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◎「迷人又激發興趣、啟人深思，是數學謎題和《天方夜譚》的絕妙結合。」──《費瑪最後定理》作者賽門‧辛，強力推薦

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亞太奧林匹亞數學競賽金牌──時丕勳
建國中學校長──蔡炳坤
建國中學數學教師──繆友勇
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建國中學校長──蔡炳坤
建國中學...

一、邂逅
從撒馬拉赴巴格達途中，我與一位陌生旅人的有趣邂逅。
奉普慈特慈阿拉之名！
我的名字是哈拿克．塔德．馬伊阿。有一回，我從底格里斯河岸邊的名城撒馬拉出遊歸來，正隨著胯下駱駝的緩慢步伐，一步步返回巴格達，卻看見路旁有位旅人，衣衫簡樸，坐在一塊粗糙大石上，顯然因為旅途勞頓，在那裡稍作休息。
我正要開口問安，略盡旅人路上相遇應有的禮貌，沒想到對方竟站起身來，還恭謹有禮地吐出一串數字，令我大吃一驚：「一百四十二萬三千七百四十五。」然後他便迅速坐下，陷入靜默，兩隻手扶著頭，似乎完全沉浸在深思冥想之中。我在一段距離外停下來盯著他看，彷彿注目一座見證遙遠傳奇年代的歷史巨碑。
過了片刻，那人又站起來，用清晰、慎重的聲音，再喊出另一串同樣不可思議的巨大數字：
「兩百三十二萬一千八百六十六。」
這位奇異的陌生旅人，就這樣突然起立、大聲喊出百萬之數、猛地坐下，來回重複了好幾次。我實在按捺不住自己的好奇心，走上前去，以真主之名向他道了安，然後便問他：這些稀奇巨大的數目字到底代表什麼意思。
數數的人答道：「陌生人啊，你的好奇心雖然打斷了我的安靜思緒與計數，但是我並不介意。而且，既然你問得如此彬彬有禮，那麼我也樂意滿足你的期待。不過，還是先讓我把自己的故事說給你聽吧。」
於是，他便說出下面這個故事；而我，也忠實記錄所聽到的每一個字，好讓您聽得高興。

