茶水間的數學：學校這樣教數學就好了，光靠...

名人推薦：洪萬生／前國立臺灣師範大學數學系教授
林福來／國立臺灣師範大學數學系講座教授
王嘉慶／北一女中數學老師，國際數學奧林匹亞競賽金牌獎得主

尼羅河不氾濫，就沒有幾何學

幾何學這門學問，到底源自於什麼時候、哪個國家、哪個人呢？基於人類的求知本能，每個人多少都會思考圓、直線、三角、四角等圖形，而幾何學也就是研究圖形的概念，因此可以說幾何學根本就是自從有人類以來，便存在的學問。
考古學者研究發現，早在五、六千年前的埃及和巴比倫，便已發展出高度的文明，有宏偉的宮殿、美麗的寺院、各種型態的陵墓、規畫整齊的廣大耕地等等，不難想像當時在埃及、巴比倫地區，是多麼精通幾何學。希臘歷史學家希羅多德（Herodotus）在其著作《歷史》一書中，描寫到：「埃及每次尼羅河氾濫，都會破壞耕地界線，因此經常需要測量土地，幾何學自然會成為發達的學科。」
幾何學的英文是geometry，geo在希臘文中是土地的意思，metry則是測量之意，因此合起來就是測量土地、「測地術」的意思。而漢字「幾何」一詞，最早是出現在中國徐光啟的著作中，幾何的中文發音和英文的「jio」、德文的「geo」發音相近，而且幾何的意思為多少，與物品的測量有關。
在前面提到的《萊因德紙草書》中，也記載了求耕地面積的方法、求兩點之間距離的方法，還有測量倉庫容納穀物的容積、圓的面積、圓周長、球體的體積等計算法。
然而，從古早文獻可知，在巴比倫，與幾何學相關的知識也是自古便十分發達，他們在這方面的研究不亞於希臘人。不過當時的巴比倫人十分迷信，認為天地變異的自然現象全都是神的旨意，因此惶惶終日，流行以各種方法占卜吉凶禍福，於是幾何圖形不只是用來實際測量，還運用於各種占卜中。
從這個區域的出土文物中，有些器物上畫有正方形、平行線、凹角等圖形，並刻上各種咒語，那些咒語中還出現蘇美語「tim」這個表示「繩」的字眼，有直線的意思，因此可以想像當時是以繩子為工具，測量兩點間的距離。
目前可以知道，埃及人及巴比倫人都只是基於生活上的需要或靈機一動，才零零星星的發現數學或圖形，後來希臘人將這些零星片段的知識整合成一門有系統的學問，建立了今日幾何學的基礎。其中有名的泰利斯（Thales of Miletus）、畢達哥拉斯（Pythagoras）、柏拉圖（Plato）、歐多克索斯（Eudoxus）、亞里斯多德（Aristotle）等大數學家輩出，前後經歷三百多年的時間，發展出十分精粹的幾何學。最後，由幾何學權威歐幾里得有系統的編纂《幾何原本》一書，奠定了後世幾何學的基礎。

希臘向埃及取經

西元前500～600年左右，埃及文明蓬勃的流傳至希臘，兩國在精神和物質方面都有頻繁的往來，希臘學者爭先恐後的前往埃及留學，其中有泰利斯、畢達哥拉斯、柏拉圖、德謨克利特（Democritus）、歐多克索斯等人，都直接向埃及學者取經，建立了希臘文化的基礎。
特別值得注意的是，源自埃及和巴比倫的幾何學，只不過是應實際需要，而自然產生的片段知識，還沒成為完整的學問體系。希臘人學會這些知識後，找出了與圖形的性質相關的普遍原理，成為現在幾何學的濫觴。哲學家泰利斯藉由測量金字塔的日影而計算出其高度，還發現如何計算海面上船隻與陸地之間的距離。
泰利斯據說也是以科學方式研究天文的先驅，在數學家卡約里的《初等數學史》一書中，有一段文字是這樣說的：

