數學，為什麼是現在這樣子？：一門不教公式...

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第一章 數字的起源

四隻長毛象或更多長毛象？
想像一個原始人正看著一群可能的午餐──水牛，或是毛茸茸的長毛象。這群獵物數量龐大，而獵人既沒數字系統的概念也不會數數，他只知道，不管數量為何，落單的長毛象比較容易下手，而且如果有更多的夥伴，這項狩獵任務會變得更簡單、更安全。在「1」與「多於1」之間、「很多」和「很少」之間有明顯的差別，而這並非數數得來的。

在某些情況下，量化額外的長毛象或額外所需的狩獵人力是會有幫助的，但精確的數目仍非絕對必要，除非獵人想較量彼此的狩獵能力。

嘿！計算
接著，長毛象獵人把他們的牲畜安置妥當。當人們開始圈養動物時，就需要一種記錄方式，以檢視是否所有的綿羊、山羊、犛牛、豬都安全待在圍欄內，最簡單的方法是使用符木（tally）作為記錄，將每一隻動物對應為一個記號或一顆石頭。

這套方法不需要計數便能確認是否少了任何一隻動物，就如同我們可以一眼看出餐桌上一百個用餐位置是否都有用餐的人。此種一對一的對應方式人類在幼年便已習得，小孩子會將幾何形狀的積木放進形狀相應的洞口，或將玩具熊跟床配對等等，這是人類很早就領悟到的集合論基礎：一組物件能夠和另外一組物件做比較。如此一來，我們不需要數目的概念就能簡單處理集合問題，所以早期的農夫不需要計算，就能把卵石從這一堆搬移到另一堆。

對於記錄物件數目的需要促使最早的符號―即文字書寫的前身―出現。考古學家在捷克發現一根有三萬年歷史的狼骨，上面有刻痕，而且刻痕顯然為計數符號，這也是目前所知最早的數學物件。

從二到二的性質
能用來計算羊群數目的符木條（或卵石堆）亦能用做其他用途。如果手上有30 個代表綿羊的籌碼， 他們也能用以表示30 隻山羊、30 條魚或30 天，這些籌碼可能很早就被用來計算時間，例如小孩出生前的月數或天數，或從播種到收成的時間。當人們領悟到「30」的概念可以在物體間轉移並可獨立存在，這便預示了數目概念的來臨。人們不僅知道4 顆蘋果可以以1 人2 顆的方式分給2個人，更發現任何數量為4 個的物件都可以平分成2 組，每組2 個―確切而言，4「就是」2 個2。

在此階段，計數已不只是為了清點數量，而且每個數目都需要一個名稱。


第二章 數字的實際運用

不能說的數字
對數字下達禁令這件事聽起來也許很怪，但是已經發生了幾千年，且至今仍有此事。有些數被認為太難或太危險以致無法得到贊同，而被統治者或數學家放逐，但是，一個被禁的數不可能真正離開，它只是暫時潛入地下而已。

畢達哥拉斯數的淨化
古代希臘數學家畢達哥拉斯不認同無理數，而且在他的學校對負數下禁令。（無理數指的是無法以分數表示的數，所以0.75是有理數，因為它等於3∕4，但是圓周率π就是無理數。）畢達哥拉斯應該要知道這項禁令會引起許多問題，他的定理讓我們能從直角三角形的兩邊長算出第三邊長，但假設只承認有理數，就會立刻出問題，因為當直角三角形的兩邊長為1，其斜邊長便會是無理數 √2 ≒ 1.414。

畢達哥拉斯無法以邏輯方法證明無理數不存在，但是，當希帕索斯（Hippasus ofMetapontum, 約生於西元前五世紀）證明出√2 是無理數，並且與畢達哥拉斯辯駁無理數的存在時，據說他因此被淹死，為畢達哥拉斯所害。根據傳說，希帕索斯在船上展示他的發現，這個不明智之舉讓畢達哥拉斯將他拋出船外。

