不大可能法則：誰說樂透不會中兩次？

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連續贏得樂透、突如其來的金融風暴、多次被閃電打到，數學教授漢德在這本精心規畫的書裡告訴我們，這些事件雖然驚人，卻是意料中應該發生的事。小到個人、大至宇宙，有幾項因素讓一些看似不大可能發生的事件經常出現在我們四周。書裡提出的概念雖然學術，卻毫不枯燥，讓人很有感覺，而且行文流暢，例子又吸引人。漢德指出機率有一些面向和我們的直覺相反，並介紹人類對機率的認識如何隨時間發展。他用輕快的筆調，悄悄吸引我們深入機率的世界，告訴我們機率也關乎人，關乎我們認為特別的事物，以及背後的原因...

【內容摘錄 1】

前言　為什麼極不可能發生的事件不斷發生？
　　這本書的主角是極不可能的事件，旨在解釋機率極低的事件為何會發生，而且還要說明這些事件為何不斷出現，永遠不會消失。
　　這一點乍聽之下很矛盾。非常不可能的事件怎麼會不斷發生？不可能不就代表很罕見？
　　然而，現實中許多事件告訴我們，這一點都不矛盾。有人連贏幾次樂透，閃電經常打中同一個倒楣鬼，劇烈的金融崩盤一再上演，諸如此類。不過，這樣的現象當然需要解釋。
　　宇宙有其運行的法則。牛頓力學定律告訴我們掉落的物體如何運動，月亮為何繞著地球運轉，汽車加速時為什麼背會往座椅靠，還有絆倒時為什麼撞到地面感覺那麼重。其他定律告訴我們星球如何生成和消亡，人性來自何處，又可能去向何方。
　　極不可能的事件也是如此。有一組定律掌管著機運，告訴我們意料之外的事情是會發生的，也告訴我們背後的理由。這一組定律，我稱之為「不大可能法則」。
　　不大可能法則包含幾個層次的定律。有些和宇宙的基本構造有關，包括二加二等於四之類的抽象基本真理；有些涉及所謂的機率的深層性質；還有一些源自人類的心理層面：大腦不只是專司記錄的器官。只要條件適當，任何一條定律都是現實中的一個實例，但唯有所有定律同時運作、相輔相成，才能充分展現不大可能法則的驚人力量，讓原本無法想像的不可能成為現實。
　　這本書源自於多年來我和許多人所做的研究、談話與討論，因此很難向所有人逐一致謝。不過，有些人對我的幫助特別大，讓我將一些概念發展成一本書。我要感謝我的朋友與同事麥可‧克洛（Mike Crowe）、凱特‧蘭德（Kate Land）、尼歐‧亞當斯（Niall Adams）、尼克‧赫德（Nick Heard）和克里斯多佛洛斯‧安納諾斯托波羅斯（Christoforos Anagnostopoulos），謝謝他們對各階段草稿的批評指教。另外，謝謝我的經紀人彼得‧塔拉克（Peter Tallack）和編輯艾曼達‧孟恩（Amanda Moon）在初稿到成書的旅程中扮演批評者的角色。巧的是（也許不是巧合，因為巧合只是不大可能法則的展現）這本書還在構思階段時，溫頓資產管理公司（Winton Capital Management）的創辦人大衛‧哈丁（David Harding）來找我，希望延攬我到他公司。我在那裡遇到的許多推理難題刺激了我，讓我更深入思考稀罕事件的意義。最後我要特別感謝我的妻子雪莉，謝謝她在我打造這本書時包容我的心暫時不在她身邊，並且對書中內容提供了許多寶貴的意見。