泰利斯最出名的一件事，就是預言了發生在西元前585年5月28日的日蝕，關於這件事有一則有趣的插曲……。
泰利斯正在專注觀測天體之際，一不小心跌落水溝。當時隨侍在旁的太太嚇了一跳後，笑著對他說：「你連自己的腳步都掌握不了，又怎麼能掌握天象呢？」

在這個時期，除了泰利斯之外，還有許多數學家形成愛奧尼亞學派、畢達哥拉斯學派、辯者學派等各種學派，各有各的獨特研究領域，在這些數學家當中，最後出現了史上第一位，將過去的幾何學有系統的整理出來的人──歐幾里得。

五千多年前建的金字塔，不只是國王的陵墓

埃及金字塔是人類的奇蹟、史上的壯觀工程。根據距今兩千年前埃及僧侶所記錄的手稿內容，上面記載金字塔是距離當時三千四百年前建立的。在距今五千多年前，竟能完成如此浩大的工程，著實令人驚嘆。
但是根據記載金字塔的書籍顯示，古夫金字塔的地下室，在北極星天龍座α 星通過子午線時，其光線剛好可以直射入地下室。金字塔地道的建築構造，不但顯示當時的埃及人不斷觀測此顆北極星的位置，還可窺見當時埃及人十分關注天文。
此外，這座大金字塔的方向不只是正對南北向，從金字塔相互的位置關係可以了解，他們已知32＋42＝52這種直角三角形的特性。到底古埃及人是用什麼工具測量、研究天體運行的呢？從當時的遺物可以推測，他們運用了水準器、日晷（以日光計算時間）、刻漏（在桶中注水，以水量計時）、瞄準器、渾天儀等各式工具。
而由於他們對測量及天文有如此濃厚之興趣，因此這座大金字塔不只是國王的陵墓，也兼具測量的基礎與天文臺的功能。以今日的精密機器實際測量，金字塔的設計十分精確，如此巨大金字塔的正方形底座，直角的角度誤差僅12吋（編按：現代建築中，即使我們日常居住的房屋，也從未見過正90度角的結構，轉角的地方差上一、兩度，是極為稀鬆平常的事，因為建蓋正直角的技術非常困難），而岩石的堆砌方式，使其水平誤差也在1/2吋以下，由此可知在五千多年前的人類，擁有非常卓越的頭腦。附帶一提，建造此座金字塔時，所用的測量尺全長為0.523公尺。
根據其他書籍記載，這座金字塔是在埃及第四王朝時建造的，後來的專家研究發現，金字塔的底座四邊準確的指向東南西北，斜面與底面所成的四個角都是52度，埃及人將守護星──天狼星在日出前升起的那一天，視為埃及的元旦，此星通過子午線時，與大金字塔成直角，貫穿通風口，光線呈一直線射入王室。
總之，在人類智慧未開的五千多年前，就能以如此精確的科學設計建造出這麼偉大的工程，真是人類史上的奇蹟。

中期的日本和算──喜歡留下題目，等別人來挑戰
《塵劫記》是日本和算史上的代表名著，作者是吉田光由。毛利重能門下有三名高徒，包括今村知商、高原吉種以及吉田光由。吉田光由的外祖父角倉了以，因御朱印船（編按：御朱印船指的是，得到幕府許可的海外貿易許可證，可以進行貿易的商船。日本當時處於鎖國時代，角倉了以得到海外貿易許可後，前往越南等地交易，次數高達17次，對當時的經濟很有貢獻）和治水工程，而在日本史上名垂青史。慶長3年（1598年），吉田光由生於京都的嵯峨，跟隨毛利重能學習數學，藉著《算法統宗》、《算學啟蒙》等書研究中國算學，融會貫通後參考了當時的日本國情，編著了珍貴且有助於日常生活計算的算術書，於寬永3年（1627年）出版，這本書就是《塵劫記》。