畢達哥拉斯對無理數的禁令是基於他的美學與哲學觀點。後來，基於政治、經濟和社會等等各種理由，後人也設法將某些數字或某些類型的數字宣布為不合法。

阿拉伯人v.s. 羅馬人
中世紀時期，歐洲對印度－阿拉伯數碼的傳入相當抗拒，但是此一新的數字系統能讓算術變得更容易，這使印度－阿拉伯數碼具有吸引力。印度－阿拉伯數碼使計算變得大眾化，但因為有一部分人希望繼續把持數字計算的使用，以作為精英份子的特別工具，因此使得這套數字系統被妖魔化。如果數學知識變得普及，權力的來源就會喪失，天主教會想藉由對數字的掌控來左右教育，並基於宗教立場反對從伊斯蘭世界來的數字系統，在當時，以算盤來研究數學的數學家是受到教會保護的。反對印度－阿拉伯數碼普及化的聲浪是如此強烈，謠傳當時使用它們的人甚至被當成異教徒燒死在火刑柱上，然而，商人與會計師都想要使用這個新的數字系統，因為那會使他們工作起來更方便，那些以印度－阿拉伯數碼來作運算的演算家（algorist）與那些使用算盤和羅馬數字的算盤家（abacist）交戰了好幾世紀，直到歐洲印刷術的出現，使宗教的管控力量再也無法阻攔算術方法的傳播。

666：獸名數目
許多宗教非常依賴數字象徵符號（number symbolism），並使用特殊的數字方法來解開或藏匿祕密。早期的基督教，羅馬人使用「太陽的幻方」（the Magic Square of the Sun）當作護身符，此幻方是在6×6的正方形中將1到36的數字排放進去，使得每一列、每一行與對角線相加都是111，且全部的數字總和為666。教會禁止人們使用這個數字，因為666代表獸名數目（the Number of the Beast），在《啟示錄》（the Book of Revelation）中被視為上帝的敵人，使用此幻方者會被處以死刑。

向負數說不
文藝復興時期歐洲不認可負數，數學問題的解答如果包含負數通常會被忽略，雖然早期的中國和印度數學家已經用負債的概念來解釋負數的用途，但歐洲的數學家們依然繼續陷於「該不該接納負數」的掙扎中，例如邁克爾 • 斯迪菲爾（見第56 頁）把小於零的數稱為「荒謬的數」（absurd numbers）。法國數學家阿爾伯特 • 紀拉德（Albert Girard, 1595-1632）可能是第一個完全接受解答中有負數的西方學者，但直到十九世紀早期才出現負數的運算基本原則。

危險的數字
666 不是唯一被妖魔化的數字，在中國，使用天安門事件的日期（8964，一九八九年六月四日）當作密碼、身分認證碼或以任何其他可能連結到此事件的形式出現，都是違法的（以自然數列為順序數數時除外）。

在美國，有個十六進位數（有32 位數）取得「不合法數字」的身分，它是將高解析度的DVD 加密的關鍵，因此就技術層面而言，將它公布是違法的（因為藉由適當的裝置，它能用來破解加密的DVD）。先進存取控制系統（Advanced Access Content System, AACS）宣稱，這個數字屬於版權欺詐設備，而擁有版權欺詐設備違反了美國於一九九八年通過的〈數位千禧年著作權法案〉（Digital Millennium Copyright Act），然而，在它被揭露的瞬間，這個「祕密」數字便在300,000 個網站上公開，試圖從公開領域將它移除顯然徒勞無功。

AACS 也宣稱他們有許多用於加密的數字的所有權，但是不肯說出是哪些數字（這些數字之所以有用就是因為它們是祕密）。這些「特別數」的特別之處在於它們一點都不特別，因為它們是亂數產生的。但想也知道，對數字有「所有權」並禁止他人知道或使用，這件事本身能引來多少反抗，許多電腦狂熱者因此爭先恐後宣布自己所擁有的號碼，並不准其他人使用，以此來報復並嘲笑AACS。


第三章 事物的形狀

土地問題
早在有文字記載以前，先民就已經解決了許多興蓋建築物時必須處理的幾何問題。蘇美人、巴比倫人和埃及人對於計算平面圖形與立體物體的長度、面積、體積等問題，已經非常熟練。根據史料記載，在西元前三一○○年左右，埃及人和巴比倫人就已經有一套數學規則，用於測量容器、丈量土地或是興建建築；而建於西元前二六五○年的吉薩大金字塔，也顯示埃及人對幾何學有一定程度的掌握。

希臘歷史學家希羅多德（Herodotus,484-425BC）曾經提道，因為每年尼羅河的定期氾濫後，原有畫分土地所有權範圍的界線會消失，因此促使埃及人發展出精確的土地丈量能力。他們利用基準點與土地丈量的技術以恢復界線。埃及的幾何學家也被稱為「拉繩索的人」（rope-stretcher），因為他們利用繩索測量或標定距離和形狀；相同的技術也用在：為建築物畫定地基，或在氾濫後重新畫定土地產權。

