一條線有多長？：生活中意想不到的116個數學...

◎為什麼球員變強了，比賽卻輸了？

運動比賽有可能呈現混沌式傾向，也就是起始狀況的細微變化，會讓結果產生無從逆料的大改變。有種模擬板球比賽的電腦遊戲程式，或許可以成為這種現象的最佳明證。這套軟體是戈登‧文斯（Gordon Vince）在1980年代所寫成，你可以任選兩支隊伍，輸入隊名等細節，接著就可以讓兩隊完成全套板球比賽。事實上，這套程式是一種名為「出局！」（Howzat）的骰子遊戲的延伸版本，這種遊戲在電腦時代之前許久，就已經很流行。 比賽的所有事件都是以隨機方式運作，這種做法就相當於用電腦擲骰子來決定所有事件。例如：擊球手面對任何一球，都有可能跑壘得分，也可能出局，也或許什麼事情都沒有（板球賽常見這種狀況）。這套程式極為寫實，投手經過長時間投球也會「疲累」，於是表現就會變差，擊球手的個人得分接近100之時也會「緊張」，於是出局機率就會提高。這套程式會完整印出比賽過程，顯示每一球的結果，而且輸出的資料也很逼真，會讓人相信那就是真正比賽的過程。 若想讓這套程式產生一次比賽，你必須輸入兩支隊伍的細部資料，包括每位選手的實力係數，你還要輸入一個「種子數值」（seed number），作為隨機數產生機。事實上種子數值就是決定因素，會影響將來比賽時，每次擲骰子所產生的結果。不同的種子數值，會促成迥異的比賽過程。 我們用這套程式，模擬了「英格蘭」和「西印度群島」兩支隊伍的對壘過程，那是一次實驗，目的是要了解，我們能夠預測結果到什麼程度。先輸入兩隊的細部規格，其中每位擊球手各有一個實力係數，數值介於5和40之間，這個實力係數可以決定，擊球手很可能會得到許多分，或者完全不能得分；接著輸入種子數值為444，則比賽得分如下： 西印度群島隊第一局：193 英格蘭隊第一局：162 西印度群島隊第二局：253 英格蘭隊第二局：187 稍事累加，很快就可以證實西印度群島隊得分較高，在這場比賽擊敗英格蘭隊，實際算出西印度群島隊領先97分獲勝。 接著又用相同種子數值再比賽一次，選手細節資料也完全一致，不過有一點不同，西印度群島隊有位擊球手的「實力係數」不同，從原來的23提高到25。由於這位擊球手的打擊實力提高，這次西印度群島隊的整體實力，也比上回略高，其他一切不變。結果，或許你會預期，西印度群島隊也在這次比賽獲勝，而且超前更多。然而，重新比賽的結果卻如下所示： 西印度群島隊第一局：244 英格蘭隊第一局：525 西印度群島隊第二局：332 英格蘭隊第二局：52（提前獲勝） 儘管西印度群島隊的實力已經比上回提高了，他們的實際表現卻退步了，而這次英格蘭的表現則有長足進步。事實上，用板球運動的講法，英格蘭隊在這次比賽，以進十次球門獲勝──這個例子並不罕見。調整任何起始係數，有時只需要非常小幅度變化，就可能對最後結果產生類似這種極大幅度衝擊。 為什麼會這樣？假定這位擊球手在某次上場擊球時得分，是由於實力提高所致，否則他原本應該不能得分。但他的得分接下來造成他的隊友就得面對投手，也由於隊友的擊球風格不同，於是下一球便出現不同結果，例如可能會因此出局。這所導致的連鎖反應事件，使得比賽愈益偏離原有走向，最後就會變得和前世化身完全兩樣。 這套系統的舉止帶了混沌風格，不管對比賽的了解是多麼淵博，沒有任何專家可以預測這種結果。最後他們反而都要灰頭土臉，喃喃道出許多運動項目都會用上的老調：「這場比賽也實在是古怪！」 ◎太一致的統計數字反而不正常？
不只在企業中有騙子會動手腳，甚至在科學界也會有造假的情況。科學家始終免不了要承受壓力，希望研究結果能如人所願，或能符合贊助人的要求。這類結果通常能夠引起媒體關注，特別是產生諸如仙丹靈藥等發現時，因此他們會希望替統計數字加把勁。這種誘惑極強，想必偶爾也會有人沉淪。 這種現象不只出現於現代。一九五○年代，心理學家席瑞爾‧柏特（Cyril Burt）便熱切希望找出：智力主要是由基因還是養育所造就的？套用現代的表達方式，當時他就是在檢定智力是來自於先天遺傳或者是後天培育。他做檢定時，追蹤了自嬰兒期便分開的同卵孿生子，並比較雙方的智力測驗表現。由於樣本都是同卵孿生型，因此基因相同，只是所經歷的養育過程迥異。他還找到一群沒有分開，一起長大的異卵孿生子來做比對，後者的基因不同，養育過程卻幾乎完全一致。 柏特用來檢驗樣本群的統計檢定法稱為「相關係數」（correlation coefficient）。這種統計數所測量的是，兩項結果相隨變異的密切程度。就以戶外室溫和冰淇淋消耗量為例，這兩項的相關可能相當高。天熱時，許多人會買冰淇淋，而天冷時，需求量就很低。就另一方面而言，某日的冰淇淋銷售量和其他現象，好比同日利物浦的嬰兒出生人數，或許就沒有關連，兩個統計數彼此完全獨立。 就孿生子而言，如果基因是智力的主要影響因素，柏特就應該預期，分開長大的同卵孿生子，智力商數測驗的相關就會很高。換句話說，倘若先天遺傳決定你的智力，那麼不管你的家庭或學校為何，都無阻於你發揮聰明才智。然而，如果養育更為重要，那麼在相同家庭長大的異卵孿生子，相關程度就應該較高。 柏特的結果顯示，分開生活的同卵孿生子，相關係數要高得多。結果發現係數等於0.771，其上限值為1.0，這個數值非常高，看來證據確鑿，足以證實基因才最重要。 但是，後來發展卻令人起疑。柏特又做了一次實驗，證實他先前的結果，這次的同卵孿生子相關係數又是等於0.771。當然，這有可能只是巧合，不過審查人並不相信。科學研究結果始終要出現隨機高低波動，產生相同結果並精確到三位數字的機率，幾乎肯定要低於百分之一。於是英國心理學學會在柏特死後五年，根據這點和其他因素，判定他造假詐欺。這項結論是否公允，至今依舊沒有定論，不過，這無疑也顯示，若是你要偽造假結果，最好不要太一以貫之。 ◎耳朵怎麼分辨出「難聽」與「悅耳」？

