數學的祕密生命：數學家與數學大鬥智的有趣...

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․臺灣師範大學數學系退休教授 洪萬生
․成功高中數學科資深教師 徐德新
․北一女中數學教師 許秀聰
․國立臺灣師範大學附屬高級中學數學教師 陳燮溥

「史皮婁的著作提供令人愉悅、文筆流暢、兼容並蓄的數學趣聞，無論數學背景如何，任何對數學感興趣的人，都能在搭機時以這本書度過愉快的閱讀時光。」――德福林（Keith Devlin），史丹福大學人文科學與先端科技研究中心（H-STAR）共同創辦人及資深研究員，《數學的語言》（The Language of Mathematics）作者

「能將史皮婁這些年來為其報紙數學專欄撰寫的許...

在走道上要用跑的或走的？

就快趕不上飛機了，卻得停下來綁鞋帶，這時應該在電動走動上綁還是不在上面綁？或者在哪裡綁沒有差別，只是時間得失的權衡而已？

加州大學洛杉磯分校數學家陶哲軒是現代的數學巨星之一。他在青少年時期就被視為奇才，以十二歲之齡贏得數學奧林匹克競賽金牌（此前他已經得過銅牌和銀牌）。陶哲軒二十四歲升任加州大學洛杉磯分校教授，三十一歲獲頒菲爾茲獎（Fields Medal）。

現在陶哲軒也成為部落客。他常利用自己的部落格闡釋授課內容的細節，滔滔不絕地講述難解的數學問題。但他的部落格不是只給同行或進修生看的，也探索日常事務和觀察的數學背景。這就是數學之美：在各種生活事件和尋常地方都能發現數學的應用。

有一次，陶哲軒發現他快趕不上飛機，得從報到櫃台飛奔到登機門。如同多數機場的設計，航站與登機區之間的部分通道設有電動步道，幫助旅客加速前進；通道其餘部分則要走在硬地上。陶哲軒不願放過探索未被探究的數學難題的好機會，在部落格上問讀者下面的問題：如果旅客得稍停下來綁鞋帶，他應該在電動走動上綁還是不在上面綁？此外，如果他只剩有限的力氣短暫衝刺，如二十秒，且其他路程以恆速行走，在電道走道上跑還是不在上面跑比較有效率？

當陶哲軒在部落格提出這個問題後，世界各地的人在部落格上做出回應。幾天之內，陶哲軒就被這些回應淹沒；各種意見和計算蜂擁而至。當然，也有常見愛搞笑的。有人認為最好繼續在電動走道上，不必綁緊鞋帶，直到上了飛機再綁；其他人建議不要跑，因為這樣可能會撞到其他旅客；還有人提醒在電動走道上綁鞋帶很危險，因為鞋帶可能捲入機械裡。有個呆瓜強調走道上一定要用走的，只因為它叫「走」道（然而，這引發一個疑問：飛機在「跑」道上做什麼呢？）。

但也有一些正經的意見。有讀者認為，在哪裡綁鞋帶、在哪裡跑沒有差別，因為只是時間得失的權衡而已。另外有人乘、除、加、減走路所花的時間、跑所花的時間和綁鞋帶所花的時間，然後把得出的結果與電動走道速率、走路速率、奔跑速率做比較。

當然，正確的計算才能得出正確的答案，我們馬上就會公布答案。但有些非數學專業人士期望的是口語解釋的解答，而非以數學公式表述的答案。

一位數學家幫了忙。他請讀者想像一對雙胞胎，亞伯特和伯提，兩人同時到達電動走道，各有一隻鞋的鞋帶鬆了。伯提在快踏上電動走動之前，彎腰綁鞋帶。片刻後，亞伯特剛踏上電道走道，同樣彎腰綁鞋帶。兩人都綁好鞋帶，同一時間起身，然後繼續往前走。當然，亞伯特會領先伯提。亞伯特踏出電動走道後，伯提還在電動走道上，事實上他的確逐漸接近亞伯特。但踏出電動走道後，他再也趕不上亞伯特，亞伯特做了正確的選擇。於是我們得到這個問題的正確答案：在電動走道上綁鞋帶比較有效率。