遺題繼承──等你來挑戰
《塵劫記》多年後的版本中，出現稱為「遺題」的問題，這種問題是不公布解答，只單純提出問題，要求後世的學者解出答案。
之後，這種問題在學者之間蔚為一股風潮，解出前一本書的「遺題」的人，要再提出新問題給下一個人解，這稱為「遺題繼承（或承繼）」。
解出《塵劫記》遺題的名著中，有一本名為《改算記》（萬治2年，1659年）的書，此書為山田正重所著，共有上、中、下3卷。還有磯村吉德著有《算法闕疑抄》5卷，於寬文元年（1661年）出版，承應2年（1653年）榎並和澄也解出遺題，出版了《參兩錄》上、中、下3卷。
這股遺題的風潮引起當時數學家們的興趣，鼓勵了他們的研究精神，一直持續到德川末期；這股風潮刺激了和算的發展與進步。

算額──告訴大家這題我解出來了
江戶時代的日本數學，有兩個西方沒有的獨特習慣，其一是先前提到的遺題繼承，另一個是算額（算術匾額）。算額是數學家為了將自己解出的有趣問題流傳後世，或是為了讓世人了解，將問題寫在酬神木板上，放在許多人聚集的寺廟或神社。江戶時代沒有收音機、電視、報紙、雜誌，交通也不便，訊息很難廣為傳播，因此算額當然是最好的傳播方式了。當時的數學家競相藉著遺題繼承和算額發表自己的研究，這對和算的發展確實功不可沒。但明治維新後不少有名的算額被粗心的人毀損丟棄，真的很可惜。

數學靈光，行遍天下

Q. 這麼多鮪魚要幾天才吃完？
漁船上有10名漁夫，10天吃完10條鮪魚，以此推算80名漁夫要花幾天才能吃完80條鮪魚？

解答：
1人還是吃1條，因此天數並沒改變，答案是10天。

Q. 抓偽幣的最快方法
有9個形狀大小完全相同的100元硬幣，但其中有1個是偽幣，重量較輕。現在要用沒有砝碼的天平，秤2次以挑出偽幣，請問該如何做？

解答：
首先將9個硬幣每3個一組，分為A組、B組、C組，將A組及B組放在天平上秤，若兩方等重的話，偽幣就在C組裡。若兩方重量不相等，偽幣就在A組或B組較輕的一方，如此便可找出包含偽幣的一組。
接著在3個錢幣中任意挑2個放到天平上秤，若2個等重的話，剩下的1個錢幣就是偽幣，若2個錢幣重量不相等的話，其中較輕的一枚即為偽幣。

尼羅河不氾濫，就沒有幾何學

幾何學這門學問，到底源自於什麼時候、哪個國家、哪個人呢？基於人類的求知本能，每個人多少都會思考圓、直線、三角、四角等圖形，而幾何學也就是研究圖形的概念，因此可以說幾何學根本就是自從有人類以來，便存在的學問。
考古學者研究發現，早在五、六千年前的埃及和巴比倫，便已發展出高度的文明，有宏偉的宮殿、美麗的寺院、各種型態的陵墓、規畫整齊的廣大耕地等等，不難想像當時在埃及、巴比倫地區，是多麼精通幾何學。希臘歷史學家希羅多德（Herodotus）在其著作《歷史》一書中，描寫到：「埃及每次...