二、有個人可以倚靠
在這一章裡，巴睿彌智．撒米爾，我們這位數數的人，述說了他自身的故事。本章也記述我如何親眼目睹他的運算奇才，我們又如何成為同行旅伴。
「我名叫巴睿彌智．撒米爾，生於波斯。我的家鄉是一處小村落庫依，長年籠罩在亞拉臘山巨大山影之下。小小年紀我就開始工作，為喀馬他一位富家老爺放羊。
每天第一道日光綻放，我就得趕著大批羊群出去吃草，夜幕來臨之前，又必須把牠們趕回羊圈。我最怕的就是小羊走失，自己會受到嚴厲責罰。所以一天當中，常常把羊隻來回數上好幾遍。
數來數去，我愈數愈好，有時只消瞥上一眼，就可以把一整批羊數得一隻不差。為了練習，我又開始去數天上陣陣飛過的鳥兒。漸漸地，我培養出非常好的數數能力。於是在不斷練習、翻新花樣練習、數螞蟻、數蟲子，東數西數練習之下，幾個月後我更神乎其技，竟然可以數出密密一窩蜂來。聽起來很了不起，但比起我後來練成的更多本事，這根本只是小技。
我那慷慨大度的主人，在兩三處遠地擁有龐大的綠洲棗子林。一聽說我在數字上擁有這等異能，便命令我負責他名下棗實的買賣。我以堆為單位，一堆堆地細數；於是在棗樹葉下，一數便幾乎數了十年。我的好主人對我為他帶來的豐厚進帳很感滿意，准了我四個月的假期。我現在就是正要前往巴格達探望親友，同時也想一覽那座名城的壯麗清真寺與豪華宮殿。一路上，為避免浪費寶貴的光陰，我邊走邊練功，數著這一帶的林木，還有樹上芬芳的花朵，以及穿梭在林葉樹叢間的飛鳥。」
說著，他指向近旁一株老無花果樹，繼續說道：「比方那棵樹吧，共有兩百八十四根枝椏。每根枝子上平均有三百四十七片葉子，所以總數就很容易了：那棵樹上，通共長了九萬八千四百四十八片葉子。如何？我的朋友？」
「太神奇了！」我驚奇不已，大叫：「簡直難以置信！一個人竟能只看一眼，就可以數出樹上有幾根枝子，園中有多少花朵。這本事，可以令任何人大發其財呢！」
「你真這麼認為？」撒米爾也驚呼道：「我從來沒這麼想過。數它幾百萬片葉子、幾百萬隻蜜蜂，就可以數出很多錢來？但這株樹上到底長了幾根枝椏，或那群倏忽飛過天際的鳥兒全部共有幾隻，誰可能會對這些感興趣呢？」
我解釋給他聽：「你這神奇的技能，可以施展到幾萬種不同的用途上去。比方在君士坦丁堡這種大帝都裡，甚至在巴格達，你都可以為政府提供無價的功能。你可以幫他們數人口、數軍隊、數牲口。不論是國家資源、收成、稅捐、日用商品、全國總資產，這些事物的計算對你來說一定都輕而易舉。透過我的人脈關係──因為我正是巴格達人──我保證你不難在朝中找到個上好職位，為我們的哈里發穆他辛姆效力。或許，你甚至可以擔任司庫，或是為穆斯林君王當內務總管呢。」
數數的人答道：「如果真能如此，那我打定主意了，一定要上巴格達去。」
於是不再多說，他立刻爬上駱駝，坐到我的背後──因為我們總共就只有這麼一頭坐騎──然後我們便出發往那座燦爛輝煌的城池去了。就從這一刻起，鄉間小路上偶然結識的兩名陌生人，不但成為朋友，也變成無法分離的同行旅伴。
撒米爾個性開朗，相當健談。年紀還很輕（不到二十六歲），聰慧靈活，對數字這門科學極具天分。即使是最小、最不起眼的事物，他也能從中推出一般人難以想像的類比關係，充分展現他在數學上的敏銳能力。他也很會說故事；各種趣聞、軼事，配上他本來就很奇特、生動的談話，愈發多采多姿。
可是有時候，他卻一連幾小時都不開口，深陷在完全無法穿透的靜默之中，思索天文數字級的運算。遇到這種情況，我就儘量地抑制自己，努力不去打擾他，讓他可以安靜思考，使用他那無與倫比的聰明腦袋，沉潛在數學那晦澀幽深的奧祕之中，進行奇妙迷人的新發現。而數學，正是經由我們阿拉伯民族極力的開發、拓展，達到如此境地。