還有該不該在電道走道上跑的問題。陶哲軒的部落格也吸引了經濟學家的注意，他們覺得自己應該參與討論。畢竟，最佳化變量（optimizing variable），包括利潤、市占率、產量，是他們的謀生之道。他們的結論是，為了盡可能在最短時間內前進一段距離，應該盡量把時間花在速度快的區段。如果匆忙的旅客在電動走道上跑，就縮短了花在快速通道區段的時間，同時也延長了花在慢速區段的時間。這就是為什麼應該在硬地上跑的原因。在經濟理論中，大家早就知道，如果可以選擇，生產工廠應該盡可能把最少的工作安排給最沒有效率的機器。

信不信由你，這個結論也可以應用在賽車上。最近一級方程式車手已獲准按「加速」按鈕，釋放80馬力爆發能量，每一圈最多6.6秒。陶哲軒的部落格會建議賽車手在車道的慢速直線跑道按這個鈕。

同時，普林斯頓大學運動力研究員斯里尼瓦桑（Manoj Srinivasan）的發現證明，人們在電動走道上會減速，以保存能量。2009年，這些發現在《混沌》雜誌（Chaos）發表，證實了俄亥俄州立大學的楊恩（Seth Young）先前的研究結果，他注意到人們在自動化走道上走得比較慢。楊恩指出，箇中原因是當人們踏上電動走道，眼睛會覺得他們正走得比平常的「腳步」快，然後自然調整為較舒適的速度，也就是較不耗能的方式。



依愛因斯坦的公式登機

數學家利用愛因斯坦相對論中的一個公式，建立登機的模型。它告訴我們，不要管登機廣播了。完全不要劃位，讓乘客隨意登機選擇座位，比依序從後往前登機有效率多了！

顯而易見地，航空公司只有當它們的飛機在空中載客運行時才能賺錢。因此，周轉時間（turnaround time），也就是飛機降落與起飛之間待在地面上那段時間，想當然應該愈短愈好。除了清潔飛機、檢修保養和加油之外，還有一項重要考量因素是乘客就座的速度。數百位乘客登機所花的時間，可能導致大延誤和延長留在地面上沒有效益的時間。這就是為什麼航空公司要尋找更有效率的方法，讓今日航空器可以乘載的愈來愈多乘客迅速入座。在縮短登機時間的策略上，乘客通過機艙的順序扮演至關重要的角色。

根據五位以色列和美國數學家的看法，許多航空公司的現行政策無疑並非最佳策略。它們的措施是，先讓後排乘客登機，然後逐步讓前排乘客入座。一個典型的例子是，先召集第25排至第30排的乘客登機，然後是第20排至第25排，以五排為單位遞增，逐步朝機頭方向移動。這種方式背後的想法是，不會有低數排的乘客阻塞走道，因而讓其他乘客無法到達後排。

這種作法看似有道理；畢竟，一桶啤酒也是從底部往上裝填。但直到近期，仍然沒有數學模型可以驗證這個程序的效率。系統工程師採權宜之計，借助電腦模擬，而這些模擬讓人對傳統登機方式產生懷疑。或許從後往前登機不像我們以為的那麼有效率？

對專家來說，仰賴模擬模型絕不是讓人滿意的方法。他們需要的是一個數學模型，這個模型可以明確計算出用不同方式登機所需的時間長度。最後找到一個模型，但它出乎意外地複雜。五位數學家得利用愛因斯坦相對論中的一個公式來建立這個模型，直到當時，那個公式都從未應用在物理學以外的領域。班固利恩大學（Ben-Gurion University）計算機科學家巴赫梅（Eitan Bachmat），分析電腦硬碟輸入輸出佇列（queue）時突然想到這個概念。

巴赫梅和同事發展出來的模型，考量飛機客艙、登機方式、乘客和乘客行為等參數。結果證明，最重要的變項是三個參數的組合：一站立乘客和其手提行李所阻塞的走道長度，如40公分，乘以一排座位數，再除以兩排之間的距離。若一排有六個座位，各排之間的距離約80公分，結果會是3。這個數字表示在趨近指定座位時，單一排的乘客在最終入座前，會占據三排的走道空間。

問題立刻變得顯而易見：如果坐在第25排至第30排的乘客被要求登機，半數走道會完全被堵住，而且多數乘客要等到在他們前面的每一個人都就座，才能到達他們的指定座位。根據這個模型，坐滿機艙所需的時間與乘客數成正比。

