第6章 事情不一定是這樣的
不曉得招誰惹誰了，數學這領域居然匯集了很多錯誤的迷思和傳聞。這可能有兩個原因：首先，每個人幾乎每天都必須和一點點數學接觸；其次，大部分數學已經脫離我們的日常生活，停留在特殊符號與不可思議的領域之中。我們對一件事瞭解得愈少，就愈不容易發掘真相；特別是當我們對某件事的信仰基礎薄弱時，往往更加堅持己見，好像我們愈相信它，它就愈會是真的。
這一章將要來挖掘一些這類的數學迷思和誤傳，探討真相。
數學才能與遺傳基因有關？
「數學才能與基因有關」這個想法風行全世界，尤其在美國最流行。我從未看到任何事證支持這個想法。至於為什麼有些人數學學得比別人好，我反而可以提出一些解釋：因為他們有效率地運用時間，進行有組織的學習。一個正常的人若關掉電視，多注意課業細節並持之以恆，一定能學好數學。
我說的數學是指現存的這一類數學，而不是創造新數學。我之所以會有上述的結論，是因為我教過數千名大學生，並在各級學校長期擔任導師。每個人的身高、體重、髮色、種族、性別或國籍，都和學數學無關。這項觀察從幼稚園到博士生一律適用，甚至還可以延伸到踏入社會以後。
當然，有些數學家的小孩長大後也成為數學家，但這和所謂的遺傳基因無關。有些馬戲團的特技演員，兒子長大後也成為特技演員，可沒有人認為有什麼特技演員的遺傳基因。
數學裡沒什麼新鮮事，全是一些死東西？
很多人認為，所有的數學在幾世紀之前已經創造出來，並發揚光大了，現在學校裡教的只是這些老東西。 整數的十進制系統大約是西元600年由印度數學家發明的，1202年才由義大利數學家費布納西（Leonardo Fibonacci, 1170-1250）引入歐洲。至於我們現在用的十進制數字，即0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9這些符號，則是阿拉伯數學家在西元1000年左右發明的，大約在1600年傳入歐洲。
幾乎所有高中的幾何學，都出現在西元前300年左右、歐幾里得（Euclid, 約西元前330-260）所寫的書裡。而三角學大約是一千八百年前，由希臘的天文學家發展出來的。 負數與使用英文字母代表數字，則應回溯到十七世紀。甚至使用前面幾個英文字母a、b、c代表已知常數，而使用末幾個英文字母x、y、z代表未知數，大約也可以回溯到這麼久遠。
學生看到的絕大部分數學，從幼稚園的算術到高中以上的微積分，都是三百年以上的古董。但這並不意味它們已經陳舊無用了。相反的，它們都是進入數學殿堂的大門。教導或學習這些即使已發明了六百年的數學，沒什麼不妥，它仍然是大多數人需要的數學。我們常用的某些英文字是直接由拉丁文引用來的，例如item（項目）、exit（出口）、agenda（議程）、credit（信用），使用這些產生在二千年前的字，並沒有讓我們覺得有什麼不妥呀！
頂著桂冠的數學儘管歷史悠久，從文藝復興以來卻未曾間斷發展，迄今仍在持續成長中。事實上，目前仍算是數學的黃金歲月。為了讓大家瞭解數學研究的活力，我要引用幾個數字。每個月在學術期刊《數學評論》（Mathematical Reviews）上，大約有600頁的論文，而這些只是最新的純數學與應用數學研究論文的摘要而已。在一年裡，約有50,000件數學研究工作在默默進行。
雖然這些研究成果大部分都是短暫的，很少成為數學的永久部分，但有一定比例的研究工作會持續下去。要預測這些新研究有哪些會延續下來，哪些會消失無蹤，是不可能的。但有時候，以無比的睿智解決了一道有名的難題，或者重建了重要領域的基礎，或是在數學領域之外找到很有價值的應用，這些成就都不會很快被遺忘。還有些研究起初沒引起多大興趣，忽然成為新發現的基礎，立刻會鹹魚翻身變成大熱門。
數學家在30歲以後就走下坡了？
很多人認為數學家最重大的成就大多是在30歲以前完成的，過了30歲就開始走下坡了。這個迷思部分是來自兩個大數學家非常短命的印象，即挪威的埃布爾（Niels Abel, 1802-1829）和法國的伽洛瓦（Evarsite Golois, 1811-1832）。他們雖然都英年早逝，但兩人對數學的貢獻卻非常大。伽洛瓦可以說一手建立了現代的代數。
或許是受到這兩位數學家的影響，哈地（G. H. Hardy, 1877-1947）在《一個數學家的辯白》書中寫道：「數學家絕對不要忘記，比起其他的科學學門而言，數學是一種年輕人的事業。」 數學就像音樂、棋藝、網球、花式溜冰、游泳和體操一樣，青少年就可以做得很好。碰到15歲的數學天才，就像碰到14歲的網球好手或16歲的奧運體操選手一樣，不會有什麼不同的特殊印象。