【內容摘錄 2】
第一章　神祕事件的神祕起源

機運來時，船上無人也會駛進港灣。
──莎士比亞
是不可思議的巧合，還是看不見的力量？
　　一九七二年夏天，美國男星安東尼‧霍普金斯（Anthony Hopkins）和片商簽約，預定在喬治‧菲佛（George Feifer）的小說《鐵幕情天恨》（The Girl form Petrovka）改編的電影中擔任主角。為了這部片子，他特地飛到倫敦想買這本小說，沒想到倫敦的大書店都沒有這本書。回程途中，他在萊斯特廣場（Leicester Square）站等地鐵，赫然發現他座椅旁邊擺著一本被人扔棄的書，書名就是《鐵幕情天恨》。
　　這已經夠巧了，但更神奇的還在後頭。後來霍普金斯有幸和作者見面，便對他說起這樁奇特的遭遇。菲佛聽得津津有味，跟他說他去年十一月將這本書借給一名朋友，書裡有他的親筆註記，將英式英文轉換成美式英文，例如將labour改成labor等等，以便發行美國版。但他的朋友將書留在倫敦市的貝斯瓦特區（Bayswater）忘了拿走。霍普金斯匆匆翻閱他手上那本小說的註記，發現這本書就是菲佛的朋友弄丟的那一本。
　　讀到這裡，你不得不問：這種事發生的機率有多高？百萬分之一？還是十億分之一？無論如何，這樣的事情都會挑戰可信度的極限，吸引我們用未知的力量或因素來解釋，這本書怎麼落到霍普金斯手裡，再回到菲佛身邊。
　　另外一個驚人的巧合出自心理學家榮格（Karl Jung）的《同時性》（Synchronicity）。他在書中寫道：「作家威廉‧馮休茲（Wilhelm von Scholz）……說過一個故事。一九一四年，一名母親在黑森林幫兒子拍了一張相片，接著將底片拿到史特拉斯堡沖洗。但由於戰爭爆發，她沒辦法回去拿相片，便當作搞丟了。兩年後，這名母親在法蘭克福買了一卷底片，想要拍她剛出生的女兒。沒想到送洗時師傅發現底片雙重曝光，而且重疊的那張相片就是她之前幫兒子拍的那一張！那卷底片沒有沖洗，不知道為什麼和新的底片混在一起，重新流通到市面上。」
　　我們幾乎都遇過類似的巧合，頂多驚人的程度差一點，例如正想到某人，對方就打電話來了之類的。怪的是，我在寫這本書的時候，就有這樣的經歷。一名同事要我推薦統計方法學某個主題（多變量ｔ分布）的相關著作，於是我隔天查了資料，找到一本專講該主題的書，作者是薩繆爾‧寇慈（Samuel Kotz）和撒拉里斯‧納達拉吉（Saralees Nadarajah）。我開始寫電郵給同事，告訴他那本書的細節，中途被一通來自加拿大的電話打斷。談話中，對方碰巧提到一件事，就是寇慈剛剛過世。
　　同樣的例子不勝枚舉。二○○五年九月二十八日英國《電訊報》（The Telegraph）報導，瓊安‧克雷斯威爾（Joan Cresswell）到坎布里亞（Cumbria）巴洛高爾夫俱樂部打球，於五十碼的第十三洞擊出一桿進洞。你可能覺得這還滿稀奇的，但沒有那麼不可思議，畢竟一桿進洞的確會發生。但要是我告訴你下一個人是沒打過高爾夫的瑪格莉特‧威廉斯（Margaret Williams），她也一桿進洞呢？
　　這種事實在太多了。有些現象感覺是那麼不可能和不應該發生，讓人不禁覺得宇宙是不是按著我們不瞭解的法則在運作，而我們熟悉的、日常生活所倚賴的自然律與因果法則是不是偶爾會失靈。這些現象必然會讓我們懷疑單憑巧合及人事物的偶然就能解釋一切，甚至覺得背後有一股看不見的力量在作祟。
　　這些現象通常只會令人訝異，成為茶餘飯後的話題。我頭一回去紐西蘭，某天在一間咖啡館坐下來休息。隔壁桌有兩個人，我發現其中一人用的便條紙是我在英國教書的那間大學販售的。不過，離奇事件有時卻會大大改變我們的生命。有些是好事，例如美國紐澤西一名婦人先後中了兩次樂透；有些是壞事，例如桑默福德少校（Major Summerford）被雷擊了好幾次。
　　人是好奇的動物，自然會想知道離奇巧合背後的原因。是什麼讓兩名同大學的陌生人千里迢迢跑到地球的另一邊，在同一家咖啡館的隔壁桌喝咖啡？是什麼讓那名婦人兩次挑中了樂透的得獎號碼？是什麼讓桑默福德少校一次又一次被閃電擊中？是什麼讓安東尼‧霍普金斯和《鐵幕情天恨》穿越時間與空間，出現在同一個地鐵站裡的同一張座椅上？
　　當然，還有一個更重要的問題：我們如何利用這種巧合背後的原理，用它來為我們謀福利？
　　我剛才舉的都是小例子，僅限於個人層面，但現實中有太多更宏偉的例子，舉也舉不完。有些似乎想告訴我們，這些非常不可能的事件要是沒發生，不僅人類不會出現，連銀河本身也不會存在。有些則指出基因構造上的一個微小而隨機的改變，就可能創造出如人類一樣複雜的生物。還有些跟地球和太陽的距離、木星的存在，甚至物理基本常數值有關。同樣的問題再度出現：這些看似極不可能的事件真的能用機緣湊巧來解釋嗎？還是有其他的力量或因素在背後導引這些事件的走向？
　　這些問題的答案都回歸到一個定律，我稱之為不大可能法則。該原理主張非常不可能的事件其實稀鬆平常，是一組更基本的法則齊力作用的結果。這些法則讓極度不可能的事件必然會出現，絕對會發生。不大可能法則蘊含的原則告訴我們，按照宇宙的結構方式，巧合是無可避免的：這些非常不可能的事件必然會發生；機率微乎其微的現象一定會出現。這些事件是那麼不可能，卻又不斷發生，只有不大可能法則可以解釋這個表面的矛盾。
　　讓我們從前科學時代的解釋說起。這些解釋通常源自不可考的過去，儘管至今仍有許多人深信不疑，但在培根革命之前就存在了。培根革命（Baconian Revolution）認為，想要瞭解自然世界，就該蒐集資訊、進行實驗和勤作觀察，用這些發現作為判準來評估對於事件的各種解釋。在我們使用科學方法嚴格評判某個解釋是否有效之前，這些前科學說法就已經存在了。但解釋如果不曾或無法被檢證，就沒有真正的分量，只是說法或故事，跟聖誕老人或牙仙之類的童話沒有兩樣。這些前科學解釋具有安撫及鎮定的功能，能安慰不願或無法更深入的人，但無法達到真正的理解。
　　理解來自更深入的探究。藉由這些探究，思想家——研究者、哲學家和科學家——試圖找出描述自然界運行的「法則」。這些法則就像摘要，以簡單的形式概述我們對宇宙運行的觀察所得，是一種抽象化。例如牛頓第二運動定律指出物體的加速度和受力成正比，可以描述高樓落下物體的墜落軌跡。自然律企圖直指現象的核心，剝除表面、去蕪存菁。我們讓預測符合觀察（亦即數據），藉此推導出定律。某定律說密閉容器中的定量氣體倘若溫度增加，壓力也會上升，事實真是如此嗎？數據也是這樣嗎？某定律說增加電壓會增強電流，我們真的會觀察到這個現象嗎？
　　藉由讓數據和解釋相符，我們對大自然有了空前的瞭解。從現代世界的出現到人類科學與技術的驚人成就，在在證明了這種方法的力量。
　　當然，有些人會覺得瞭解一個現象後，那個現象就不再神祕了。如果瞭解代表去除模糊、晦澀、歧異與困惑，那它確實剝奪了神祕。但瞭解彩虹色彩的成因絲毫不會減損彩虹的神奇，反而讓人對於現象背後的美產生更深的讚嘆，甚至敬畏。這樣的理解讓我們知道萬物如何構成我們所生活的這個世界。

