幫孩子找到自信的成長型數學思維（增訂版）...

〈CHAPTER 1 大腦與數學學習〉

過去十年我們看到許多技術出現，讓研究人員有新的機會探索心智與大腦的運作。現在科學家可以在兒童和成年人做數學的時候進行研究，監測腦部的活動；他們可以觀察大腦的發育和退化，以及看到不同的情緒及狀況對大腦活動的影響。近年來出現了一個涉及「大腦可塑性」的領域，讓科學家很驚訝。過去我們認為，與生俱來的大腦是無法改變的，不過這個看法現在已經徹底證明是錯的。一項又一項的研究已經顯示，大腦有不可思議的能力，能夠在極短的時間裡發展與轉變（Abiola & Dhindsa, 2011; Maguire, Woollett, & Spiers, 2006; Woollett & Maguire, 2011）。

當我們學習新概念時，有三種可能性會出現（見圖1.1）：第一種是大腦內會出現一條新的路徑，學習得越深入，這條路徑就越強；第二種可能是你會強化一條已經存在的路徑；最後一種可能則是你會將兩條現有的路徑連結在一起。這種大腦發展時時刻刻都在執行，而這些被建立、強化或連結在一起的路徑，都不是與生俱來的，而是由你的學習經驗創造。

我希望所有學生都能了解：當你在教他們數學，你也是在改變他們的大腦！神經科學家諾曼．多吉（Norman Doidge, 2007）喜歡和他的聽眾分享這件事：每天醒來時，你的大腦都與前一天不一樣——這是每天發生的大腦生長和變化程度。如果深入學習某件事情，就會形成可重新探究並使用的永久大腦路徑，但如果某個想法你只探究一次，或以粗淺的方式探究，那條路徑可能就會像沙地上的足跡般「消散掉」。這些大腦連結在學習發生時形成，但學習也不僅僅發生在課堂上或閱讀時；我們都知道，在進行交談、玩遊戲或玩具，以及在許多其他經歷的過程中，我們都在形成大腦連結。

針對倫敦黑色計程車司機腦部發展的研究結果震驚了科學界，而這是第一份對於神經可塑性（neuroplasticity）的研究。我是英國人，在倫敦搭過很多次計程車，還記得小時候興奮地跟家人坐幾小時的車到倫敦一日遊，這些都是美好的回憶。成年之後，我在倫敦大學國王學院讀書、工作，於是有更多機會搭計程車在倫敦到處跑。倫敦地區有幾種計程車在營運，但在倫敦最常見的就是黑色計程車（稱為Black Cab，見圖1.2）。

我在倫敦搭黑色計程車穿街走巷的大部分歲月裡，我並不曉得那些司機多麼駕輕就熟。原來，要在倫敦開黑色計程車，申請人必須先受訓至少四年，記住查令十字街（Charing Cross）方圓二十五英里內的兩萬五千條街道和兩萬個地標。在倫敦市要學會認路，比起大部分的美國城市更具挑戰性，因為倫敦的格局不是棋盤式的，而是成千上萬交織、相互連通的街道（見圖1.3）。

受訓結束時， 這些黑色計程車司機需要接受檢定， 這項檢定就簡單又直接地稱為「知識大全」（The Knowledge）。如果你坐在倫敦黑色計程車上，跟司機問起「知識大全」，他們通常會很樂意告訴你這個檢定多麼難考，並跟你分享他們受訓期間的故事。「知識大全」是全世界公認要求最嚴格的課程之一，申請人平均要考十二次才有辦法通過檢定。

在二十一世紀初，科學家決定研究倫敦黑色計程車司機，想找尋多年下來複雜空間訓練對這些司機腦部造成的改變，但那些科學家沒料到結果竟然這麼驚人。研究人員發現，計程車司機腦部的海馬迴在受訓結束時明顯增大（Maguire et al., 2006; Woollett & Maguire, 2011）；而海馬迴（hippocampus）是腦中負責取得並使用空間資訊的區域（見圖1.4）。

科學家也做了其他的研究，把黑色計程車司機的腦部生長和倫敦公車司機的腦部生長進行一番比較。比起計程車司機，公車司機只要熟記單一的路線，這些研究結果也顯示，他們的海馬迴沒有類似的增長（Maguire et al., 2006）。這就證實了科學家所做的結論：黑色計程車司機的腦部有驚人增長，是因為他們接受格外複雜的訓練。科學家在進一步的研究中更發現，黑色計程車司機退休後，他們的海馬迴又會縮小下來（Woollett & Maguire, 2011），但這不是因為年紀增長，而是缺乏使用這些路徑。