推薦序
輕鬆閱讀數學、談數學，增長聰明

前國立臺灣師範大學數學系教授／洪萬生

本書作者只有八年的尋常高等小學的學歷，但是，他完全仰賴自修，而成為「小學畢業的數學大師」。平心而論，他基於極為有限的數學經驗，力爭上游，而成為頗有見地的多部數學書籍（主要是辭典）之編著者，對於數學教育來說，他的貢獻的確令人難以望其項背。尤其，渡邊純三教授特別指出：「在辭典內容的統一性及作者的見解上，笹部貞市郎獨自完成的《問題解析法辭典》，與一般的數學辭典有著不同的意義。」因為作者將各種數學問題分類，再匯集各方理論編著而成。
他的著述成就正好也充分說明，數學是可以憑著天賦才氣，而自修成材的一門學問。不過，他所以能夠成功，也可能基於如下兩個因素。首先，日本和算遺產如「遺題繼承」及「算額奉納」的唾手可得，因為即使是鄉間神社的奉納算額，也不乏頗有深度的數學問題。其次，這種深厚的數學文化之薰陶，再加上明治以來「求新知於全世界」之號召，激勵有志之士的探索精神與毅力。另一方面，作者的書寫延續了十八世紀以來的數學普及風潮，同時也呼應了町人主導的（大眾）文化走向。
因此，從數學普及乃至於人生勵志的關懷面向來看，本書的確充分見證了作者的苦學與成長背景。例如，第五章〈隨想錄：你需要怎樣的心理素質？〉就道盡了作者自己及他人的成長奮鬥故事，與讀者分享他豐富的人生經驗。
這種勵志的書寫，正是本書的主要特色。他所述說的感人故事，當然也包括數學家在內。事實上，本書前言標題就是「想對數學感興趣？先從數學史開始吧」。作者指出：「近年來，有不少教育界人士主張，必須在數學教育中加入更多數學的故事——也就是數學史，正是為了要誘發學生學習數學的興趣。」
本書數學史的材料，大都是作者因應自己的教學需要，蒐集並整理出版而成。第一章內容包括古埃及、巴比倫、阿基米德（及和算家）有關圓周率的研究、丟番圖乃至於印度與阿拉伯人的貢獻。第二章簡要介紹和算傳統與成就，尤其是關孝和的傑出貢獻。在第三章〈數學史：許多人變聰明的故事〉中，作者收錄數學（家）的遺文軼事，藉以引發我們的好奇心。至於第四章，則是〈數學靈光，行遍天下〉，作者彙編從古到今的數學益智遊戲題目，也分享他的相關評論，相當值得我們欣賞。
總之，由於這些故事內容強調茶水間的「休閒」，又由於其中問題及其求解，乃至於數學敘事，都充分反映作者的現身說法，所以，我們都能以輕鬆的心情閱讀、談論以增長聰明。換言之，作者希望在本書所分享的，不只是解題經驗而已，還包括更有意義的數學史洞識。

推薦序
輕鬆閱讀數學、談數學，增長聰明

前國立臺灣師範大學數學系教授／洪萬生

本書作者只有八年的尋常高等小學的學歷，但是，他完全仰賴自修，而成為「小學畢業的數學大師」。平心而論，他基於極為有限的數學經驗，力爭上游，而成為頗有見地的多部數學書籍（主要是辭典）之編著者，對於數學教育來說，他的貢獻的確令人難以望其項背。尤其，渡邊純三教授特別指出：「在辭典內容的統一性及作者的見解上，笹部貞市郎獨自完成的《問題解析法辭典》，與一般的數學辭典有著不同的意義。」因為作者將各種數學問題分類，再匯集各方理論編著...