就算對傅立葉一無所知，人類的耳朵依舊能夠聽到聲波，還能在某個程度上予以分解、拆散成正弦波的組成元件。例如當你同時聆聽三部錄音機發出的音調，儘管用來偵測聲音的示波器會顯示你的雙耳所聽到的是外形複雜的組合波，但說不定你還是有辦法辨識出三種不同的聲音。 不過，就算雙耳善於辨識聲音組合，但這方面的功能卻不算理想。如果有頻率相等的兩種純音同時發聲，人類的耳朵只會測到單一聲音。耳朵只有在頻率相差夠大時，才能聽出不同。這裡就稍微介紹一下其中所產生的現象，不過這之中會牽涉到的精確頻率範圍，那就需要同時看個人（有些人的聽覺比旁人的靈敏）和所聽到的頻率層級而定。 如果兩頻率的差異極小，好比小於1赫茲，那麼耳朵就只能聽出一種音調，同時也會覺得相當悅耳。專業交響樂團中的兩把小提琴，永遠不可能奏出完全相同的音，不過兩種音調十分接近，幾乎沒有人能夠聽出其中的差異。 如果兩音調之差是介於1到10赫茲之間，那麼耳朵所感測到的組合聲音，就會是音量高低起伏的單一音調，這種現象稱為「拍音」（beat）。 如果音調的差別介於10到20赫茲之間，就會產生刺耳聲音，這部分是由高頻拍音所發出的。耳朵一點都不喜歡這種聲音！事實上，這種頻率差是介於特定臨界範圍內，因此會發出刺耳聲音。相信這就是一般人所稱的「難聽」，也是所有不同文化的音樂，共同認定不好聽樂音的基礎。 當頻率差超出臨界範圍，好比20赫茲，那麼耳朵就可以清楚區辨兩者的差別，並相當能夠接受兩音調的組合聲音，不過並不見得都會悅耳。 這項簡單的理論暗示，只要頻率差夠大，同時奏出的兩個純音聽起來應該會不錯。但這是否表示，卡拉OK的差勁歌手也不知道怎麼回事就荒腔走板得恰如其分，所唱出的頻率恰好落入臨界頻帶，結果就和背景樂音完全牴觸？部分答對！但是，歌手的喉頭所發出的音，並不是純粹的正弦波。這些音都是由許多不同的頻率所組合構成，而且就算頻率相差很大，這類不純的音還是會產生不和諧的嘈雜怪聲……