機率夠小的事件絕不會發生（就人類尺度而言）──波萊爾定律
　　一八七一年出生的埃米爾‧波萊爾（Émile Borel）是法國重量級數學家，也是以數學角度研究機率（即測度論）的先驅，不少數學事物和概念都以他命名，例如波萊爾測度、波萊爾集、波萊爾－坎泰利引理（Borel-Cantelli lemma）及海涅－波萊爾定理（Heine-Borel theorem）等。一九四三年，他寫了一本非數學的機率導論，書名為《機率與生命》（Les Probabilités et la vie）。書中除了說明機率的性質與應用，還提出了一個定律，他稱之為單一機率定律（single law of chance），現在通常直接稱為波萊爾定律。這個定律是這麼說的：「機率夠小的事件絕不會發生」。
　　乍看之下，不大可能法則顯然和波萊爾定律衝突，畢竟你可能和我一樣，覺得機率很小的事件當然有可能，只是沒那麼常發生。機率不就是這麼回事？微小機率就更不用說了。然而，當我拿著《機率與生命》往下讀，就發現其中頗有蹊蹺。
　　為了說明他想表達的概念，波萊爾提到了一個經典理論，就是只要讓一群猴子隨意敲打打字機，就可能湊巧打出莎翁全集。用波萊爾的話來說就是：「這類事件雖然無法以理性證明不可能，但由於機率實在太低，任何正常人都會毫不遲疑宣稱這種事不可能發生。如果有人說他遇到了這類事件，我們一定會覺得他在騙人，而且也被別人騙了。」
　　因此，波萊爾的「機率極小」是就人類尺度說的，這才是他的意思。某件事的機率對人類來說實在太小了，期待它會發生是不理性的，因此應該將它視為不可能的事。的確，他在解釋完「單一機率定律」（你應該記得這個定律說機率夠小的事件絕不會發生）之後，立刻補充說：「至少我們在所有情況下都應該當它不可能發生[粗體為原作者所加]。」
　　他後來在書裡又舉了另一個例子：「對巴黎的通勤族來說，在街上發生事故的機率大約是一百萬分之一。如果某人為了避開這麼小的風險，決定足不出戶，整天關在家裡，甚至要求妻子和兒子也這麼做，我們都會認為他瘋了。」
　　其他思想家也有類似的見解。例如一七六○年代法國數學家讓‧達朗伯（Jean d’Alembert）便曾經提問，觀察某一個發生和不發生機率各半的事件，會不會觀察到它長時間連續發生？一八四三年，《機率與生命》問世的一百年前，法國數學家安東－奧古斯丁‧庫爾諾（Antoine-Augustin Cournot）在《論機率與或然率理論》（Exposition de la Théorie des Chances et des Probabilités）裡，討論了完美圓錐倒立的實際和理論或然率。從此「實際必然性」就跟庫爾諾連在一起了，並且和「物理必然性」相對立。事實上，「機率極小的事件絕不會發生是實際上必然的」，有時也稱為庫爾諾原理。一九三○年代，哲學家卡爾‧波柏（Karl Popper）在《科學發現的邏輯》（The Logic of Scientific Discovery）裡也曾寫道：「極端不可能的事件應當忽略不計，這個法則……符合科學客觀性。」
　　既然其他知名思想家也提過類似的概念，或許有人會問為何現在只提波萊爾的名字？這可能是「創始者得名法則」搞的鬼。美國經濟學家斯蒂格勒（G. J. Stigler）最先提出這個法則，內容是「所有科學定理均非以第一發現者命名（推論：這一個定理也是）」。
　　波萊爾定律跟我們在幾何學課上學到的點線面有幾分類似。老師告訴我們這些幾何事物都是數學抽象，不存在於真實世界中，只是好用的簡化，方便我們在腦中思考和操作，以瞭解它們在真實世界中所代表的那些物體。同樣地，雖然機率極小不等於零，但理想上還是可將它視為零。因為就人類實際環境而言，機率夠小的事件絕不會發生。這就是波萊爾定律。
　　再次套用波萊爾的說法：「我們必須瞭解到，單一機率定律除了數學的必然性之外，還包括另一種必然性，不過這種必然性就像我們能接受某位古人、對蹠點的某座城市、路易十四或墨爾本的存在一樣，甚至和我們認為客觀世界必然存在一樣。」
　　波萊爾還給出一個尺度，說明對他而言怎麼才算機率「夠小」。底下是我依據他的定義稍微修改過的版本。每一個版本，我都加上幾個例子，讓讀者對於數字大小有一些概念。