寫下來
目前已知最早的數學史料是埃及的阿美斯紙草書（Ahmes papyrus，有時稱為萊因德紙草書Rhind papyrus）。大約在西元前一六五○年，由阿美斯抄寫自一份更古老的數學文件，這份文件至少早於阿美斯紙草書兩百年，且很可能包含更古老的資料。阿美斯紙草書寫於莎草紙書卷上，寬33 公分，長超過5 公尺，上載84 個數學問題，主題包含算術、代數、幾何，也有度量衡問題，有些問題相當具象且貼近現實生活，例如：「一塊圓形土地的直徑為9 凱特（khet）， 面積為何？」同時期的莫斯科紙草書（Moscowpapyrus）也記載類似問題，比方如何計算部分金字塔體積。

因為埃及的數學作品皆書寫於材質脆弱的莎草紙上，因此只有一小部分得以留存後世。生活在肥沃的底格里斯河和幼發拉底河流域的美索不達米亞人，則書寫於烘烤過的泥板上，較不易損壞，因此留存下來的泥板超過十萬塊。其中一塊載明直角三角形斜邊計算方式的泥板，可上溯至西元前一八○○年至西元前一六五○年。這系列的泥板也記載計算矩形、三角形和圓面積的方法；也討論距離，例如，討論斜靠牆邊的梯子滑落時梯腳所移動的距離；泥板中也記載了 √2 的近似值，且可準確到小數點後第五位。巴比倫的數字進位制比埃及的系統更適合各種類型的計算，不過，究竟是對數目的興趣推動更好的數字系統發展，還是較好的數字系統促進了對數目的興趣，實在很難判定。

異於埃及人，巴比倫人似乎已有普遍原則的概念：給定某些條件，某些數學敘述在任何情況下都成立。舉例而言，據泥板記載，巴比倫數學家已經導出正方形邊長與對角線的比，即1： √2 ；也就是說，只要將任一個正方形的邊長乘上 √2 ，就能算出其對角線的長度。

然而，不管是埃及人或是巴比倫人，都不重視精準度，甚至有點不以為意；有時候他們可以算出精確的答案，但其他時候，他們使用近似的方法來算面積，卻從未提及計算結果並不精確。

數學家的誕生
埃及與巴比倫數學家幾乎只對特定的實際問題有興趣，稍晚的古希臘是第一個對純粹抽象問題感興趣的文明。西元前兩千年左右，古希臘人的祖先從北方進入希臘半島，至西元前八○○年，古希臘文明的勢力已不可忽視，他們遠行至埃及與美索不達米亞地區，進行貿易的同時也學習他們的文明。

過去從沒人提及希臘數學，直到西元前六世紀，希臘先後出現了幾位重要人物：來自米利都的泰利斯（Thales of Miletus, 624-546 BC） 與畢達哥拉斯（Pythagoras, 580-500 BC）。西元前約五七五年，泰利斯將巴比倫數學傳入希臘，後人稱他為「第一位數學家」，因為他開始「提出定理並證明之」―儘管他是否真的做過這些事已不可考。我們對泰利斯的認識僅限於後世對他的傳頌，現在已無法考證他是否與這麼崇高的地位相稱。以他為名的數學定理―泰利斯定理（the Theorem of Thales）中記載「內接於半圓的任何角都是直角（90°）」，這個觀念一千年前的巴比倫人即已熟知，泰利斯很可能是在美索不達米亞學到的。可惜的是，泰利斯對於這個定理的證明（如果有的話）並未留傳下來。

在泰利斯死後九○○年，普洛克拉斯（Proclus, 410-485 BC）將以下幾項基本的幾何定理歸功於他：
● 任何一直徑都能平分一個圓
● 等腰三角形的兩個底角相等
● 兩相交直線的對角相等
● 若兩個三角形所對應的兩角與一邊都相等，則兩個三角形全等（即大小與形狀相同）

雖然後人稱泰利斯為第一位數學家，但「數學之父」的頭銜則是給了五十年後出現的畢達哥拉斯，他或許是最為人所熟知的希臘數學家，如果你沒有學過著名的畢氏定理，那你肯定無法通過學校的數學考試！畢氏定理指出在一個直角三角形中，斜邊長的平方等於另外兩邊長的平方和。

