生活數學故事

四捨五入

我常到ＸＸＸ連鎖店買家用衛生紙，因為它常在廣告中宣稱，同類商品它最便宜。這類衛生紙的產品已然規格化，如每包120抽，紙張約為正方形，各品牌紙張大小一致（小吃店的較小，算另一種品牌），品質相差不多（每張都由兩張較薄的合成），故比較價格是有意義的。另一家商店在某天早報所夾的廣告單上說，它賣每小包8元。因它離我家較遠，我還是帶著那張廣告單到ＸＸＸ店去買。
ＸＸＸ店門口貼著很大張的看板：衛生紙每小包8元。但在另一個地方，存放著由12小包組成一大包的大堆貨品，有張較小的看板，寫著：每大包99元。我拿了兩大包到櫃台結帳，收銀機叮的一聲響，年輕的店員小姐說，198元。
我有點猶豫，到底要不要爭這個「6元」的小差額？我覺得產品已夠便宜，6元對我也無關痛癢。通常我都很「鄉愿」地不吭聲，但這次我真的很想知道，一個店家對自家貨品價格上的「數量矛盾」，有沒有察覺？有的話，又抱持何種態度？於是我付她200元時說：「不對，你應該找我8元！」
她愣了一下後，冷靜地說：「沒錯，每大包99元，兩大包共198元。」我指著門口「每小包8元」的看板說：「每小包8元，一大包共有12小包，81296。所以，你每大包只能收96元。」「每小包當然賣8元，但每大包是99元。」她顯然完全沒有察覺到，大包和小包的衛生紙之間，存在著某種「化聚」關係。
我說：「如果我買24小包，你算我多少錢？」她說：「可是你拿的是大包的。」「你有這麼多小包的嗎？你要我把它們拆開來，才看得到它們是24小包嗎？」我不清楚她有沒有聽懂，因為她沒有回應我，逕自按鈴把店長找來，一位打扮俐落的中年婦人。
她很有威嚴地問我：「你有什麼問題？」我告訴她後，她從櫃台拿起計算機，打出99128.25給我看，然後說：「沒錯，8.25在四捨五入後就是8，我一小包是賣8元。」我真的又好氣又好笑，打出最後一張王牌說：「我不管你怎樣四捨五入，只問你每小包有沒有收超過8元？這張發票就是證據，你們比這張廣告單的店家賣得貴。照你們的說法，你們應該以2倍價買回去才對。」
這時已經有一大群顧客聚集在櫃台邊，她態度立刻軟下來說：「請等一下。」她打通電話後，吩咐女店員重新打了張192元的發票給我，並找我8元，讓此事件和平落幕。
當天下午，我又經過該店，發現一大包99元的看板已然拿下來了。我突然感到後悔，早上不應該買2大包。不然現在就可以再去買一大包，看看他們賣多少錢？
一般的生意邏輯是，買少稍貴，買多便宜。即若每小包8元，則一大包共12小包應該在96元以下才合理。所以，ＸＸＸ店的事可以解釋如下：一大包99元本是它的售價，當競爭對手打出每小包8元的低價後，它只好跟進。臨時在各連鎖店貼出每小包8元的看板，以免砸了「這類貨品最便宜」的招牌，但忘了兩者之間的連結。
事實上，美國房地產次級貸款所引發的全球金融風暴之後，我國景氣持續低迷。為了提振買氣，各商家紛紛降價求售，有些在降價之餘，還講明買十送一。現在，ＸＸＸ連鎖店的衛生紙，一大包含12小包，正好應該買十一送一，每大包只收11小包的價錢。即使這項貨品沒賺到錢（甚至賠本），但賺到買氣（顧客為了買此項貨品，經常會順手買其他商品）以及名聲，何樂不為，真是不會做生意。
上述案例給我兩點感想，一是某些商家的數學程度真的很有改進的空間。例中店長的「四捨五入」之運用，令我慚愧之至！台灣的數學教育，到底出了什麼問題？怎會教出這種學生，把四捨五入和生活情境，做如此離譜的連結。
其次是積極面對是有效的。筆者的個性一向低調，多一事不如少一事，讓店家占點小便宜並不那麼在意，人生何苦斤斤計較呢？但是，想到這些人若不加以點醒，可能變本加厲，最後害人害己。故盡點社會教育的責任，也是應該的。
前一陣子，兒子媳婦開車載我到樹林火車站後站附近的中醫診所看病，路經一幅大幅的廣告看板，宣傳「月息4分」的民間借款公司。針對「4分」的意義，車上3人有兩種解：4/100還是4/1000，到底哪個才是對的？
這種針對某種數據做「解釋」的事情，是我們人類的世界中經常發生之「溝通」問題的一部分。這個案例需要做簡單的估計如下：假設每月利息是4/1000，則一年的利息（讓我們暫時忽略複利的影響）差不多是

