編者的話
本期刊出的「數學與現代文明」演講紀錄中, 馬志明教授以實例說明數學對現代科學的影響; 如小波分析、圖論與圖演算法、隨機分析、統計與機器學習等等之於 數據的壓縮、傳輸, 馬氏過程之於上網行為分析, 以及隨機分析之於經濟金融等。後二者有他親身參與的切身經驗。演講還有一個主軸: 數學已經沒有純粹數學與應用數學的界限, 甚至已經跨越與物理的籓籬。本期「有朋自遠方來」訪問Rick Schoen教授, 他與丘成桐完成的正質量定理的證明就是上述主軸的又一佐證。
Schoen教授1977-1978 與丘成桐合作廣義相對論中正質(能) 量猜想的證明。當時不滿三十歲的兩人, 踏入陌生的領域, 埋首閱讀大量的論文, 向物理學家請益, 學習新的事物; 另一方面以本身的專長, 利用偏微分方程、幾何測度論等數學工具, 終於做出了完整的證明。論文在1979 年發表之後, 激起了相對論圈子裡的大水花, 不僅帶動了這個領域的改變, 更為微分幾何與重力物理開啟了一個連結。對這 個定理的深刻瞭解, 進而讓他解決有名的山邊問題(Yamabe problem)。訪談中,他強調拓寬視野, 與他人交流討論的重要; 「有時候, 僅僅從瞭解人們如何表達自己,學到的, 比讀一本書還多。」認為能結合幾何與偏微分方程, 是他能做一些別人做不到的事的原因。他認為數學與真實世界的連結很重要, 很多數學的內容是經由與真實世界的連結而豐富。
Itō Calculus 就是真實世界豐富數學內涵的一個很好的例子。伊藤 清(Itō Kiyoshi, 1915-2008) 學生時期就察覺機率是探究隨機現象的工具。那是機率的草創時期, 有關的文獻不多, 對於最基本的隨機變數都還沒有清楚的定義。伊藤從閱讀Kolmogorov 以及Lévy 的著作入手, 經過艱辛的努力, 終於獨力構思出描述隨機事件的隨機微分方程。但是論文發表後並沒有受到重視, 直到十年後其他數學家才認識到它的重要, 相繼投入研究, 發展成Itō Calculus 或稱隨機分析, 是研究隨機現象的理論工具, 不僅應用在經濟金融如資產定價公式, 更遍及生物、物理等領域。
誠如 Schoen 教授所言, 數學與其它領域的結合是可貴的, 但是數學的品質應該還是數學家最主要的考量。
李宣北 2014年12月
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