◎堅守「37％原則」可以覓得佳偶？

什麼時候該堅持你所擁有？要檢視這個非常實際的問題，我們可以借助個案研究，並略微虛擬情節來簡化分析。本例中的吉姆是個理想對象，他三十九歲，決心在四十歲時訂婚。吉姆加入交友俱樂部，這樣他和可能對象的相逢過程，就可以部分排除機運成分。交友俱樂部保證每年替他安排十次約會，而我們也要在這裡加入一種相當不可能的狀況，那就是吉姆的約會對象全都急於成婚，只要他開口求婚就成。因此，他肯定將來那十位約會對象當中，有一位會成為他的太太，不過會是哪位呢？ 把可能配偶依等第排列似乎有點無情，不幸卻有必要這樣做，才能進一步分析。（這裡也必須說明，男女都不反對就潛在伴侶做評比。）十位約會對象之一會成為最佳伴侶人選，也另有一位會是最差的選擇。不過，吉姆和她們見面的順序，卻是完全隨機。 吉姆和第一位對象約會，她看來也不錯。不過，她是最好的那位嗎？或許她是，不過，考慮到吉姆往後還會與其他對象約會，她成為最佳人選的機率只為十中取一。因此，合理的決策似乎就是先不要對她做出承諾，而是把她當作基準，並拿來和後續約會對象做比較（這裡就不對吉姆的道德品行做任何評價）。 如果吉姆真的猶豫不定，他也可以依舊拒絕對接下來幾位做出承諾。一直到第十位約會對象現身，若吉姆還是要堅定原則如期訂婚，那時就沒有選擇餘地只好選擇第十位。因此他若不做出決定，採取不表態策略，那麼他選中最佳人選的機會，還是只有十中取一。不過，肯定會有較佳策略。 的確是有！如果他要提高機會，有種做法就是先拒絕第一位約會對象──假定那是凱瑟。不過，往後一碰到得分超過凱瑟的約會對象就點頭接受。只要採取這項對策，他在十次中有九次，能夠找到比凱瑟更好的配偶。但是，如果凱瑟恰好就是最佳對象，這項對策就不靈了。 如果吉姆選定最先贏過凱瑟的約會對象，最後他選中最佳可能伴侶的機會，就會提高到百分之二十，或等於五中取一。這個比率的計算過程相當複雜，因為這必須把最佳人選出現的順序落於第二位，或第三位（第二位得分低於凱瑟），或第四位（第二和第三位得分都低於凱瑟）等等的機率累加起來，並一直加到第十位。如果吉姆除了凱瑟之外，還納入其他人選做為基準呢？他堅持時間愈長，就愈能通盤了解所有的可能對象。不過，這樣他把最佳伴侶排斥在外的機率就愈高。 事實上，吉姆面對上述情況時，便可以用數學來找出最佳答案。那就是先和三位人選約會，隨後一出現得分超過前述三位的人選就向她求婚。這樣一來，最後吉姆所擇定人選會是最佳伴侶的機會，就會提高到約為三中取一。 隨著伴侶潛在人選增加，數學解答就會愈來愈嚴謹，最後比率就會極為明確。如果有N位伴侶人選，你就應該先約見N除以「e」人，隨後才做出承諾。前述「e」值約等於2.718，這也是指數增長現象的核心數值。如果N為大數，那麼根據上述，你就應該在所有潛在伴侶之中，先約見大概百分之三十七的人選，隨後才安頓下來。 這種巧妙做法有許多瑕疵，當然了，其中之一就是你完全無法預知，將來你會和幾位伴侶人選約會。儘管如此，如果你估計自己這輩子，或許能夠見到四十位配偶人選，那麼當你認識其中十四位時，就該考慮安頓下來了。