　　在人類尺度下，可忽略的機率值為小於一百萬分之一。撲克牌同花大順的機率約為六十五萬分之一，差不多是百萬分之一的兩倍。一年有三千多萬秒，因此以波萊爾的尺度而言，如果你和我各挑一年中的某一秒做某件事，我們會選在同一秒動手的機率就是可忽略的。
　　在地球尺度下，可忽略的機率值為1015分之一（如果你不知道這個數學表達式是什麼意思，請見「附錄一」）。地球的表面積約為5.5x1015平方英尺，因此如果你和我隨機在地球表面挑選一處站立（姑且不論其中許多地點都在海面上），我們選到同一塊地方的機率就是在地球尺度下可以忽略的。玩橋牌拿到十三張同花色牌的機率約為4x1010之一，遠大於地球尺度下可忽略事件的發生機率。
　　在宇宙尺度下，可忽略的機率值約為1050分之一。地球擁有1050粒原子，因此如果你和我隨機挑選地球上的任一個原子，我們選到同一粒原子的機率就是在宇宙尺度下可忽略的。相較之下，全宇宙「只有」1023顆星球。
　　在超宇宙尺度下，可忽略的機率值為101,000,000,000分之一。由於全宇宙的重子數據估計也只有1080，因此很難找到具體的例子說明這個機率有多小！