而5%的年利率是普通銀行借錢出去的行情（近幾年我國的房貸利率不正常的低，差不多是3%左右。這是全球熱錢充斥所產生的後果，卻是房地產價值居高不下的原因），輪不到打此廣告的「高利貸」業者來做此生意。
由此推論知道，「月息4分」表示每月要繳納4%的利息，比如說借100萬元，每個月利息就要4萬元，一年下來累積到48萬元，幾乎是借款數額的一半。難怪英文中把放高利貸者，稱為loan shark，貸款鯊魚，是會吃人的。

四捨五入

我常到ＸＸＸ連鎖店買家用衛生紙，因為它常在廣告中宣稱，同類商品它最便宜。這類衛生紙的產品已然規格化，如每包120抽，紙張約為正方形，各品牌紙張大小一致（小吃店的較小，算另一種品牌），品質相差不多（每張都由兩張較薄的合成），故比較價格是有意義的。另一家商店在某天早報所夾的廣告單上說，它賣每小包8元。因它離我家較遠，我還是帶著那張廣告單到ＸＸＸ店去買。
ＸＸＸ店門口貼著很大張的看板：衛生紙每小包8元。但在另一個地方，存放著由12小包組成一大包的大堆貨品，有張較小的看板，寫著：每大包99元。我拿了兩...

收集在本書的十一篇文章，寫的全是筆者生活中跟數學有關的故事。其中數學素材的內容和呈現方式，都經過約每兩週見面一次的團隊討論過後才定案的。這個團隊由已退休的一些中、小學數學老師組成，這裡先謝謝他們。他們是

戴寶蓮　許文化　林志忠　陳彩鳳　蔡淑英　呂玉英
李和淑　宋立忠　楊守容　張凰蕙　李信仲　莊月嬌

理論上，我們不算是什麼團隊，而是完全沒組織的同好之聚會。如何幫助中、小學生學好數學是我們的共同興趣。
聚會時免不了會傳些八卦，也有人介紹他們剛去玩過的旅遊景點。但是典型的討論題材，是設計一些會引起學生對數學感興趣的活動。幾年下來的結果之累積，除本書外，還有如下的兩本出版品：