◎為什麼球員變強了，比賽卻輸了？

運動比賽有可能呈現混沌式傾向，也就是起始狀況的細微變化，會讓結果產生無從逆料的大改變。有種模擬板球比賽的電腦遊戲程式，或許可以成為這種現象的最佳明證。這套軟體是戈登‧文斯（Gordon Vince）在1980年代所寫成，你可以任選兩支隊伍，輸入隊名等細節，接著就可以讓兩隊完成全套板球比賽。事實上，這套程式是一種名為「出局！」（Howzat）的骰子遊戲的延伸版本，這種遊戲在電腦時代之前許久，就已經很流行。 比賽的所有事件都是以隨機方式運作，這種做法就相當於用電腦擲骰子來決定所有事件...

推薦序 在熟悉的情境中學習數學

根據我們閱讀或寫作數學科普書的經驗，任何一本正如同本書標榜休閒的讀物，大概都會設法降低閱讀門檻，如此一來，本書兩位作者從「與一般人實際生活有關的例子著手」，絕對是想當然耳的策略之一。這是因為對大多數讀者來說，「只有在熟悉的環境背景中學習，他們才能真正理解數學。」
儘管如此，本書作者書寫並不媚俗，也就是說，他們固然會納入一些數學科普作家的最愛課題（譬如數學與音樂等），不過，敘事與論述卻刻意地保持一定的平衡。這可以說明他們所提出的問題儘管近乎「粗淺俚俗」，卻總是在最後提供了出人意表但又極有意義的解答，而擴充了我們的知識視野──這無疑延續了他們前一本書《為什麼公車一次來3班？》的風格。所以，雖然本書有一些課題雷同其他數學科普書籍，可是，兩位作者還是蠻自豪地告訴我們說：「電梯、計程車費率和男士小便斗的算術運算，之前就幾乎都還沒有人公開發表過。」
即使像「碎形」與「混沌」這樣時髦的課題，兩位作者在鋪陳時，還是從我們極為熟悉的問題出發，只是，他們並不迴避必要的數學說明，以致於我們多少可以從中理解數學知識推陳出新的價值與意義。不過，在關心論證的脈絡中，兩位作者還是相當明快地承認數學家在解答問題時，「經常會先提出臆想和猜測，隨後『才』開始證明，以確保推理過程中不致出現怪誕的錯誤。」顯然基於同樣的關懷，兩位作者也強調：「通常圖像是做證明的好方法，遠勝於看來較抽象的代數。」
其實，圖像及其類比功能，就呼應了本書所努力鋪陳的數學模式。本書之各章內容表面看起來彼此無關，然而，兩位作者就近取譬，卻始終圍繞了一個中心題旨，那就是：「數學是一種研究『模式』（pattern）的科學。」我們相信這種進路，一定可以啟發數學教師如何在繁瑣的解題活動中，洞穿數學知識的本質。這的確是本書的成功之道，也是數學科普創作不會枯竭的最佳保證。
不過，這樣說來，倒是把本書的趣味調得嚴肅了。無論如何，希望讀者閱讀時不要忘了休閒的初衷。至於想要讓數學教學變得有趣一點的數學老師，本書絕對是值得珍藏的武林祕笈呢。