然而，畢氏定理很可能不是由他本人所發現的，而是由畢氏學派的弟子們共同提出的。與泰利斯的情況相同，畢達哥拉斯並沒有任何著作留傳下來，我們只能從後世的描述與傳頌中，推敲畢氏的貢獻（因此畢氏定理也很可能是先前數學家的突破性貢獻）。

畢氏學派是一個神祕的兄弟會組織，他們共享研究的成果並禁止口傳於外，因此，現今不太可能去考據每一個貢獻該歸功於哪個特定的人。畢氏學派探究數字和數列的表現形態與性質，並深以此為樂，他們相信數字是所有事物的核心。在畢達哥拉斯過世後，畢氏學派仍持續運作許多年。


第七章 數字的用途和娛樂

機率遊戲
機率是指事件發生的機會或可能性，在十七世紀時因為一場賭局而進入數學範疇。雖然卡當諾在一五二○年代就寫了關於機率遊戲的書（見第132 至133 頁），但直到一六三三年才出版，因此輸給了費馬和巴斯卡。費馬和巴斯卡在往來的書信中討論起一名叫默勒（Chevalier de Méré）的賭徒所提出的問題：

兩名玩家玩純粹機率的遊戲，兩人各出賭金32 枚金幣，先贏三局的人可以帶走全部賭金。然而，三局後比賽因故終止，玩家A 贏兩局，玩家B 贏一局，請問此時要如何分賭金才公平？

兩位數學家都認為玩家A 與玩家B 的賭金分配是3:1，但各自採取不同解法。

費馬以機率計算答案，他認為只需要再加賽兩局便可分出輸贏，這兩場的贏家有四種可能：AA、AB、BA、BB，只有在最後一種情形下B 才能成為贏家，所以他有四分之一的機會獲勝，應分得四分之一的賭金。巴斯卡提出的解法則是根據期望值（expectation），若下一局是B 贏，則A 與B 各有一半機率能贏得32 枚金幣；若下一局是A 贏，則贏家非A 莫屬，因為他已經贏得兩局。這麼說來，A 應得到48 枚金幣，而B 應得到16 枚金幣，得出的結果與費馬相同。巴斯卡處理機率的方法得到數學家一致認同。

一切都是公平的⋯
雖然機率遊戲持續引發數學家的興趣，另一個引起數學家研究機率的動力，則來自於制定公平合約的法律問題。在一個公平的合約中，任何一方都有相同的期望值，這在金錢借貸中是相當重要的核心概念，基督教禁止從金錢借貸中獲取高額利益，因此，貸方被視為投資者，要自己承擔借錢的風險，但也因此可以正當地期待部分獲利。

在十七世紀以前，借貸與年金的利率都是固定的，完全不考慮任何關於風險的概念或計算方法。第一篇計算風險的專著出現在一六七一年的荷蘭，作者是偉特（Jan deWit, 1625-1672），他在諮詢過惠更斯後寫成此書。當時的年金是由國家發售，目的通常是為了籌措戰爭經費，利息則一直訂為年金的七分之一，政府會持續給付直到持有者過世，但持有者的年紀或健康狀況並未納入考慮， 政府很顯然並沒有評估必須給付的時間有多長，而這數目可能不小。

然而，儘管偉特能夠看出這個系統的缺失，但由於沒有平均壽命的資料，能做的改善措施很少，真正做到的更是極少。直到一七六二年，一家名為公正公司（Equitable）的倫敦的保險公司，才開始基於計算過的風險或機率來制定保險價格。

就機率而言，上帝存在
直到十八世紀，機率才成為一個數學觀念，但是至十九世紀為止，機率卻仍普遍被視為基於常識的一種模糊概念。法國數學家拉普拉斯（Pierre-Simon de Laplace）將機率稱為「以計算來表達的良好判斷力」。

有趣的是，在十八世紀時，機率和宗教之間的連結變成自然神學的主題。約翰 • 阿布斯諾特（John Arbuthnot, 1667-1735） 根據倫敦在一六二九到一七一○年間所進行的洗禮儀式所得出的統計資料，提出上帝確實存在的證據，他表示男孩的出生率比女孩高一些，接受洗禮的男女孩比例為14:13，然而到了適婚年紀，性別比即呈現平衡狀態，因為年輕男性的死亡率較高。如果我們假設男孩出生的機率為0.5，那麼未來82 年間，每一年男孩出生率都大於女孩的機率即為（0.5）82，這種男孩出生率比女孩高的現象世界各地皆有，阿布斯諾特因而視此為上帝天意的確鑿證據，以使社會保持完美平衡（但他似乎沒有意識到，也有其他能達到完美平衡且無須使這麼多男孩喪生的方法，如此可以避免許多父母遭受喪子的痛苦）。他的觀點逐漸受到採用和修正，但比較理性的瑞士數學家尼可拉斯•伯努利（Nicolas Bernoulli, 1695-1726）認為男孩的出生率或許不是0.5 而是0.5169，如此一來不需要神的干預，就能產生正確的所需結果。