　　波萊爾的「小到可忽略」指數告訴我們一個事件的機率小到什麼程度，就可以在現實中當作不可能發生。然而，不大可能法則卻指出，在波萊爾定義下，不可能發生的事件依然會發生。這些事件不僅不是不可能，而且會一再上演。這兩個原理不可能同時都對：這些事件不是太不可能，所以絕對看不到它們發生，就是很有可能，因此會不斷出現。
　　只要剝開不可能性的真諦，就能化解這個表面的矛盾。我們不妨將「不大可能法則」的各個面向視為洋蔥的外皮，每剝開一層，它的意義就會變得更清楚。原理的不同面向（巨數法則、夠近法則和選擇法則等）都以各自的方式，說明波萊爾定律和不大可能法則如何同時成立。
　　不大可能法則的某些面向影響深遠，有些則否。例如要判斷某種疾病集中出現是因為污染物或純屬巧合，就得仰賴巨數法則。然而，底下這個例子乍看之下非常不可能，機率低到沒有人預期它會發生，但它卻發生了。你可以試試能不能想出什麼解釋。報導出自二○一一年十二月十九日的《美國新聞與世界報導》（U.S. News & World Report），主角是已故的北韓領導人金正日。報導中說：「一九九四年，金正日第一次打高爾夫，就徹底征服了七千七百碼的平壤高爾夫球場，打出了不可思議的低於標準桿三十八桿。他在北韓唯一的高爾夫球場打出十一次一桿進洞，最差的也有柏蒂，在場的十七名隨扈都可以作證。」
　　你可能會想到波萊爾對猴子打字理論的看法。就像我說的，不大可能法則有些面向非常直截了當，有些卻很深刻。這本書就是在討論後者。

【內容摘錄 1】

前言　為什麼極不可能發生的事件不斷發生？
　　這本書的主角是極不可能的事件，旨在解釋機率極低的事件為何會發生，而且還要說明這些事件為何不斷出現，永遠不會消失。
　　這一點乍聽之下很矛盾。非常不可能的事件怎麼會不斷發生？不可能不就代表很罕見？
　　然而，現實中許多事件告訴我們，這一點都不矛盾。有人連贏幾次樂透，閃電經常打中同一個倒楣鬼，劇烈的金融崩盤一再上演，諸如此類。不過，這樣的現象當然需要解釋。
　　宇宙有其運行的法則。牛頓力學定律告訴我們掉落的物體如何運動，月亮為何繞著地球...