想對數學感興趣？先從數學史開始吧
在日本的德川時代（江戶時代，1603～1868），武士手拿算盤是無上的羞恥，反倒是對數學一無所知，更能突顯武士的地位崇高，值得向人稱耀。即使是現代，一提到數學，還是讓許多人立即聯想到棘手的sin、cos、 、 等數學算式，在心底築起一道牆，對數學退避三舍。
在國中、高中的課堂上，一個班級中總有幾個數學不靈光、或老是蹺數學課的學生，但是老師並不會因此而放棄教導這些學生。他們總會設法找出適當的機會，以活潑有趣的角度介紹數學史，內容包括埃及金字塔的數學問題、受婆羅門祭禮影響而發展出來的印度數學、發現畢達哥拉斯定理的由來、牛頓少年時期的軼事等話題，以引導的方式讓那些對數學不感興趣的學生也能專心聽講。
這種啟發性的教學方式，直接或間接的成了讓學生對數學感興趣的契機。近年來，有不少教育界人士主張，必須在數學教育中加入更多數學的故事——也就是數學史，正是為了要誘發學生學習數學的興趣。
我從大正時期到現在，長年以來服務於教育界，深深的體會到在平常的教學中加入數學史的重要性，也因教學的需要，蒐集了許多數學史的相關資料。其中的部分資料刊載於我所著的《應試數學》雜誌中，但是因為近年來受限於篇幅，無法持續刊載數學史相關的文章。有不少讀者向我表達遺憾：「沒辦法繼續刊載嗎？」因此，這次以單行本的形式，將數學史收錄於《茶水間的數學》這本書中。
從書名就能看出，這本數學書籍希望能讓讀者在公司茶水間、私人閒暇時都能以輕鬆的心情閱讀、談論以增長聰明，跟「探究數學史」或「數學史之相關研究」之類艱深難解的數學史書籍不同，只單純收錄一些數學史上的故事編輯成冊。雖是比較不生硬、艱難的數學書籍，但本書中提到的史實相關內容，都是經過考據求證，將典籍史料忠實呈現給讀者。
本書內容大致是這樣編排的：第一章述說從遠古時期至現代數學的演進，第二章提到中國數學以及日本特有的日式算術。日本人總覺得，自己在數學方面的認知能力先天不足，因而感到自卑。大多數人認為，日式算術（和算）只不過是以算盤做加法計算，但是從江戶時代的關流數學（以關孝和為首的日式算術學派）開始，許多學派均在數學研究上有驚人的成就，陸續出現幾位大數學家。為了要讓世人知道祖先的數學才能並不輸給其他國家，特別編輯了一個章節來介紹日本的算術。第三章收錄了數學相關的趣文軼事。第四章收錄了從古代流傳至今的數學益智遊戲。
並非在此誇才賣智，不只是在學學生可以當作課外讀物，國中、高中的理科數學教師若能撥冗閱讀拙著，更是我無上的榮幸，敬請不吝給予批評指教。平日與數學無緣的一般讀者，若能在茶餘飯後閱讀本書，從本書得到啟發，相信在教導子女學習上必見成效。
最後第五章收錄在下所編的《應試數學》及《高中數學》雜誌之前言部分，這只不過是將當時所見所聞隨筆記錄下的小文章。
謹請批評指正為荷。

想對數學感興趣？先從數學史開始吧
在日本的德川時代（江戶時代，1603～1868），武士手拿算盤是無上的羞恥，反倒是對數學一無所知，更能突顯武士的地位崇高，值得向人稱耀。即使是現代，一提到數學，還是讓許多人立即聯想到棘手的sin、cos、 、 等數學算式，在心底築起一道牆，對數學退避三舍。
在國中、高中的課堂上，一個班級中總有幾個數學不靈光、或老是蹺數學課的學生，但是老師並不會因此而放棄教導這些學生。他們總會設法找出適當的機會，以活潑有趣的角度介紹數學史，內容包括埃及金字塔的數學問題、受婆羅門祭禮影響而發展出來的...