這種艱困的情況是可以避免的，如果作法是讓第30排、第27排、第24排的乘客先登機，接著是第29排、第26排、第23排的乘客，然後是第28排、第25排、第22排的乘客，依此類推。以這種方式登機的乘客，不會在走道上彼此阻礙。然而，要實施這麼複雜的措施，困難度相當高（有一種實行方式是利用不同顏色的登機證，例如第30排、第27排、第24排是紅色，第29排、第26排、第23排是藍色，依此類推。那麼廣播時只要說「持藍色登機證的乘客請登機」等等）。

令人意外的是，數學家的計算證明，如果航空公司願意讓乘客以隨機順序登機，登機時間會大幅縮短。不要管登機廣播了。甚至更讓人驚訝的是，這個模型進一步指出一種更有效率的登機方式：乾脆完全不要劃位，讓乘客隨意登機選擇座位。用這種方法，或說不用任何方法，乘客登機就座所需的時間，僅與乘客數的平方根成正比。

但好消息還不止這些。如果從後排開始，坐靠窗位子的乘客先登機，接著是中間座位的乘客，最後是座位靠走道的乘客，登機時間甚至還能再縮短。然而，這種方式可能對家庭旅客和團體旅客不利，他們會暫時被分開。

一種極端考究的策略是，先讓坐在飛機一側靠窗位子的乘客登機，接著是座位在飛機另一側靠窗位子的乘客，然後是中間位子的乘客，最後是座位靠走道的乘客。



依愛因斯坦的公式登機

數學家利用愛因斯坦相對論中的一個公式，建立登機的模型。它告訴我們，不要管登機廣播了。完全不要劃位，讓乘客隨意登機選擇座位，比依序從後往前登機有效率多了！

顯而易見地，航空公司只有當它們的飛機在空中載客運行時才能賺錢。因此，周轉時間（turnaround time），也就是飛機降落與起飛之間待在地面上那段時間，想當然應該愈短愈好。除了清潔飛機、檢修保養和加油之外，還有一項重要考量因素是乘客就座的速度。數百位乘客登機所花的時間，可能導致大延誤和延長留在地面上沒有效益的時間。這就是為什麼航空公司要尋找更有效率的方法，讓今日航空器可以乘載的愈來愈多乘客迅速入座。在縮短登機時間的策略上，乘客通過機艙的順序扮演至關重要的角色。

根據五位以色列和美國數學家的看法，許多航空公司的現行政策無疑並非最佳策略。它們的措施是，先讓後排乘客登機，然後逐步讓前排乘客入座。一個典型的例子是，先召集第25排至第30排的乘客登機，然後是第20排至第25排，以五排為單位遞增，逐步朝機頭方向移動。這種方式背後的想法是，不會有低數排的乘客阻塞走道，因而讓其他乘客無法到達後排。

這種作法看似有道理；畢竟，一桶啤酒也是從底部往上裝填。但直到近期，仍然沒有數學模型可以驗證這個程序的效率。系統工程師採權宜之計，借助電腦模擬，而這些模擬讓人對傳統登機方式產生懷疑。或許從後往前登機不像我們以為的那麼有效率？

對專家來說，仰賴模擬模型絕不是讓人滿意的方法。他們需要的是一個數學模型，這個模型可以明確計算出用不同方式登機所需的時間長度。最後找到一個模型，但它出乎意外地複雜。五位數學家得利用愛因斯坦相對論中的一個公式來建立這個模型，直到當時，那個公式都從未應用在物理學以外的領域。班固利恩大學（Ben-Gurion University）計算機科學家巴赫梅（Eitan Bachmat），分析電腦硬碟輸入輸出佇列（queue）時突然想到這個概念。

巴赫梅和同事發展出來的模型，考量飛機客艙、登機方式、乘客和乘客行為等參數。結果證明，最重要的變項是三個參數的組合：一站立乘客和其手提行李所阻塞的走道長度，如40公分，乘以一排座位數，再除以兩排之間的距離。若一排有六個座位，各排之間的距離約80公分，結果會是3。這個數字表示在趨近指定座位時，單一排的乘客在最終入座前，會占據三排的走道空間。

問題立刻變得顯而易見：如果坐在第25排至第30排的乘客被要求登機，半數走道會完全被堵住，而且多數乘客要等到在他們前面的每一個人都就座，才能到達他們的指定座位。根據這個模型，坐滿機艙所需的時間與乘客數成正比。