臺灣師範大學數學系退休教授 洪萬生

推薦序 在熟悉的情境中學習數學

根據我們閱讀或寫作數學科普書的經驗，任何一本正如同本書標榜休閒的讀物，大概都會設法降低閱讀門檻，如此一來，本書兩位作者從「與一般人實際生活有關的例子著手」，絕對是想當然耳的策略之一。這是因為對大多數讀者來說，「只有在熟悉的環境背景中學習，他們才能真正理解數學。」
儘管如此，本書作者書寫並不媚俗，也就是說，他們固然會納入一些數學科普作家的最愛課題（譬如數學與音樂等），不過，敘事與論述卻刻意地保持一定的平衡。這可以說明他們所提出的問題儘管近乎「粗淺俚俗」，卻總是在最後...

推薦序 在熟悉的情境中學習數學 洪萬生
自 序 所有人都可以成為數學家

第1章 為什麼這麼快又到星期一？
「星期」是怎麼來的？╱一年為什麼有十二個月？╱月亮「看」起來有多大？╱哪幾顆行星決定一星期有七天？╱「過剩數」與「完全數」是什麼？╱佛羅倫斯的一星期有八天？╱為什麼Monday是星期一？

第2章 如何拆穿王牌大騙子？
免費買戒指，還倒賺一百鎊？╱預言嬰兒性別的神棍如何騙錢？╱為什麼滿杯等於空杯？╱如何戳破email詐騙手法？╱是誰少給了服務生小費？╱如何破解金字塔傳銷的騙局？╱金字塔傳銷差點毀掉一個國家？╱真的有人在騙局中贏到錢嗎？

第3章 暢銷單曲是怎麼來的？
有沒有打造暢銷單曲的祕訣？╱為什麼我們愛聽節奏？╱什麼是「莫札特效應」？╱流行歌曲有沒有公式？╱為什麼偶數音比奇數音更性感？╱曲調有沒有寫完的一天？╱麥可‧傑克森的音樂是粉紅色？

第4章 為什麼行李擺不進後車廂？
如何在方形中放入最多圓形硬幣？╱水果攤老闆該如何堆疊柳橙？╱搬家時，有沒有最佳的行李打包術？╱為什麼戲院觀眾有人坐走道、有人坐後排？╱如何最快進入捷運車廂？╱男人如廁，離陌生人愈遠愈好？

第5章 我該回答問題嗎？
要拿錢走人或賭下去？──機智問答節目中的兩難╱二中取一的術語有哪幾種？╱如何先搶到《百萬富翁》參賽權？╱如何找出最佳的團隊猜題策略？╱什麼是《最弱環節》團隊遊戲的推薦戰術？╱明明是兩個選一個，為什麼機率不是五五波？

第6章 走樓梯會不會比較快？
電梯業者關心速度甚於安全？╱電梯等多久會開始不耐煩？╱如何縮短電梯的等候時間？╱如何計算建築物需要幾部電梯？╱讓電梯加速就能服務更快嗎？╱如何估計電梯的停靠次數？╱為什麼有些電梯會反方向行進？╱電梯為什麼不理你？╱慢速電梯讓乘客更滿意？

第7章 一條線有多長？
多瑙河有多長？╱「一條線有多長？」有幾種不同答案？╱碎形是什麼？能產生哪些奇妙的圖像？╱數字中也藏有驚人的碎形？╱碎形如何讓網路圖片傳遞更快？╱學會碎形，有可能大賺一票？╱邊界無限長，面積也會無限大嗎？

第8章 為什麼天氣預報會出錯？
撞球開球時，要靠技術還是靠運氣？╱為什麼球員變強了，比賽卻輸了？╱鐘擺玩具可以預測結果嗎？╱電腦如何模擬擲骰子的隨機結果？╱為什麼蝴蝶一拍翅，佛羅里達就颳颶風？