法國作曲家比才（Bizet）在17歲時就完成他的Ｃ大調交響曲，德國作曲家孟德爾頌18歲就寫出「仲夏夜之夢序曲」，都不會令我特別驚異。這些成就依賴優異的天賦、熱情參與以及努力，但不需要對人生與人性有廣闊、深刻的認識。但若一個青少年能寫出深奧的戲劇或長篇小說，人物個性刻劃得非常深刻成熟，我就會覺得非常驚奇。因為創作出這樣的作品，對人性必須有很深的識見，而這只能靠許多年生活經驗的累積。
一個小孩是否有這種領先發揮才能的機會，通常是環境問題。舉例來說，埃布爾在15歲的時候，原先很粗暴的老師被換掉了，新老師是很有啟發性的數學家，悉心指導他閱讀數學書籍。沒有這種轉變，我懷疑數學史上可能不會有埃布爾這號人物。法國數學家貝特朗（Joseph Bertrand, 1822-1900）11歲就進了有名的綜合工科大學。這已經令人印象深刻了，如果你知道他的指導者是法國著名數學家杜亞美（J.C.M. Duhamel, 1797-1872），也是他的連襟，就會恍然大悟了。
此外，就算超過30歲，創造數學的才能也不一定會退化，例如： 懷爾斯（Andrew Wiles）在1994年、41歲的時候，經過了八年的努力，終於解決一道有三百年歷史的數學難題「費馬大定理」。 1976年，黑肯（Wolfgang Haken）48歲，阿培爾（Kenneth Appel）46歲，兩人合力解決了「四色問題」，這個問題自從1852年提出，百年來無人能證明。而這兩人證明了任何畫在紙上的地圖，若兩個靠在一起的國家要用不同顏色標示出來，最多只需要四種顏色就夠了。
1983年，德布蘭吉斯（Louis de Branges）52歲，證實了比伯巴哈（Bieberbach）在複數分析上的一項推測，這是1916年提出的問題。很多數學家都用錯方法證明這項推測，因此有個笑話流傳說：「比伯巴哈的推測不難證明，我自己就證過它十幾次了。」 很多數學家到了70歲甚至更老，還繼續做出第一流的工作。蓋爾范德（I. M. Gelfand, 1913-）是俄國數學家，一直到80餘歲還有很重要的貢獻。他很像義大利作曲家威爾第，在79歲時還創作出歌劇「福斯塔夫」，一般人認為這是他最好的作品。
身體健康、家庭幸福、儘量避免繁重的行政工作，可能是數學長期創造力的關鍵要素。我把「數學家一生中到底哪一段是最佳歲月？」以及「為什麼有些數學家終生都能維持創造力？」這兩個問題，留給歷史學家和心理學家去研究。
愛因斯坦小時候算術很差？
有人認為愛因斯坦是數學家，但其實他並不是。愛因斯坦並沒有創造出任何數學，只不過把既存的數學應用到物理宇宙而已。說他是「理論物理學家」或是「數學物理學家」更正確一些。 他算術很差嗎？不見得。相反的，他的算術其實很不錯。傳說他算術不好，其實是來自學校計分方式的改變。當他還是學生的時候，他們學校改變了以往的計分方法，因此原來還不錯的成績變得不太好。任何人如果只看愛因斯坦的成績單，而不瞭解這種計分法的改變，會認為他忽然之間喪失了數學能力。
沒有諾貝爾數學獎，是因為某個數學家和諾貝爾夫人有染？
傳說數學家米塔格累夫勒（Gosta Mittag-Leffler, 1846-1927）和諾貝爾的妻子有染，而他原本是諾貝爾數學獎的候選人。這個傳說投合了數學家的自尊（因為這麼重要的一門科學居然沒有諾貝爾獎來肯定），但有一點破綻，就是諾貝爾沒有結婚，當然他也沒有妻子。
換句話說，諾貝爾終身保持獨身。這就是此傳聞的真相。
可能是有個人開玩笑地講了個笑話，以後就傳開了。其實沒有證據顯示諾貝爾討厭米塔格累夫勒。 若因我揭露這些傳說的真相，而剝奪掉任何一位讀者對它們的喜愛，我深致歉意。我相信歷史事實很清楚地擺在那裡。 仔細閱讀歷史文件，包括當時的信件、日記等資料，是一種享受。在閱讀的時候，我覺得自己和過去的事實非常接近，沒有人梗在中間，就像我在處理數學的事件與原理一樣。
我想這就是為什麼有人會蒐集舊報紙，重演林肯和道格拉斯的辯論、或美國南北戰爭中的蓋茨堡（Gettysburg）戰役，觸摸投擲原子彈於廣島的那架轟炸機，或珍愛由柏林圍牆拆下的一塊水泥塊。他們想要繞過那些梗在他們與歷史之間的「一層又一層的歷史學家」。
想想看，我喜歡數學的原因，就和我喜歡自己直接探索歷史一樣。當一個定理寫在我書桌上的一張紙上時，它和我之間沒有任何阻隔。我們直接面對面接觸，沒有任何偽造的傳說跑出來，然後一直流傳下去。我看到的就是眼前的東西。在今天的社會裡，似乎任何事情都裹著一層外衣，與數學真實相待的經驗是非常稀有的。
摘自《幹嘛學數學？》第6章
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