《數學是啥玩意?》 (I)
讀完了《幹嘛學數學?》,覺得意猶未盡嗎?數學課本看到膩、參考書的習題做到煩,想知道數學到底有啥用嗎?除了解不完的方程式、畫不盡的函數圖形,數學課就不能教些別的東西嗎?
斯坦教授的《數學是啥玩意?》,是為你我而開設的19堂不一樣的數學課,希望能幫助那些擁有好奇心的讀者,對數學二見鍾情。
本套書的第I冊要從「稱重問題」談起,再慢慢帶到質數、無理數、有理數,此外還要教你怎麼鋪瓷磚、怎麼幫警察找出巡邏路線,以及「記憶輪」是什麼、有什麼重要用途。
數學,絕對不等於枯燥的數字計算,也不等於一頁又一頁沒有清楚解釋的難懂定理!讀過《數學是啥玩意?》之後,你就會徹底明白這一點。
不一樣的19堂數學課
繪製地圖的時候,只用四種顏色就夠了嗎?
大小不一的正方形瓷磚,要怎麼樣鋪滿一塊長方形區域?
這些都與數學有關?
在一套三冊的《數學是啥玩意?》裡,你除了會學到質數、有理數、無理數,還能跟隨斯坦教授的清楚講解,學會怎麼鋪瓷磚、怎麼幫警察找出巡邏路線、怎麼排正交表、玩方形數字盤,知道如何向人解釋為什麼久賭必輸,以及棒球比賽中,盜壘戰術究竟有什麼學問……
如果你是學生,這套書將帶領你跳出解方程式的無聊計算,進入有趣的數學遊戲世界;如果你是老師,這套書將帶給你開闊的視野,重新看待數學的版圖;斯坦教授的《數學是啥玩意?》,希望能幫助一些擁有好奇心的讀者,對數學二見鍾情。
作者簡介:
斯坦──《幹嘛學數學?》作者 Sherman K. Stein
加州大學戴維斯分校數學教授,該校傑出教學獎得主之一,並曾獲得美國數學學會頒發的福特獎(Lester R. Ford Prize),以表彰他在闡揚數學知識方面的貢獻;此外也因為《Algebra and Tiling》這本書,獲頒貝肯巴赫書獎(Beckenbach Book Prize)。
斯坦的主要興趣在代數、組合數學及教學法,另著有《幹嘛學數學?》(天下文化出版)以及為中學生所寫的數學普及書系。
譯者簡介:
葉偉文
國立清華大學核工系畢業,原子科學研究所碩士(保健物理組)。譯有《愛麗絲漫遊量子奇境》、《幹嘛學數學?》、《物理馬戲團 I~III》、《數學小魔女》、《統計,改變了世界》等
章節試閱
《數學是啥玩意?》(I)
第1章 稱重問題
本章將提出一些有關「數」的重要問題。對於懂得簡單算術的人,這些問題很容易算,很容易了解,很像一些好玩的謎題,但事實上,這些問題牽涉到數論的其中一個基本性質。我們在第3章才會說明答案背後的原因,至於本章,目的只是要提供一種無正確答案的開放式問題,讓各位有實驗的機會,看看單純一個數學觀念如何以形形色色的面貌出現。
我們可以用幾個例子來介紹稱重問題。先假定我們手邊有一個天平,就是在一般化學實驗室裡常看到的有兩個稱盤的那種天平。接下來再假定我們有無限供應的5兩重及7兩重的砝碼,並假設馬鈴薯的重量都是整數值,沒有亂七八糟的小數點(當然,真實的馬鈴薯不會這麼乖,稱得的重量什麼值都有)。我們現在要問:用這個天平與這兩種砝碼,可以稱得哪些重量的馬鈴薯呢?
舉例來說,如果只用5兩重的砝碼,可以稱得5、10、15、20、25、30、35、……兩重;只用7兩重的砝碼,則可稱得7、14、21、28、35、……兩重。我們也可以把兩種砝碼各放一個在稱盤上,這樣就可以稱出12兩重,也就是 12 = 5 + 7。或者我們還可以把砝碼分別擺在兩個盤子裡,這樣就可以稱得2兩重,因為這個重量的馬鈴薯與5兩重的砝碼加起來,正好等於7兩重的砝碼。
那麼,我們能稱得3兩重的馬鈴薯嗎?可以,你只要先把兩個5兩重的砝碼放在一邊的盤子裡,另一邊放一個7兩重的砝碼,再加上一個馬鈴薯而平衡,就對了;這個平衡的方程式就寫成 3 + 7 = 2•5。
我們可以量4兩重的馬鈴薯嗎?照樣可以,把馬鈴薯與兩個5兩重的砝碼放在一個盤子裡,另外一個盤子裡放兩個7兩重的砝碼就行了;相對應的方程式是4 + 2•5 = 2•7。或者將馬鈴薯與三個7兩重的砝碼放在一個盤子裡,而把五個5兩重的砝碼放在另一個盤子,讓天平兩邊平衡,也能稱得4兩重的馬鈴薯,這時的方程式就變成 4 + 3•7 = 5•5。
那麼1兩重的馬鈴薯要怎麼稱呢?在讀下去之前,你最好自己試試看。這是可以辦到的;只要把馬鈴薯與兩個7兩重的砝碼放在一邊的稱盤上,另外一邊放三個5兩重的砝碼就行了!當然還有別的方法可以用5兩與7兩重的砝碼稱得1兩重的馬鈴薯,你可以暫停一下,試試看,再繼續往下讀。
《數學是啥玩意?》(I)
第1章 稱重問題
本章將提出一些有關「數」的重要問題。對於懂得簡單算術的人,這些問題很容易算,很容易了解,很像一些好玩的謎題,但事實上,這些問題牽涉到數論的其中一個基本性質。我們在第3章才會說明答案背後的原因,至於本章,目的只是要提供一種無正確答案的開放式問題,讓各位有實驗的機會,看看單純一個數學觀念如何以形形色色的面貌出現。
我們可以用幾個例子來介紹稱重問題。先假定我們手邊有一個天平,就是在一般化學實驗室裡常看到的有兩個稱盤的那種天平。接下來再假定我們有無限供應的5兩重及...