三、載重之牲畜
三十五頭駱駝，如何才能平分給阿拉伯三兄弟呢？數數的人巴睿彌智．撒米爾展現驚人功力，解決了這個顯然無解的除法分配問題，不但令三名原本爭執不下的三兄弟大為滿意，更為我們倆帶來意想不到的收穫。
我們走了好幾個鐘頭，都不曾停下來休息。然後遇上了一件有趣的事，非常值得一述。我的旅伴撒米爾不負其「代數高手」盛名，在這件事上好好地發揮了他的奇才。
在一家破舊半倒的客棧附近，我們看見三名男子正站在一批駱駝旁激烈爭執。三人不斷作出狂亂的動作與手勢，彼此叫囂、激辯，憤怒的叫聲傳入我們耳中：
「哪有這種事！」
「這簡直是搶劫！」
「我絕對沒辦法同意！」
聰敏的撒米爾問他們：到底在吵什麼。
最年長的那位回答：「我們是三兄弟，繼承了三十五頭駱駝。父親的遺囑明白指示：半數給我，三分之一給大弟哈米德，九分之一給小弟哈林姆。可是我們不曉得如何作成這項除法的分配（除法與分配同字），任何一個人提出的建議，另外兩人都有意見。我們試想了很多分法，卻沒有一種方式令大家都能接受。你想想看，三十五的一半是十七又二分之一，而三分之一和九分之一呢，同樣也是無論怎麼除，都沒法除得整數。我們怎麼可能照父親的遺願分得成呢？」
「非常簡單，」數數的人答道：「我保證可以幫你們公平地分配妥當。可是，首先請讓我將我和我友人座下的這隻駱駝，加進你們的三十五隻裡去。多虧有這頭優秀牲畜，在這個節骨眼上剛好把我們帶到這裡來。」
我一聽，馬上開口攔阻。
「這簡直開玩笑，我決不能答應這種瘋狂的事。沒了駱駝，怎麼繼續走完我們的行程？」
撒米爾低聲回我：「別擔心，我的巴格達友人。我很清楚自己在做什麼。來，把你的駱駝給我，你就等著看結果吧。」
他的語氣帶著如此自信，因此我毫不猶疑，立刻把我那頭漂亮的阿美交了出去。三兄弟待分的駱駝群裡，於是又多加了一隻。
撒米爾宣布：「各位，我現在要進行一場公平又正確無誤的分配。你們大家都瞧見了，現在一共有三十六頭駱駝。」
他轉向三兄弟中的老大，說：「你本來應該得到三十五隻的一半，也就是十七又二分之一。
現在你卻會得到三十六的半數，也就是十八隻。你應該沒有什麼抱怨了吧。因為這種分法，你還多得了呢。」
接著他又轉向老二，說：「你呢，哈米德，本來該得到三分之一，也就是十一隻又帶點零頭。好，現在你卻可以有三十六的三分之一，也就是十二隻。你也不能抗議不公了吧，因為這樣一分，你反而多得了呢。」
最後他對老么說：「至於你，小哈林姆，根據你父親的遺願，你本來該繼承三十五的九分之一，也就是三又加上另外不到一隻的駱駝。現在我反而要分給你三十六的九分之一，也就是四隻。你大大得了好處，因此該感激我呢。」
然後，他極具信心地作出結論：「這個皆大歡喜的分法，人人得利，老大得了十八隻，老二得十二隻，老么四隻。十八加十二加四，合起來是三十四。因此三十六隻駱駝剩下兩隻。其中一隻，你們也知道，原本就屬於我這位巴格達的友人。而另一隻呢，理所當然應該歸給在下，因為我為你們解決了這麼複雜的遺產分配難題，令大家都很滿意。」
「陌生客啊，你真是最聰慧的人！」三兄弟中的老大驚歎道：「我們接納你的解決方式，我們完全相信，這個法子既公正又公平。」
聰敏的撒米爾，我們這位數數的人，便從那批極好的牲畜當中牽出一隻，又把我原本的那隻駱駝交還給我，說道：「好啦，我親愛的朋友，現在你可以舒服又滿意地騎著你的駱駝繼續上路。我呢，也有自家的坐騎馱著我呢。」
於是我們便重拾旅程，向巴格達出發。