1. 資優數學的星光大道──玩弄數學問題（翰品文教，2011年）
2. 另類數學教室（天下文化，2013年）

這三本書的掛名作者雖然只我一人，但他們是我背後的強力靠山。沒有他們，這三本書中的文章根本不可能出現。事實上，我們團隊的效率還不錯，今年（2013）年底前還會再出一本書，書名暫定為《動手做幾何》。
做事到某個段落（如本書出版）時，總要有反省檢討，我們的所作所為有沒有偏離初衷？所以，現在也許是問本書中的這些故事，跟團隊上述的共同志趣，有什麼關聯的適當時機。
首先要指出，本書文章中的有些故事，是跟他們直接有關係的：〈某天下午〉所描述的故事，是小組有次例會後的下午，團隊中某五人的互動情形；許文化和林志忠兩位老師參與了昆山張浦鎮「果園步道」的設計；〈詩與數學的交會〉中談到陳彩鳳老師帶著她的學生，共同設計「假面算術」的題目；呂玉英主任是〈鴿籠原理〉的始作俑者；〈從乘法交換律談起〉講的是戴寶蓮校長還是台北市小學數學科輔導團團長時發生的事情。
〈生活數學故事〉是本書定調的文章，是由演講稿改寫而成。演講後聽眾非常喜歡，希望聽到更多的數學相關的故事。之後，其他的文章陸續出爐，最後集成了這本書。若純粹從聽故事的角度而言，故事並不特別曲折，但與數學連接後，變得有趣。當然，這些文章的最大公因數是，它們背後的主角，永遠是數學的學習。
小孩學數學的困難很多，最關鍵的是他們對數學物件的「沒感覺」。就像國內的一些歌唱選秀節目（如「星光」、「超偶」等）中，評審淘汰一些參賽者時常說的話那樣：「技巧很好，高音也飆得上去，但沒消化歌詞的意義。自己沒feel就感動不了別人，無法成為出色的歌手。再努力。」
「感覺」是人體和外在世界的界面，簡單到幼兒學用湯匙（筆者目前很重要的工作之一，是陪剛滿一歲沒多久的孫女兒玩），複雜到職業歌手要把感情融入歌聲，無不依靠感覺。做好數學性的運作如數量的計算、幾何形體的各種操弄（剛體運動，相似、投影和拓樸變換，或是拼組、分解），自然也都不例外。
記得女兒還是小學中年級生的時候，常陪我晚飯後到台大校園散步。邊散步邊聊天，當然是天南地北。有次我要她算， ＝？在那種情境中，她只能心算。她拒絕求算說：「沒紙沒筆怎麼算？」「心算哪！」「沒學過。」「妳應該有能力想出來的。想想看！」
她沉默了一段時間後說：「我想不出來。」「妳是怎麼想的？」「我試著在腦袋裡寫出直式，上面125，下面48。但是，我沒辦法算出來，是二次退位耶。」這就是技術掛帥、沒有感覺的結果。怎樣把感覺帶進來幫忙？
「爸，你會怎麼想？」「我假設身上有125元，買了件48元的東西後，身上還剩多少錢？」她「啊」了一聲後說：「這樣我也會算：我拿一張50元（當時的50元是紙鈔而非硬幣）去買，找回2元；和剩下的75元合起來，得到77元。對不對？」「妳好棒！」
她為什麼能夠這樣算？因為她平常有購物的經驗，對於付錢找零有感覺。這使她能夠在腦中進行上述的形式運作，來取代具體物的操作。小孩一般不太能做形式抽象的思考，但是對於有感覺的事物，他們是能在腦中想像的。
對於情節分明的故事，他們更能流暢地運思。譬如說，熟悉灰姑娘童話故事的小孩，不從頭說（這是系列性運思者的特質，什麼事都得從頭做起；如一條歌也得從頭開始，才會唱），而從半路切出問她，午夜鐘聲響起，灰姑娘匆忙離開舞會，掉了一隻鞋子，王子後來是如何找到她的？我女兒五歲多的時候，就可以跟我講出所有細節，流程一點兒也沒錯。這是小孩形式運思的第一步。
帶有故事的事物，容易令人記住、引用、轉述，在成人的世界也是如此。我們希望本書的讀者，會因為故事的加持，而記住書中所討論的數學材料，以及處理相關問題的手法。預期讀者群中的數學老師，也可向他們的學生轉述這些故事。當然，我們更期望每位讀者，可以找出自己或親友的，與數學相關的故事，公開發表出來，和其他人分享。