前言　為什麼極不可能發生的事件不斷發生？

1　神祕事件的神祕起源
是不可思議的巧合，還是看不見的力量？
機率夠小的事件絕不會發生（就人類尺度而言）──波萊爾定律

2　如果球就這麼掉進了酒杯：面對無常的宇宙
為什麼是我？怎麼是這裡？
動物也會「迷信」？──似是而非的因果關係
預言家成功指南──模稜兩可、大量預測
再怪的事都可以用神來解釋—因果鏈斷裂，奇蹟登場
念力真有其事？──刊登偏差和選擇偏差
鳥聚集在亡者屋外？──同時性和形態共振
鐘錶宇宙的漏洞

3　不令人意外就不叫巧合：機運是什麼？
零和一之間：機率到底是什麼意思？
神啟、賭博、賺錢、保險──機率從何而來？
機率不存在？──只是我們認知世界的方式
機率法則──條件機率、大數法則、中央極限定理、常態分布
從鐘錶宇宙轉為機率宇宙

4　球打出去，一定有事：必然法則
總之一定會有事發生
樂透：一定會中獎，但機率小到不行！
股票密報詐欺：只要等結果出爐，就能確定結果了

5　多看一眼，就能找到四葉草：巨數法則
樂透連續兩週開出相同號碼，其實沒那麼難：創造巨數
連擲六次骰子都出現同一個數字的幸運兒
移動的視窗──掃描統計與旁視效應
聖經密碼、蓋勒數11，以及圓周率的必然性
閃電、高爾夫和動物魔術
比你想得少
只要機會夠多……

6　先射箭再畫靶：選擇法則
胡桃、神射手和股市詐騙
贏得樂透：打破規則
趨均數回歸：別太在意排名
科學中的選擇性偏誤

7　失之毫釐，差之千里：機率槓桿法則
一切皆始於毫末
常態分布再探
錢錢錢
當常態不常態的時候
為何偏離常態？
突變、蝴蝶和宇宙的盡頭
哈帝的超感官知覺實驗
他殺還是猝死？──相依還是獨立事件，結果大不同
搞清楚是我的機率還是你的？
賭盤的誤差：「搶銀行」

8　放寬標準，巧合無所不在：夠近法則

9　機率與人類心靈的交會
機率是什麼？──連統計學家也會被騙
打開各種偏誤的後門：預測、模式和傾向
心理驚奇：謬誤與模式不斷輪迴
事後回顧永遠天衣無縫：後見之明

10　從機運的角度看生命、宇宙和萬物
生命與偶然：颶風掃過垃圾場，組出了一架波音七四七
小步前進和數十億年：演化就是不大可能法則在運作
人類和地球一點也不獨特？──哥白尼原則和平庸原理
微調與平衡：四種自然界的基本常數
宇宙差一點就不存在？──機率槓桿法則
我們的宇宙只是眾多宇宙之一：人擇原理與選擇法則
11　不大可能法則使用指南
莎士比亞十四行詩裡的祕密──可能性定律
福爾摩斯的機率名言──貝氏主義

結語　見識不大可能法則的威力

附錄一　懾人的大與驚人的小
附錄二　機率法則
註釋

前言　為什麼極不可能發生的事件不斷發生？

1　神祕事件的神祕起源
是不可思議的巧合，還是看不見的力量？
機率夠小的事件絕不會發生（就人類尺度而言）──波萊爾定律

2　如果球就這麼掉進了酒杯：面對無常的宇宙
為什麼是我？怎麼是這裡？
動物也會「迷信」？──似是而非的因果關係
預言家成功指南──模稜兩可、大量預測
再怪的事都可以用神來解釋—因果鏈斷裂，奇蹟登場
念力真有其事？──刊登偏差和選擇偏差
鳥聚集在亡者屋外？──同時性和形態共振
鐘錶宇宙的漏洞

3　不令人意外就不叫巧合：機運是什麼？
零和...