四、仔細考量
我們在路上遇到一位負傷、飢餓的富有老爺。我們給了他八條麵包，他也答應回謝我們八枚金幣。而這八枚金幣，又是用何種令人稱奇的方式分配？撒米爾指出了三種分法：簡單式、精確式、完美式。穆斯林大帝國的一名顯赫高官，極力地稱讚我們這位數數的人。
三天後的途中，接近一處小村莊斯巴，一片廢墟中，我們看見地上趴著一名可憐的旅人，衣衫襤褸，而且一看就知道身受重傷，狀況非常悽慘。我們連忙上前救起這個不幸的傢伙，然後他也把自己的悲慘遭遇說給我們聽。
他的名字是納瑟耳，是巴格達城最富有的一位商賈。幾天之前，他的大隊商旅正從巴斯拉回程，準備前往赫列，卻在半途遭到襲擊，來者是一批波斯族沙漠牧民。車隊眾人幾乎都慘死在這夥強盜手下，身為商隊領隊的納瑟耳，躲在自家奴僕屍身之間的沙地設法逃過一死，奇蹟地保住了性命。
說完這段悲慘遭遇，他用顫抖的聲音問我們：「請問兩位，身上可帶有任何吃食？我已經快餓死了。」
「我有三條麵包。」我說。
「我有五條。」數數的人說。
「好極了，」富商爺說：「我懇求二位把麵包分給我吃。我會公平合理地回報。我答應一等我回到巴格達，就回贈八枚金幣。」
我們答應了他的請求。
第二天黃昏時分，我們抵達了那座號稱東方之珠的名城巴格達。正要穿越熙來攘往的熱鬧廣場，我們的去路卻被一行華麗隊伍擋住。只見眾多隨員之前，一騎當先，高踞漂亮的栗色馬兒背上，正是本朝高官瑪勒夫大人。他一看見與我們同行的納瑟耳老爺，立刻命令身後那支耀目的隊伍停步，大聲喚他：「發生了什麼事？我的朋友？怎麼你一身襤褸地到了巴格達城？還同兩名陌生人走在一起？」
可憐的納瑟耳老爺把事情原原本本地告訴了他，並熱情地稱揚我們。
「立刻把酬金付給這兩位陌生人。」瑪勒夫大人吩咐，從錢囊中取出八枚金幣交給納瑟耳，又說：「我要立刻帶你進宮。因為我們的哈里發，眾虔信者的捍衛者，一定想得知這個消息：這群強盜貝都因人，竟然又做出這等傷天害理的事。而且就在堂堂哈里發轄地之內，攻擊我們的友人，洗劫我們的商隊。」
於是納瑟耳對我們說：「在此向二位道別了，我的朋友。不過我要再次向你們表示感謝，並如先前承諾，回報你們的慷慨相助。」
他向數數的人說：「這是五枚金幣，謝謝您拿出的五條麵包。」
然後又對我說：「這三枚給您，我的巴格達友人，謝謝您的三條麵包。」
出乎我極大意料之外，數數的人卻恭敬地表示異議：「閣下！對不起，請容我說，這樣的分配看來似乎簡單明瞭，在數學上卻不盡正確。我拿出五條麵包，所以該分得七枚金幣。我的朋友提供三條，因此只應得一枚。」
「以穆罕默德之名！」大人驚呼起來，顯然對這狀況非常感到興趣：「請問這位陌生客，怎麼會提出這等可笑的分法？」
數數的人不慌不忙上前，向這位朝廷要員報告如下：
「且讓在下為大人您說個分明：我的建議在數學上絕對無誤。您瞧，旅途之中，每當我們感到肚子餓了，我便拿出一條麵包，平分成三等份，我們每人各吃了一份。所以我的五條麵包，總共分成了十五份，對吧？我朋友的三條，又是九份，加起來一共是二十四份。我的十五份中，我自己吃了八份，所以實際上我等於只貢獻了七份。我朋友提供九份，但是他本身也吃了八份，因此他只貢獻一份。我提供的七份，加上我朋友的一份，一共八份，都給了納瑟耳。所以我該得七枚金幣，我朋友只得一枚，如此分配方屬合理。」
瑪勒夫大人盛讚數數的人，然後便下令該給他七枚金幣，給我一枚。因為我們這位數學家提出的證明既合邏輯又極完美，全然無懈可擊。
然而儘管這個分法再公正，撒米爾顯然還是不能滿意。他轉身向驚詫不已的大人閣下，繼續又說：「這個分法，我七他一，雖然正如我所證明，在數學上可謂完美，但是在我們全能主的眼中卻欠完美。」
說著，他又把金幣收在一起，平均分成兩堆，給我四枚，自己留下四枚。
「此人實在太不尋常！」大人宣布：「起先，他不肯接受五三的分配。然後提出證明，顯示他自己有權利得到七枚，夥伴只得一枚。但是接下來，他竟然又把這些金幣重新平分，將其中一半分給了他的友人。」
大人愈說愈熱情：「以全能者之名！這位年輕人不但在算學上聰明敏捷，同時也是一位最美好又慷慨的友人。我要任命他擔任我的祕書，今天就生效。」
數數的人答道：「大人，我注意到您剛才一共用了三十個字、一百二十五個字母，說出了我這輩子所聽到的最高美譽。願阿拉永遠祝福保佑您！」
吾友撒米爾的運算奇才，甚至及於對方所用的言詞、字母。我們全體都對他的天資嘖嘖稱奇。

編輯室報告　神奇數學老師的奇幻國度 5

一、邂逅 13
二、有個人可以倚靠 15
三、載重之牲畜 19
四、仔細考量 23
五、直言說出 27
六、數字審判 35
七、上市場去 41
八、極樂之境 51
九、命中注定 59
十、一鳥在手 63
十一、除此之外 73
十二、循環論證 79
十三、友誼無邊 85
十四、一個永恆的事實 93
十五、整齊收好 99
十六、策畫方針 103
十七、蘋果與螞蟻 113
十八、危險珍珠 121
十九、水手的抉擇 131
二十、十的力量 139
二十一、出現在牆上的預兆 147
二十二、一半又一半 153
二十三、都有關係 159
二十四、我找到了！ 167
二十五、面試開始 173
二十六、值得一書 179
二十七、歷史正在創造進行中 183
二十八、錯謬的希望 187
二十九、獨力成功 191
三十、三物以類聚 197
三十一、白紙黑字 203
三十二、妥協斡旋 209
三十三、看法完全一致 213
三十四、生命與愛的題目 221

解題說明 223