳輸至地球的技術裡也包含大量的數學。我們知道醫生有醫學學位，律師有法律學位，因為那些是特殊和明確定義的專業，要求同等專業的訓練。但人們不可能在建築物的銅製名牌上發現有證照的數學家的名字，替該數學家打廣告：這位數學家在獲得一大筆費用後，可以幫忙解決想要解決的任何數學問題。
我們的社會消費了大量的數學，但一切只在幕後進行，原因相當直接：數學屬於幕後。當駕駛一輛汽車，妳絕對不想擔憂那些所有複雜的機械東西，只想鑽進車子裡將它開走。如果了解車子機械的基本事物，當然對妳成為較好的駕駛有所幫助，但絕不是一定要這樣才行。同樣的，數學也是如此，妳希望車子的導航系統引導方向，而不需自己來計算所牽涉的數學。此外，妳希望即使不了解訊號處理和誤差修正碼，妳的電話仍可以運作。
然而，我們其中的一些人需要知道如何運算數學，否則上述的汽車和電話將無法運作。如果其他的人能夠了解我們日常生活是如何必須依靠數學，將是一件好事。為何將數學遠遠放在幕後，這是因為許多人完全不知道數學藏身在幕後。
我有時認為，要改變人們對於數學的態度，最好的方式是，在任何使用到數學的東西上貼上寫著「內含數學」的紅色標籤。當然在每一部電腦上都會貼上一張，又如果照字面的解釋，我們也應該在每一位數學老師身上貼上一張。我們也應該將紅色數學標籤貼在每一架飛機、每一個電話、每一輛車、每一個交通號誌、每一種蔬菜……
蔬菜？
是的。農夫只是照著他們父親和祖先流傳下來的模式耕種，這種日子早已過去。幾乎所有妳能買到的蔬菜，都是長期和複雜商業培植計畫的結果。「實驗設計」數學意義上的整個主題，在1900年代早期被發展出來，用來提供一個有系統的方式去評估新種植物，遑論基因修改的較新方法。
等等，這不是生物學嗎？
當然是生物學，但也是數學。基因學在生物學裡最早使用數學，人類基因組計畫之所以成功，不只因生物學家做了許多明智的工作，也因為發展出強大的數學方法，用以分析實驗結果，並且從非常破碎的數據裡重建準確的基因系列。
所以，蔬菜得到一個紅色標籤。如同蔬菜，其他東西也應貼上一個紅色標籤。
妳看電影嗎？妳喜歡特效嗎？《星際大戰》(Star Wars)和《魔戒》(Lord of the Rings)裡面有數學？最早的完全電腦動畫電影《玩具總動員》(Toy Story)，產生了大約二十篇數學論文的發表。「電腦繪畫」不只是使用電腦來做畫，也是讓圖畫看起來更真實的數學方法。為了做出這效果，需要三維的幾何、光的數學，以及在起始和完成的影像間內插(interpolate)一連串平滑的動作等等。「內插」是一個數學概念，但如果沒有許多聰明的數學，內插將不會產生作用。紅色標籤！
當然還包括網際網路，完全是數學運作。目前最主要的搜尋引擎Google使用數學方法，根據矩陣代數、機率理論和網絡的組合數學，去尋找最可能包含使用者所需資訊的網頁。
但網際網路的數學較這些更為基本。電話網路依賴數學，它不像古老時代，當時接線生必須手動將電話線路插入總機，而今天這些電話線必須同時傳輸數百萬個訊息。有太多人想要和朋友談話、傳真或上網，以致我們必須分享電話線、海底電纜和衛星中繼器，否則網絡無法承受那麼繁忙的交通。所以每一段談話都被分解成數千個小段，只有約1%的小片段被實際傳輸，其餘的99%藉著填補間隙的方式盡可能地被復原(之所以行得通，是因為取樣雖小但頻率非常高，以致妳聲音的改變較取樣之間距來得慢很多)。噢！整個信號被編碼，以致任何的傳輸錯誤不僅可被偵測出來，也可重新放到正確的接收位置。
如果沒有大量的數學，現代通訊系統將無法運作。編碼理論、傅立葉分析(Fourier analysis)、信號處理……
總之，妳上網購買機票、訂位、前往機場、坐上飛機後飛往他處。飛機之所以能夠飛行，是因為工程師使用流體流動和空氣動力學的數學進行設計，確保飛機可以飛在天上。飛機使用全球定位系統(一組衛星)來導航，衛星訊號經由數學分析，可以在數英尺的誤差內告訴妳飛機的位置。每一個航班都必須列入時間表，才能讓每一架飛機處於正確的位置，這需要其他領域的數學。