這種艱困的情況是可以避免的，如果作法是讓第30排、第27排、第24排的乘客先登機，接著是第29排、第26排、第23排的乘客，然後是第28排、第25排、第22排的乘客，依此類推。以這種方式登機的乘客，不會在走道上彼此阻礙。然而，要實施這麼複雜的措施，困難度相當高（有一種實行方式是利用不同顏色的登機證，例如第30排、第27排、第24排是紅色，第29排、第26排、第23排是藍色，依此類推。那麼廣播時只要說「持藍色登機證的乘客請登機」等等）。

令人意外的是，數學家的計算證明，如果航空公司願意讓乘客以隨機順序登機，登機時間會大幅縮短。不要管登機廣播了。甚至更讓人驚訝的是，這個模型進一步指出一種更有效率的登機方式：乾脆完全不要劃位，讓乘客隨意登機選擇座位。用這種方法，或說不用任何方法，乘客登機就座所需的時間，僅與乘客數的平方根成正比。

但好消息還不止這些。如果從後排開始，坐靠窗位子的乘客先登機，接著是中間座位的乘客，最後是座位靠走道的乘客，登機時間甚至還能再縮短。然而，這種方式可能對家庭旅客和團體旅客不利，他們會暫時被分開。

一種極端考究的策略是，先讓坐在飛機一側靠窗位子的乘客登機，接著是座位在飛機另一側靠窗位子的乘客，然後是中間位子的乘客，最後是座位靠走道的乘客。



用數學計算愛情

應該買什麼禮物給心愛的人？這個聽起來很浪漫的問題，其實不過是簡單的決策問題，用枯燥乏味的數學就可以解決。科學家發現利用賽局理論和數學模型，可以找出最佳送禮策略。

有個年輕人左右為難。他應該買什麼禮物給心愛的人？他要如何向她證明自己對這段感情很認真？愛炫耀的有錢人會試圖選擇昂貴的禮物來贏得芳心，例如鑽石項鍊。小氣鬼只會送個訂做的首飾。圓滑的花花公子選擇最浮誇不實用的，如一盆蘭花或大都會歌劇院首演門票。這個聽起來很浪漫的問題，其實不過是簡單的決策問題，用枯燥乏味的數學就可以解決。

倫敦大學學院的索舟（Peter Sozou）和西摩（Robert Seymour）研究的正是這個問題。他們利用賽局理論和數學模型找出最佳送禮策略。2005年，他們在《英國皇家學會會報》發表這項研究。

索舟和西摩建立的模型是根據一系列約會決策所做的求愛遊戲。男性送給女性的禮物類型，是他的身分地位的象徵。這個遊戲從男性選擇禮物開始。他送給女士什麼樣的禮物，昂貴的、浮誇的或廉價的，取決於他覺得這位女士有多迷人。一旦男士送了禮物，女士必須決定是否接受，並且與他單獨見面談情說愛。接下來，球又到了男方手中。現在他必須決定是否與這位女士交往，或者是否放棄且另尋更適合的對象。

雙方都必須小心謹慎。一方面，女士無法馬上看到禮物的價值。只有收下禮物之後，她才能判定它的價值。另一方面，鑽戒很容易變現，這會讓男性立刻遲疑。雙方都必須根據賽局理論和機率，依對方的可能意圖來自我調整。男士自問那位女士是否真的喜歡他，還是只對禮物感興趣。女士想知道這位追求者是否考慮認真投入感情，還是只是短暫邂逅。

索舟和西摩需要找出符合所謂納許均衡（Nash equilibria）的情況。這類情況以數學家和諾貝爾獎得主納許（John Nash）為名，電影《美麗境界》（A Beautiful Mind）甚至讓非數學家都對他耳熟能詳。如果無論男士或女士都無法單方面改變其策略來獲得任何東西，這種狀態就說處於均衡。納許均衡可以計算出來，不過這類遊戲的參與者當然沒做任何計算。他們發現要導向納許均衡的途徑，要不透過物競天擇的壓力，要不藉由學習過程來達到（例如年輕人適應社會習俗）。一旦參與者達到這樣的均衡，任一方都不會有動機想去改變策略。這種情況是演化穩定（evolutionarily stable）。