＊　＊　＊

2014年，台灣將實施十二年國民教育的政策。其中的免試入學，比序是個爭議，這裡不談。為了鼓勵各高中辦出自己的特色，教育部允許各校設立自己的特色班級，如天才美勞班、巨星音樂班、嘰哩咕嚕外語班、資優數學班……等。這些特色班學生的名額，占總學生的百分比約15%。不多，但這些班的學生顯然會受到學校較佳的照顧，故會吸引菁英學生報考（申請）。如何招收有上述各類特色的學生（叫做特色招生）呢？
台北市、新北市和基隆市本來聯合決定，採用同樣的方法做特色招生，即使用類PISA型式的題目，考語文閱讀能力和數學素養，並以這兩科成績做為入學的憑據。後來又改變主張，決定延後二年再實施。
語文閱讀能力暫且不談，什麼是數學素養？PISA型的考題又是怎麼的題目？
如果讀者翻回到本書的封面，一定可以看到一行小字「數學素養系列」，表示本書是談論此課題的系列中的一本書（之前出版的《另類數學教室》，和之後會出版的《動手做幾何》都屬於此系列）。到底「數學素養」是什麼樣的碗糕？北北基的特色招生為什麼要考這樣的能力？
如果細讀本書和《另類數學教室》以及《動手做幾何》，讀者不難感覺到什麼是「數學素養」──擁有這種素養的人，數學是他思維中的重要成分，因此變成他思考的利器。換句話說，他是戴著數學的有色眼鏡來觀察他周邊事物和看世界的。這使他能從一團混亂的情境中，抽出問題的重要因素，簡化問題，來尋求解決之路徑。
讀者應該可以同意，這種能力是非常重要的。問題在於，這種能力如何才能培養出來？又該以何種方式加以檢驗？
Program for International Students Assessment簡稱PISA，就和TIMS等對學生教育成就的國際性評比一樣，是國際性的組織。評比的目的在發現各國教育的優缺點，以便學到別國的優點，補足自家的缺點。
早期的國際評比，如IAEP或是現在還有的TIMS等，測試的題目以比較例行性的問題如計算、或制式的應用問題為主。歐美地區有些國家的數學教育學者認為，雖然這些基本知能之擁有還是很重要，但學生進入社會後，會不會把他所學到的數學知識，應用來解決他碰到的問題之能力，是數學教育界應該更關切的議題。現代社會變化快速，我們碰到的問題常跟前人不同，這種能力更形迫切。他們提議，研發一種特殊類型的題目，來檢驗這種能力，這就是PISA的來由。
PISA型的題目，除了已有國際範本的中譯本外，好友林福來（師大數學系榮譽教授）也透過國科會的計畫，針對此課題辦了幾次研討會。在許多教授和國中數學老師的努力下，建立了180道樣本試題。南一書局的紙本（兩冊）外，有興趣的讀者也可上國科會科教處的網站，參閱這些資料。
從這些已知資料看，PISA型的題目有其特色，題目大多從日常生活中取材，而且要不是文字敘述顯得長篇大論，就是跟幾何物件的運動有關。這就是令許多國中數學老師，以及他們學生的家長擔心的地方──大部分的國中生不習慣這樣的布題方式。筆者認識的幾位國中老師，以樣本題試測的結果顯示，他們的學生成績不理想。
討厭的是，這項成績和平常學校的數學考試成績不一致，即平常考得好的學生不見得適應這類題目，反而有些成績差的學生，很會解這種題。這表示解此類題型要求另一種能力，由於平常的數學教學不培養這種能力，故學生表現較差。
這種題目要求解題者從一段由文字描述的情境，或是幾何的具體操作中，抽出與解題相關的數學成分，形成數學問題後再進行解題。前半段「形成數學問題」這部分，其實就是目前台灣中小學校裡的數學教學最缺乏的。
讀者不難看到，這是人類應用數學知識和能力，解決他所碰到的問題時，非常重要的能力。如果要下一個標籤來加以形容，最適合的是「活學活用數學」。可惜「活學活用毛澤東思想」已被用爛（見本書第五篇文章〈果園步道〉），在台灣不好再用。
2002年諾貝爾經濟學獎得主之一的康納曼（Daniel Kahneman），原是認知心理學者，寫了一本書《快思慢想》。這本書的要點在說，人類在解決問題時有兩種型態：解例行性的問題時，反應要快；但面對非例行性問題時，則要慢工出細活才能想得周延。
目前台灣中小學數學的教學，顯然只培養他講的第一種能力，這是下層公務員需要的能力。占據較高職位、需要面對非例行性問題的人，只有這樣的能力是不夠的。只占15%學生的特色招生，要的學生當然要有「活用數學知識」的能力。台灣最近出現的政壇亂象，如「核四是否要停建」、「健保、勞保、公保」以及「退休」制度等，顯現出我國以前教育的缺失。
問題是這種能力如何培養？筆者不能撈過界，只能局限在數學教育的範圍內來談。處方很簡單，只有一條──老師在數學課內釋出讓學生思考討論的空間和時間。當老師提出學生（甚至於老師自己）無法立即回答的問題，並讓學生思考討論一段時間，久而久之，學生的這種能力自然會長出來。
這種運作的關鍵因素是老師，他有意願改變教學習慣後，才會碰到一些技術性的問題──題材在那裡，討論遭遇困難時老師如何介入，……。筆者編著的「數學素養系列」中的幾本書，提供了題材和討論的範例，讀者可以善用。