作者序
第三版序
斯坦
《數學是啥玩意?》的第二版發行迄今,已經七年了,在這段時間裡,由於受到專業學識發展和社會變遷的影響,數學的本身及教學方法都有相當程度的演進。本書的第三版就充分反映了這些演進,同時也表達出我個人在想法上的改變。例如我在第三版增加了一章,專門討論機率,即反映出現今的社會或個人,可能會應用與機率有關的數學知識,來解決所面臨的難題,而老師與學生在探討相關知識時,也對這些課題愈來愈感興趣。
在我們所處的世界裡,許多事物都是天然生成的,比如水。我們知道,水分子是由兩個氫原子與一個氧原子構成的,但對於水分子湊在一起時如何能呈現水的特性,卻一無所知。用原子與分子的概念,很方便就能解析水這種物質,卻又無法掌握水真實的特性,原子與分子真是既方便卻又抽象的天然事物。
相反的,數學就完全是人為的成果,每個定理與每項證明都是人類心智活動的產物;在數學裡,所有的牌都攤在桌上。在這層意義上,數學是具體的,世界反而是抽象的。
我打算藉由這本書,把數學的這種具體特性介紹給一般讀者。我所謂的「一般讀者」,可以是大學生、高中生或喜歡追根究柢的上班族,不管你的主要興趣是什麼,只要有一顆好奇的心就行了。這本書最初是設計為大專課程,幫助不同科系的學生認識數學的美、生命力與包羅萬象。在寫作本書之前我花了好幾年,想找一本合適的教科書,但找到的不是太難就是太專門。
本書所談的主題選自數論、拓樸學、集合論、幾何、代數與分析學,但我希望讓僅有少許數學背景的讀者也看得懂(有些章節只需國中學過的算術),所以針對每個主題,我都會說明主要觀念,讓這些主題的本身很容易實驗或求證。
我建議各位在閱讀每一條定理及證明時,要充分利用數學的具體特性,不要有先入為主的信念,而是要心懷警覺與懷疑,仔細檢查每一個推理的步驟。在碰到像「你可以自己舉個例子」,或「在證明之前,不妨用一些特例檢驗一下這個定理」之類的建議時,最好是能照做。讀這本書時,最好也能把紙、筆放在手邊,隨時可派上用場。
《數學是啥玩意?》的第三版與前兩版有很多不同。在第三版,第1章到第4章是全書的核心,而接下來的六章與新增的第13章,則是用得最多的。第13章〈機遇〉是在介紹機率論的幾個基本知識,在強調機率理論的一般應用及做決策時的重要性;你們由第13章的內容與附帶的練習題可以看出,機率的概念在日常生活裡雖然隱而不顯,卻無所不在。此外在新版的第9章〈數的表示法〉當中,還增添了公制的介紹,這是因為公制與十進位制是不可分的。
全書還有許多較小規模的改變,包括新的結果、更為簡單的證明,以及新的練習題。就像第二版一樣,很多改變只是為了讓觀念闡述得更清楚。大部分習題的解答都附在書後。
「數學健身房」裡的習題依難度分為三類。第一類是一般練習,讓各位自我測驗是否理解相關的定義與基本觀念。第二類習題我用了一隻筆()與前一類區隔,通常你必須應用那一章所談的觀念才能解答。第三類練習題的前面有兩隻筆( ),難度最高,解題時你不僅要充分理解那一章的中心主題,還必須能舉一反三,想出其他的方法。
值得注意的是,本書依不同類型的學生及不同的難易程度,做了不一樣的閱讀安排。利用最前面的閱讀地圖與閱讀指南,老師或讀者可以自行決定要如何進行。
第三版序
斯坦
《數學是啥玩意?》的第二版發行迄今,已經七年了,在這段時間裡,由於受到專業學識發展和社會變遷的影響,數學的本身及教學方法都有相當程度的演進。本書的第三版就充分反映了這些演進,同時也表達出我個人在想法上的改變。例如我在第三版增加了一章,專門討論機率,即反映出現今的社會或個人,可能會應用與機率有關的數學知識,來解決所面臨的難題,而老師與學生在探討相關知識時,也對這些課題愈來愈感興趣。
在我們所處的世界裡,許多事物都是天然生成的,比如水。我們知道,水分子是由兩個氫原子與一個氧原子構成的...
目錄
《數學是啥玩意?》(I) 目錄
閱讀地圖
閱讀指南
第三版序 斯坦
第1章 稱重問題
第2章 質 數
第3章 算術基本定理
第4章 有理數與無理數
第5章 用數學頭腦鋪瓷磚?
第6章 鋪瓷磚與電學
第7章 高速公路巡邏警察與推銷員
第8章 記憶輪
附錄A 算術複習
附錄B 數學寫法
《數學是啥玩意?》(I) 目錄
閱讀地圖
閱讀指南
第三版序 斯坦
第1章 稱重問題
第2章 質 數
第3章 算術基本定理
第4章 有理數與無理數
第5章 用數學頭腦鋪瓷磚?
第6章 鋪瓷磚與電學
第7章 高速公路巡邏警察與推銷員
第8章 記憶輪
附錄A 算術複習
附錄B 數學寫法
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