現在已經有很多針對黑色計程車司機所做的研究（Maguire et al. , 2006; Woollett & Maguire, 2011），都顯示出大腦有一定程度的適應性或可塑性，這讓科學家很吃驚。他們先前並沒想過居然會測出這麼大幅度的腦部生長，這也使得科學界對於「學習」、「能力」以及「大腦是否有可能改變與成長」的想法有所轉變。就在黑色計程車司機研究出現的同時發生了另一件驚動科學界的大事。九歲女孩卡麥蓉．莫特（Cameron Mott）患有嚴重的癲癇，很多醫生都束手無策。她的內科醫生喬治．傑羅醫師（Dr. George Jello），提議採取根本而又極端的療法：切除她的左半腦。這是項革命性的手——幸好最後也成功了。卡麥蓉在手術後幾天癱瘓，醫生們都推測她會有幾年的時間處於肢體障礙，因為左半腦掌管的是肢體動作，但幾個月之後，她的肢體及動作的恢復狀況讓醫生目瞪口呆，而這只說明了一件事——她的右半腦發展出執行左半腦功能所需的連結。這些醫生都認為這是大腦不可思議的可塑性所致，他們只能推斷，卡麥蓉的腦實際上是「重新長出來的」，新腦生長得比醫生們想像的還要快（https://www.today.com/health/meet-girl-half-brain-1C9402834）。

這項手術現已在許多人身上進行過了。克莉絲汀娜．桑豪斯（Christina Santhouse）八歲時就動過這個手術，切除了半個腦。克莉絲汀娜後來獲得許多矚目的成就，包括高中時進入榮譽榜、拿到碩士學位及成為語言治療師。關於腦可以增長、適應、變化的一些新發現，讓科學界大為震驚，也促使科學家紛紛利用不斷發展出來的新技術與腦部掃描設備，重新研究人腦與學習。其中有一項研究由美國國家心理衛生研究院（NIMH）的研究人員進行，他們讓受試者每天進行十分鐘的訓練，持續三週，然後把受試者的大腦和對照組進行比較。結果顯示，每天訓練幾分鐘的人的大腦發生了結構性的變化。總共十五個工作天、每天進行十分鐘的心智任務，這些參與者的大腦呈現出「重新布線」（rewired）和增長的反應（Karni et al., 1998）。

在另一項關於數學學習的研究中，泰瑞莎．尤庫蘭諾（Teresa Iuculano）和她在史丹佛大學醫學院的同事發現了極重要的資訊。他們把兩組學生帶到實驗室，其中一組在學校診斷出有數學學習障礙，另一組是有「正常」表現的學生。他們透過磁振造影（MRI）掃描，觀察兩組學生做數學題時的腦部變化，結果發現了十分有趣的差異——診斷出有學習障礙的學生在做數學題時，有更多的腦區亮起來。這對許多人來說是違反直覺的，因為他們會認為有學習障礙的學生腦部活動較少，而不是更加活躍。這些研究人員指出，成就未必來自更加活躍的腦部活動，反而集中在特定腦區的活動。接下來的研究變得更加有意思。他們讓兩組學生接受為期八星期的一對一輔導，在八週結束時，兩組學生不但有同樣的成績，而且活化的腦區完全相同（Iuculano et al., 2015）。

以上和更多研究的結果或許能促使教育工作者揚棄那些仍然充斥在校園裡、既傳統又根深柢固的想法：認為孩子不是聰明就是笨；不是學得快就是學得慢。如果大腦能夠在八個星期內就產生顯著改變，而且（持續）給予學生有趣的任務，讓他們接收到對自己潛能的肯定，那麼上了一年的數學課會發生什麼變化也就可想而知了。在第5 章將會解釋哪種本質的數學課堂活動最能幫助學生感受到這樣的改變。