推薦序　輕鬆閱讀數學、談數學，增長聰明／洪萬生
增訂版序　小學畢業的數學大師
前言　想對數學感興趣？先從數學史開始吧
第一章　數學——因需要而發現
1. 數學的起源，從數手指、腳趾開始
2. 阿拉伯數字差點叫「羅馬數字」，幸好羅馬人不愛數學
3. 由象形文字演變而來——埃及
4. 要了解數學，得先看懂楔形文字——巴比倫
5. 尼羅河不氾濫，就沒有幾何學
6. 圓周率到底是多少？東西方數學家都想搞懂
7. 大家都在研究幾何學，代數呢？
8. 印度數學知道有負數，代數才有重大發展
9. 有阿拉伯人的通商往來，數學才能廣泛流傳
10. 為什麼我們需要對數？因為可以省麻煩
11. 數學再爛，也懂九九乘法和加減乘除，誰發明的？
12. 討厭數學？東羅馬帝國的皇帝也是
第二章　日本的和算，可不只是教你怎麼用算盤
1. 日本的數學源自中國，中國發展數學是為了蓋長城
2. 日本和算用算盤，因為不會用數字筆算
3. 中期的日本和算——喜歡留下題目，等別人來挑戰
4. 「算聖」關孝和，其實是祕密組織的成員
5. 自闢蹊徑的後期和算——靠獄卒發揚光大
6. 其實，和算難在文字，而不是數字
第三章　數學史：許多人變聰明的故事
1. 人們怎麼開始計算時間的？
2. 手指不只能算加、減法，還可以算乘、除
3. 數學快問快答，想答對得多思考
4. 必定會狂風暴雨的二百十日，誰發現的？
5. 百五減算——資優生都可能上當的陷阱題
第四章　數學靈光、行遍天下
Q1 你很懂加法嗎？　
Q2 這麼多鮪魚要幾天才吃完？　
Q3 九個圓、四條線，一口氣串起來　
Q4 又來了，火柴棒問題　
Q5 烏鴉與松樹　
Q6 調換杯子　
Q7 降成本不降品質的Spa護膚店　
Q8 最笨也最快的方法，別想太多　
Q9 3里路、2匹馬，誰也不想吃虧　
Q10 三人分三鳥，一人一隻，為何籠裡還剩一隻？　
Q11 為什麼不能只學建構式數學？
Q12 土地分割，別吃虧
Q13 請慢郎中趕工的說法
Q14 水與冰　
Q15 懶人撿球，該怎麼走？　
Q16 排列與組合的入門題目
Q17 快問快答，你有數字概念嗎？　
Q18 折鐵絲　
Q19 不說考幾分，我也知道你名次
Q20 抓偽幣的最快方法　
Q21 損益計算，你真懂生意嗎？　
Q22 算細胞分裂，誰最聰明？　
Q23 熟練乘法，能提升洞察力　
Q24 不用斷電，也知道電扶梯多少階
Q25 老農夫分豬
Q26 菊花臺的必勝戰法　
Q27 α + β + γ　
Q28 這才是推理：帽子的顏色
Q29 收了假鈔的老闆，賠多少錢？　
Q30 你到底怎麼偷喝葡萄酒的？
解答
第五章　隨想錄：你需要怎樣的心理素質？
1. 從落榜到上榜，靠的是善用零碎時間
2. 單槍匹馬反而最有力量
3. 怎麼打敗強大的拿破崙？靠以退為進！
4. 賣水賣糞成就大事業
5. 人前的天才靠的是人後的努力
6. 英年早逝，卻因他而有數學領域的諾貝爾獎
7. 14歲前連名字都不會寫的數學家
8. 苦中作樂，才是真快樂
9. 火車上的陌生人，啟發了我的人生
10. 今後就拭目以待吧
11. 順應潮流，但要走在潮流前面一點點
12. 你覺得自己聰明嗎？
13. 太陽每一天都是新的，別惦記昨天的夕陽
14. 幸福就在每一天的全力以赴中
15. 鬥志，是堅持努力的態度
16. 源頭決定結局
17. 我還擁有一隻腳
18. 教育是因材施教，不是把鐵變黃金
19. 閱讀的目的不只是看書，還在於思考
20. 別怪社會無良，它本來就如此
21. 小學畢業當數學老師，一切都靠自己學

推薦序　輕鬆閱讀數學、談數學，增長聰明／洪萬生
增訂版序　小學畢業的數學大師
前言　想對數學感興趣？先從數學史開始吧
第一章　數學——因需要而發現
1. 數學的起源，從數手指、腳趾開始
2. 阿拉伯數字差點叫「羅馬數字」，幸好羅馬人不愛數學
3. 由象形文字演變而來——埃及
4. 要了解數學，得先看懂楔形文字——巴比倫
5. 尼羅河不氾濫，就沒有幾何學
6. 圓周率到底是多少？東西方數學家都想搞懂
7. 大家都在研究幾何學，代數呢？
8. 印度數學知道有負數，代數才有重大發展
9. 有阿拉伯人的通商往來，數學才能廣泛流傳
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