親愛的梅格，這是數學運作的方式。妳問我數學家是否都隔絕在大學裡，或是部分數學家的工作和實際生活有關。其實妳其實生活的全部如同一艘在數學海洋裡徜徉的小船，上下擺動。
但很少人注意到這一點。逃避數學會讓我們感到自在，但卻貶損了數學，真可恥。這樣一來，人們認為數學沒有用處、不必在意，數學只是智力遊戲而已，沒有真正的重要性。因此，我才想要看見那些紅色標籤。事實上，不用紅色標籤的最佳理由，是大部分的地球都將紅色標籤所覆蓋。
妳的第三個問題最為重要，也最令人哀傷。妳問我是否必須放棄對美的感受以研讀數學，是否所有事情將變得只剩數字、方程式、定律和公式。梅格，敬請寬心，我不會怪妳問這個問題。可惜這是個非常普遍卻錯得離譜的想法，和真相恰好相反。
數學對我而言如下：它讓我以全新的方式知覺這個我所居住的世界，讓我對自然的定律和模式開了眼界，提供全新關於美的經驗。
例如，當我看見彩虹，我不僅是看到一道光亮多彩的圓弧，也不僅是看到雨滴對陽光的影響，雨滴將白色日光變成它的成分色彩。我發現彩虹既美麗又啟發靈感，對彩虹不僅只是光線的折射而心存感激，這些顏色就像紅色(和綠色和藍色)的鯡魚。彩虹的形狀和亮度需要解釋，為何是圓弧狀？為何光線如此之亮？
或許妳尚未想過這些問題。妳已經知道，當陽光受到雨滴的折射時會出現彩虹，因為每一種顏色的陽光會朝稍微不同的角度轉向，並從雨滴反射進入我們的雙眼。但事情不是如此簡單，為何從數以萬計雨滴折射產生的數以萬計有色光線，不會重疊並模糊掉呢？
答案在於彩虹的幾何學。當光線在雨滴內部進行反射，雨滴的球狀形體導致光線聚焦於某一特定方向，每一滴雨滴發射出明亮的圓錐形光線，或是說每一種顏色的光形成自己的圓錐體，而每一種顏色形成之圓錐體的角度稍有不同。當我們望向彩虹，對某一種顏色，我們的眼睛只有偵測到位於特定方向的圓錐體，這些方向在天空形成圓弧。所以我們看到許多同心圓，每一種顏色形成一個同心圓。
妳所見到的彩虹和我所見到的，是由不同的雨滴所形成。我們的眼睛位於不同的位置，所以我們偵測到由不同的雨滴所產生的不同圓錐體。
彩虹是個人經驗。
某些人認為這樣的理解「破壞」情感的體驗，因為顯現對美感滿足的某種壓抑，但我認為這是無聊的想法。做這樣聲明的人通常喜歡假裝自己充滿詩意，對世界奇妙事物抱持開放的態度，但事實上他們嚴重缺乏好奇心：拒絕承認世界比他們自身的有限想像來得更奇妙。自然永遠比妳所想的更深邃、更豐富、更有趣，數學提供妳一個非常有用的方式去欣賞自然的美。理解的能力是人類和其他動物最大的不同，我們應該珍視。許多動物都有情緒，但只有人類能理性思考。我必須要說，我對彩虹幾何學的理解，為它的美增加了新的光彩，而情感的體驗卻一點也不會因此變少。
彩虹只是一個例子。我觀察動物也和常人的角度不同，因為我注意到動物移動時對應的數學模式。當我注視一個水晶，我留意到原子晶格和外在色彩的美麗。在波浪、沙丘、太陽起落、雨滴落在水坑濺起漣漪，甚至停在電話線上的鳥，我也都能看到數學。此外，如同望向瀰漫大霧的海洋，我模糊了解到，這些日常奇妙的事物充滿無限的未知。
數學的內在美麗也不應該被輕忽，數學研究本身就已非常美麗優雅。數學的內在美並不是我們在學校裡使用的「加法」，雖然加法背後的一般原則自有其美麗之處，但他們大多難看又無定形。數學的內在美麗存在於：想法、普遍性、突然一閃而過的靈感，以及使用直尺和圓規嘗試三等分某個角度就等同於去證明3是一個偶數；我們無法建構一個等邊七邊形，但可建構一個等邊十七邊形；沒有方法可以解開單結 ；為何某些無限大比其他還大，而某些應該較大的無限大結果卻相等；等於連續平方之和(1+4+9+……)的唯一平方數為4,900(1除外)。
梅格，因為妳有一個合乎邏輯和追根究柢的心靈，妳有成為優秀數學家的潛力。妳不會滿意於模糊的論點，妳想要看到細節並親自檢查，妳不只想知道如何讓事物運作，也想知道為何能夠運作。此外，妳的來信讓我企盼，將來妳能和我目前一樣，能夠看到數學的有趣和美麗——一種獨特看待世界的方式。
我希望，這為妳研讀數學建立了所需要的背景。
伊恩 敬上
2024專利防護中