來自大腦研究的新證據告訴我們，只要教學和傳遞的訊息是恰當的，人人都能學好數學，都能在學校獲得最好的成績。雖然有一些孩子情況特別，有特殊的教育需求，會增加數學學習的難度，但對於絕大多數（大約95％）的孩童來說，任何程度的學校數學都在能力範圍內。不僅如此，在經診斷在學習上有特殊需求的孩子身上，大腦增長變化的潛力也同樣強大（另見Boaler & LaMar, 2019）。發生在澳洲的一件好事清楚說明了這一點。尼可拉斯．萊奇福德（Nicholas Letchford）在成長過程中，被診斷出「患有學習障礙」，在上學的第一年，他的父母得知他「智商非常低」，老師還告訴他們：「他是他們教書二十年來見過程度最差的孩子。」尼可拉斯覺得很難專心、了解東西之間的關係、認字或寫字，但尼可拉斯的母親蘿依（Lois）拒絕接受貼在她兒子身上的標籤，她陪在尼可拉斯身邊，教他怎麼專心、了解關係、認字和寫字。二○一八年，尼可拉斯從牛津大學畢業，拿到了應用數學博士學位——這是可能達到的最高成就（Letchford, 2018）。

家長和老師必須從神經科學和人的紀錄中獲知這些資訊。我在工作坊和演講中與老師們分享這兩種證據時，大多數人都受到鼓舞和啟發，但還有少數持保留態度。最近我和一群老師交換意見，有一位高中數學老師顯然深受這個想法所困擾。他說：「你該不會是要告訴我，我學校裡的任何一個六年級學生升上十二年級時都可以修微積分吧？」當我說出「這正是我要說的意思」，可以看出對方真的受這個想法困擾——然而他沒有完全排斥這個想法，這點值得讚許。無論什麼人都能學習高階數學，是某些老師覺得難以接受的想法，特別是他們已經花了很多年來判定誰可以、誰不可以學數學，且採取了相對的教學方式的話。當然，六年級學生打從出生以來就已有許多經歷，接收過許多訊息，會阻礙他們當中一些人的發展，甚至有些學生升上六年級時具備的數學知識，可能比其他人少很多，但這不代表他們不能急起直追，達到最高的程度——如果受到所有學童應有的高品質教學與支持，他們就能做到。

經常有人問我，我是否認為每個人的腦袋生來都是一樣的。並不是。我的意思是，孩子一生經歷的大腦增長經驗，遠比任何先天的大腦差異來得重要。一般人都認定，我們生來的模樣決定了我們的潛能；他們會舉公認為天才的名人當作例子，譬如愛因斯坦或貝多芬。然而現在科學家知道，我們出生後的學習經歷會蓋過出生時存在於大腦的任何差異（Wexler in Thompson, 2014）。大腦每分每秒都在創造、強化和相互連結其路徑，只要給予學生激勵的訊息和豐富的數學環境，什麼事都難不倒他們。大腦的差異雖然會讓一些人在起步時有優勢，但具備這種先機並且因而獲得長期優勢的，只是極少數人。此外，被稱為天才的那些人，往往會強調自己付出多少努力和犯了多少錯誤。大家公認的天才當中，最出名的大概就是愛因斯坦，他到九歲時才會識字，而且經常講自己的成就來自所犯過的錯誤以及所展現的堅持。他會盡力嘗試，出錯了就更加努力，他以成長型思維者的態度思考研究工作與人生。許多科學證據顯示，成功者與不成功者的差異不在於與生俱來的大腦，而在於他們看待人生的態度、接收到與自己潛能有關的訊息，以及擁有的學習機會。當學生對自己有信心，最好的學習機會就會出現。

太多學生因為在學校裡得到否定訊息而阻礙學習，這些訊息讓他們以為自己不如人，沒有別人具備的潛力。這本書就是要提供各位需要的資訊，不管你是老師還是家長，目的就是要給學生需要且應該要有的自信；要把他們放在一條通向數學思維的學習軌跡上，不論先前的經驗是好是壞。正如後面各章會描述的，這條新的軌跡是要讓學生改變看待自己的方式，也要改變他們思考數學這門科目的方式。雖然我的意思不是每個人的腦袋生來都一樣，但我還是要說，並沒有所謂的「數學腦」或「數學天分」。沒有誰生來就懂數學，也沒有哪個人天生欠缺學習數學的能力。很不幸的是，相信資賦優異的這個信念十分普遍。近來有些研究人員想知道大學教授對於各自的領域是否需要資賦的相信程度（Leslie, Cimpian, Meyer, & Freeland, 2015），結果他們驚人地發現：數學界的教授對於誰能念數學，最固執己見；他們還發現，在越重視資質的學術領域，擁有博士頭銜的女性就越少，而且對領域專業能力的信念，與他們調查的三十個學術領域的女性人數，兩者是相關的。在教授相信只有「資優者」才能有所成就的那些領域，女性人數之所以比較少，是因為對於誰真正適合的刻板信念仍舊普遍存在，就如第6章所描述的。我們必須改變對於數學學習的見解，在跟學生交談與互動的過程中採取更公正開明的觀點，這對我們的社會勢必會有幫助。學校需要認真考量這些大腦的新科學研究，向所有人傳達人人都能學好數學（包括高等數學），這可能會是開啟不同前途的關鍵未來，數學創傷將成往事，各種出身背景的學生都能獲得良好的數學學習機會。