第9章 明年冬天，我會感冒嗎？
老鼠如何害死四分之一的歐洲人？╱八卦新聞為什麼散佈那麼快？╱傳染病的散佈情況與謠言類似？╱不同傳染病的傳染威力相同嗎？╱如何精準估算傳染病感染人數？╱利息支付間隔愈短，獲利愈高？╱為什麼狂牛症的預估死亡人數差這麼多？╱隔離是阻斷傳染病散佈的最佳方式？╱電腦病毒也在模仿傳染病嗎？

第10章 我搭計程車時有沒有被佔便宜？
連計程車司機都不瞭解計程表的祕密？╱如何計算一個都市的平均車速？╱慢速行駛高速公路，車資會變多？╱什麼樣的計程車費率可以防弊？╱計程車司機怎樣可以讓收入提到最高？╱兩點間最短距離非直線？

第11章 我究竟會不會遇上完美伴侶？
下一個男人（或女人）會更好？╱堅守「37%原則」可以覓得佳偶？╱如何算出你的婚姻承諾恐懼症指數？╱婚姻介紹所總是所配非人？╱有尋覓完美配偶的數學方法嗎？

第12章 這是一場騙局嗎？
利用數字1就能看破騙術？╱用數學也能偵測騙局？╱「班佛定律」為什麼能有效抓出造假數字？╱太一致的統計數字反而不正常？╱如何抓出誰向新聞界洩密？╱有些劇本其實不是莎士比亞寫的？╱如何揭穿學生是否考試作弊？╱活用統計法也能贏得芳心？╱還有多少詐欺事件逍遙法外？

第13章 弱者能贏嗎？
出現精彩賽事的關鍵是什麼？╱為什麼弱方不會永遠屈居劣勢？╱保持領先未必能贏得比賽？╱落後選手扭轉頹勢並領先對手的機率有多高？╱如何訂定既公平又精彩的比賽順序？╱如何快速計算淘汰制錦標賽所需的比賽場次？

第14章 為什麼卡拉OK的歌聲這麼難聽？
為什麼有些聲音聽不到？╱耳朵怎麼分辨出「難聽」與「悅耳」？╱如何奏出好聽的組合音？╱以噪音剋制噪音，真的有效？╱和諧音的規則是用鎯頭敲出來的？╱十二音是怎麼來的？╱史上最早的音階系統是什麼？╱世上真有魔鬼音？╱荒腔走板的歌聲也有可能是天籟美聲？

第15章 我能百分之百肯定嗎？
繪製地圖最少需要幾枝色筆？╱如何分辨數學家和工程師之間的差異？╱有辦法最快找出成雙的襪子嗎？╱為什麼頭彩得主很少獨贏？╱若矛盾則為真？╱連電腦也算不出的答案，人腦有辦法？╱數學家至死不改的癖好……？╱永遠蓋不滿的棋盤？╱哪個定理被證明得最透徹？

第16章 我能相信報紙嗎？
銷售數字變漂亮了？╱政客最愛玩哪些數字花招？╱百分比是最好的魔術技倆？╱1%也能變成50%？╱平均數有三種？╱哪一種平均數才平均？╱圖表有可能完全違背事實？╱你被公式唬了嗎？

推薦序 在熟悉的情境中學習數學 洪萬生
自 序 所有人都可以成為數學家

第1章 為什麼這麼快又到星期一？
「星期」是怎麼來的？╱一年為什麼有十二個月？╱月亮「看」起來有多大？╱哪幾顆行星決定一星期有七天？╱「過剩數」與「完全數」是什麼？╱佛羅倫斯的一星期有八天？╱為什麼Monday是星期一？

第2章 如何拆穿王牌大騙子？
免費買戒指，還倒賺一百鎊？╱預言嬰兒性別的神棍如何騙錢？╱為什麼滿杯等於空杯？╱如何戳破email詐騙手法？╱是誰少給了服務生小費？╱如何破解金字塔傳銷的騙局？╱金字塔傳銷差點毀掉一個國家？╱...