＊　＊　＊

最後讓我解釋，為什麼引用歌唱選秀節目評審的評語來類比數學解題能力？我先承認自己沒有這方面的素養，但還滿喜歡聽歌的。然而看歌唱選秀的原因，則是想看這些參賽的素人歌手，在短時間（少於一年）由海選到決賽間的成長過程，他們經歷低潮時如何度過、重拾信心，最後演化成可以獨當一面的職業歌手。
一位學生的數學能力的成長，一位老師的成長，或是一般人的成長，能否借鏡呢？
學生的成長很難在短時間見效，老師的成長則需要價值觀和意識型態的改變。參加音樂選秀的年輕歌手，在成長動機上完全沒問題，所以他們禁得起評審們賦予的任務之嚴酷考驗。數學教育方面的成長（學生和老師），沒有這樣的條件，該如何借力？這就是我每次看音樂選秀節目時，在思考的問題。到目前為止，還是無解。最後希望，在台灣的數學課室裡都能

老師教的有意義，
學生學的有感覺。

收集在本書的十一篇文章，寫的全是筆者生活中跟數學有關的故事。其中數學素材的內容和呈現方式，都經過約每兩週見面一次的團隊討論過後才定案的。這個團隊由已退休的一些中、小學數學老師組成，這裡先謝謝他們。他們是

戴寶蓮　許文化　林志忠　陳彩鳳　蔡淑英　呂玉英
李和淑　宋立忠　楊守容　張凰蕙　李信仲　莊月嬌

理論上，我們不算是什麼團隊，而是完全沒組織的同好之聚會。如何幫助中、小學生學好數學是我們的共同興趣。
聚會時免不了會傳些八卦，也有人介紹他們剛去玩過的旅遊景點。但是典型的討論題材，是設計一些會引起...

0. 序
1. 生活數學故事
2. 某天下午
3. 外婆的算法
4. 單車與我
5. 果園步道
6. 鴿籠原理
7. 詩與數學的交會
8. 減肥隨想曲
9. 親愛的，我把數學題目變簡單了
10. 隨筆寫幾何
11. 從乘法交換律談起

0. 序
1. 生活數學故事
2. 某天下午
3. 外婆的算法
4. 單車與我
5. 果園步道
6. 鴿籠原理
7. 詩與數學的交會
8. 減肥隨想曲
9. 親愛的，我把數學題目變簡單了
10. 隨筆寫幾何
11. 從乘法交換律談起