〈CHAPTER 1 大腦與數學學習〉

過去十年我們看到許多技術出現，讓研究人員有新的機會探索心智與大腦的運作。現在科學家可以在兒童和成年人做數學的時候進行研究，監測腦部的活動；他們可以觀察大腦的發育和退化，以及看到不同的情緒及狀況對大腦活動的影響。近年來出現了一個涉及「大腦可塑性」的領域，讓科學家很驚訝。過去我們認為，與生俱來的大腦是無法改變的，不過這個看法現在已經徹底證明是錯的。一項又一項的研究已經顯示，大腦有不可思議的能力，能夠在極短的時間裡發展與轉變（Abiola & Dhindsa, 2011; Maguire, Woollett, &...

〈導讀　錯誤是學習的起點！〉

我父親的教育方針非常開明、自由，唯獨在成績上沒有商量空間。

比起前三名，為什麼不努力獲得第一名？

如果是全班第一名了，為什麼不再努力一點，爭取全年級第一名？

儘管我的學習之路大致順遂，但還是常常感受到壓力。

記得國中有一次數學小考我考得非常差。比平常低幾十分的考卷分數被寫在聯絡本上，回家路上都在苦惱著該怎麼交差。

「剛好考的都是我習題沒練到的。」

「這只是小考，不是段考。而且你想，一張滿分的考卷沒有意義，我只能因此知道『我都會了』，沒辦法學到什麼新知識。正因為有錯，我才知道哪個觀念還不懂，哪邊還沒想清楚，找出哪邊有錯，這樣下次就不會犯錯了。」

「錯誤是學習的起點！」

晚上簽聯絡簿時，我背出這段連自己也覺得像是藉口的台詞。

提出成長型思維、全球暢銷書《心態致勝：全新成功心理學》的史丹佛心理系教授卡蘿．杜維克提過：

假如孩子回家之後說他們在上課或小考時答對了所有的題目，家長應該要說：「噢， 真是可惜，那表示你沒機會學到東西。」

如果當年讀過本書，我就可以再補上這句強而有力的論述。原來當年想出來的藉口，竟然是對的。

真的有「數學腦」嗎？

如今網路充斥著非常多的資訊，每條都宣稱自己能帶來新知，但只要上網逛一天，你就知道真正有意義的資訊少之又少。本書，正是少數能讓你享受吸取新知樂趣的作品之一。它有兩大特色：首先，改變你對數學以及學數學的諸多觀點。其次，它的論點都奠基在嚴謹的學術研究結論上。比方說，很多人認為存在所謂的「數學天分」、「數學腦」，如果學不好數學，很可能是因為沒有數學腦，畢竟有人上課聽完就懂，有人在補習班複習，回家熬夜寫習題，卻還是考不好，當努力與成果不成正比，難免會歸因到天分不足。

但真相並非如此。

雖然有一些孩子情況特別，有特殊的教育需求，會增加數學學習的難度，但對於絕大多數（大約95%）的孩童來說， 任何程度的學校數學都在能力範圍內。

或許有數學腦，但沒有嚴重到那麼多人因為沒天分而學不好。當努力跟天分都足夠，卻依然沒獲得該有的成效，我們就該思考是否有別的地方疏忽了。

疏忽的地方，或許正是本書提出的「數學思維」；數學不好的人可能不是因為沒有數學腦，而是因為抱著「我沒有數學腦」這樣的念頭，畫地自限，扼殺了自己的數學學習。

數學思維

成長型思維已經是個被廣泛接受的事實，簡單地說就是遇到挫折時，不將失敗歸因於天分等不可抗力因素，而是信任自己，相信自己更努力嘗試不同做法後得以克服挫折。書中提到一段對成功與不成功企業人士的調查，發現兩者的區別不在成功的次數，而是犯錯的次數，而且是成功人士犯錯的次數比較多。