兩位研究者找到五種納許均衡。舉例來說，第五種如下：「男性送廉價禮物給沒有吸引力的女性。他們送昂貴或浮誇的禮物給具吸引力的女性，兩種情況各有一定機率。女性接受所有只來自迷人男性送的禮物。如果後來發現禮物價值不斐，她們會決定交往。」然而，男性最成功的策略是，送可能的伴侶高價但無法變現的禮物。藉由這個禮物，女性收到雙重訊息：第一，追求她的男子財力雄厚；第二，他對她的評價很高。同時，男性可以避開釣凱子的自利女性，因為禮物實際上沒有任何真正的市場價值。

順帶一提，浮誇禮物不是人類的專利；動物也偏愛這種禮物。舉例來說，當雄孔雀賣力進行炫耀覆有羽毛的尾部，這種毫無效用但會帶來很大壓力的行為時，雌孔雀相當迷戀。然而，談到令人不快，澳洲蚊蝎蛉（Bittacus apicalis）絕對是極其討厭的禮物。雄蟲在交配後會設法偷回牠的禮物，也就是多汁的昆蟲，以便送給另一隻雌蟲。

在走道上要用跑的或走的？

就快趕不上飛機了，卻得停下來綁鞋帶，這時應該在電動走動上綁還是不在上面綁？或者在哪裡綁沒有差別，只是時間得失的權衡而已？

加州大學洛杉磯分校數學家陶哲軒是現代的數學巨星之一。他在青少年時期就被視為奇才，以十二歲之齡贏得數學奧林匹克競賽金牌（此前他已經得過銅牌和銀牌）。陶哲軒二十四歲升任加州大學洛杉磯分校教授，三十一歲獲頒菲爾茲獎（Fields Medal）。

現在陶哲軒也成為部落客。他常利用自己的部落格闡釋授課內容的細節，滔滔不絕地講述難解的數學問題。但他的部落格不是只給同行...

01麵包師傅的一打=13？

第一章 為數學而數學
02 小數點第五千位之謎
03 消失的筆記本
04 迂迴的數學證明
05 條條大路通羅馬
06 數字背後的祕密
07 質數的祕密生命

第二章 數學的日常應用
08 郵票、銅板與麥克雞塊
09 排隊的（不）公平性
10 在走道上要用跑的或走的？
11 數字9的奧祕
12 達爾文和愛因斯坦愛寫信？
13 哪個桌子不搖晃？

第三章 性情中人
14 以數學之名
15 艾哈德教授不回答
16 雅痞數學家
17 手足敵深
18 熱愛數字的外交官
19 出現四百八十五次的名字
20 改數學錯誤與修屋頂有關？

第四章 空中奇航
21 依愛因斯坦的公式登機
22 新闢道路反而更塞車？
23 班機飛巴黎……與安克拉治
24 虛擬的長途飛行

第五章 頭腦體操
25 左腦計算
26 喪失語言本能
27 資訊超載
28 廢除分數學數學？！

第六章 遊戲、禮物與其他娛樂
29 魔術方塊轉幾下？
30 數獨的數學原理
31 政治與方陣研究啥關係？
32 數字衝過頭！
33 用數學計算愛情
34 誰贏得井字遊戲？
35 說謊者與半說謊者
36 人機大戰誰稱臣？

第七章 選擇與切割
37 猶太經典是賽局理論先驅？
38 你的蛋糕比我大？
39 多到難以抉擇的煩惱
40 選出最佳教宗和最佳歌曲

第八章 錢，以及賺錢
41 跟著金錢走
42 地震、癲癇發作與股市崩盤
43 不要射殺信使

第九章 跨學科集錦
44 迷人的碎形
45 機率多高才超越合理懷疑？
46 曾經有個數學難題……
47 除非我的手機鈴聲獨一無二
48 強化自願合作
49 密碼或騙局？
50 對抗錯誤濫用數學運動

參考書目

01麵包師傅的一打=13？

第一章 為數學而數學
02 小數點第五千位之謎
03 消失的筆記本
04 迂迴的數學證明
05 條條大路通羅馬
06 數字背後的祕密
07 質數的祕密生命

第二章 數學的日常應用
08 郵票、銅板與麥克雞塊
09 排隊的（不）公平性
10 在走道上要用跑的或走的？
11 數字9的奧祕
12 達爾文和愛因斯坦愛寫信？
13 哪個桌子不搖晃？

第三章 性情中人
14 以數學之名
15 艾哈德教授不回答
16 雅痞數學家
17 手足敵深
18 熱愛數字的外交官
19 出現四百八十五次的名字
20 改數學錯誤與修屋頂有關？

第四章...