對具備成長型思維的人來說，犯錯、失敗都是學習的機會。

這不是什麼新觀念，我們在鼓勵小孩時常用「失敗為成功之母」，愛迪生挑選燈絲材料失敗了無數次，更是某個年代人人都聽過的勵志故事。但在數學學習上，我們卻沒有那麼讚頌失敗。我們通常假設講解完、例題做完就該掌握知識，頂多再給幾次小考的機會，但段考、大型考試是不允許犯錯的。在考試階段，我們把錯誤（或許不僅限於數學）與負面意涵連結在一起，搭配各種對數學的刻板印象，比方說認為考得好的方法應該是：

數學考不好→題目練習不夠→再多練習題目

這樣的三步驟。但很遺憾地，第三步結束後往往會回到第一步，整個學習陷入惡性循環，學生就像滾輪上的小白鼠，怎麼跑都在原地踏步，最後對數學產生恐懼、數學焦慮（一種針對數學專有的焦慮現象，讓人連原本會的數學都算不出來）、放棄數學，因此學了上千小時的數學課後，依然答錯三位數的加法。

擁抱錯誤，破除數學天分論，是這本書最主要的概念。當然，它不只是喊喊口號，在後面章節，它提出了幾種給老師與家長的引導策略，包括教學與評量，協助學生建立對數學正確的認知與態度。108新課綱強調素養教育，以數學來說就是數學素養，包括運用數學於生活情境等能力。這些新的方針，都顯示我們的教育正在進步。我希望，透過這本書的翻譯，讓我們能在提倡數學素養的同時，更認識「數學思維」這個新名詞所強調的心理層面在學習上的重要性。

父親的數學思維

最後回到我與父親的故事。當年在我講完一堆話後，記得父親一反常態地沒
罵我，只說：

「既然你知道錯在哪裡，記得《論語》裡有說到顏回『不貳過』吧！」

「拿顏回來比喻也太抬舉我了，而且一簞食、一瓢飲、居陋巷，我會很困擾，快樂不起來的。」

「要有志氣，顏回能做到，你也可以做到！舜何人也，禹何人也，有為者亦若是。」

我嘆了一口氣，父親每次講到學習，一定會搬出這句話，我總覺得很不切實際。但現在長大了回頭想想，很多時候遇到不懂的題目，我願意多花時間去思考，不會認定自己沒有數學天分，或許正是因為父親恆常不斷的這幾句勉勵。

父親可能很早就知道「數學思維」這個道理了。

——賴以威
臉譜「數感書系」特約主編
國立台灣師範大學電機系副教授
數學推廣平台「數感實驗室」共同創辦人

〈導讀　錯誤是學習的起點！〉

我父親的教育方針非常開明、自由，唯獨在成績上沒有商量空間。

比起前三名，為什麼不努力獲得第一名？

如果是全班第一名了，為什麼不再努力一點，爭取全年級第一名？

儘管我的學習之路大致順遂，但還是常常感受到壓力。

記得國中有一次數學小考我考得非常差。比平常低幾十分的考卷分數被寫在聯絡本上，回家路上都在苦惱著該怎麼交差。

「剛好考的都是我習題沒練到的。」

「這只是小考，不是段考。而且你想，一張滿分的考卷沒有意義，我只能因此知道『我都會了』，沒辦法學到什麼新知識...

各界推薦
推薦序
導讀 錯誤是學習的起點！
序
第二版作者序

前言
第一章 大腦與數學學習
第二章 犯錯與困境的力量
第三章 數學的創造力與美
第四章 培養數學思維：靈活運用數字的重要性
第五章 豐富多變的數學課堂活動
第六章 追尋平等之路
第七章 從分軌教學到成長型思維分組
第八章 評量成長型思維的成效
第九章 促進成長型思維的數學教學

參考資料
附錄一
附錄二

各界推薦
推薦序
導讀 錯誤是學習的起點！
序
第二版作者序

前言
第一章 大腦與數學學習
第二章 犯錯與困境的力量
第三章 數學的創造力與美
第四章 培養數學思維：靈活運用數字的重要性
第五章 豐富多變的數學課堂活動
第六章 追尋平等之路
第七章 從分軌教學到成長型思維分組
第八章 評量成長型思維的成效
第九章 促進成長型思維的數學教學

參考資料
附錄一
附錄二