做出決定
就像巴斯卡的賭注，許多決策不僅可能受到對機率的認知影響，也可能因為主觀上想要得到某種結果而受到干涉，或是被人們所熟知的邊際效用（marginal utility）干擾。想像一下，全國性樂透一張值一枚達克特（ducat，十八世紀歐洲普遍使用的硬幣），而頭獎為一百萬枚達克特。對窮人而言，一枚達克特十分貴重，而獎金更是如此；對富人而言，一枚達克特根本無關緊要，但獎金對他而言還算誘人。相對於窮人而言，富人比較有能力負擔一枚達克特的賭注，但他並不怎麼需要獎金，所以可能也比較不在意是否要買樂透。雖然窮人和富人購買一張樂透的中獎機率相同，但是對於購買樂透的決定可就大相逕庭。

在一七五○與一七六○年代，天花的預防接種是熱門的議題，因為預防接種使用的是活體天花病毒，而少數個案會染上天花（從母牛身上產生的牛痘疫苗是之後才引進的，較為安全）。天花在當時相當普遍，而且通常會致命，即使沒有奪走性命，基本上也會導致終身的傷害，例如眼盲或腦部受損。沒有接種疫苗的人日後會暴露於高風險中，其中有七分之一的機率會因此死亡，有接種疫苗的人在感染天花時比較不容易直接死於此病，之後證明接種者不會死於天花。丹尼爾•伯努利（Daniel Bernoulli, 1700-1782）利用純粹數學計算，建議預防接種是唯一明智的抉擇，但是，法國數學家達朗伯特及其他人則認為，比起未來的安全，多數人可能寧願選擇現在多活一、兩週。

第一章 數字的起源

四隻長毛象或更多長毛象？
想像一個原始人正看著一群可能的午餐──水牛，或是毛茸茸的長毛象。這群獵物數量龐大，而獵人既沒數字系統的概念也不會數數，他只知道，不管數量為何，落單的長毛象比較容易下手，而且如果有更多的夥伴，這項狩獵任務會變得更簡單、更安全。在「1」與「多於1」之間、「很多」和「很少」之間有明顯的差別，而這並非數數得來的。

在某些情況下，量化額外的長毛象或額外所需的狩獵人力是會有幫助的，但精確的數目仍非絕對必要，除非獵人想較量彼此的狩獵能力。

嘿！計算
接著，長毛象...

前言 數字的魔術

第一章 數字的起源
數字從哪裡來？ ● 數字與進位 ● 更多的數字，有大有小

第二章 數字的實際運用
兩兩一組 ● 特殊的數字和數列 ● 不能說的數字

第三章 事物的形狀
測量每件事物 ● 早期幾何學 ● 三角學

第四章 圓圓不絕
曲線、圓和圓錐曲線 ● 立體幾何 ● 看見世界 ● 其他的世界

第五章 神奇的公式
古代世界中的代數 ● 代數的誕生 ● 寫下方程式 ● 代數的時代 ● 這世界，永遠都不夠

第六章 掌握無限
與無限共處 ● 微積分的崛起 ● 不只微積分

第七章 數字的用途和娛樂
高興點！一切可能從未發生 ● 樣本和統計學 ● 統計數學

第八章 數字的毀滅
集合論 ● 愈漸模糊

第九章 證明吧
問題與證明 ● 合乎邏輯 ● 我們到底在談論什麼？

前言 數字的魔術

第一章 數字的起源
數字從哪裡來？ ● 數字與進位 ● 更多的數字，有大有小

第二章 數字的實際運用
兩兩一組 ● 特殊的數字和數列 ● 不能說的數字

第三章 事物的形狀
測量每件事物 ● 早期幾何學 ● 三角學

第四章 圓圓不絕
曲線、圓和圓錐曲線 ● 立體幾何 ● 看見世界 ● 其他的世界

第五章 神奇的公式
古代世界中的代數 ● 代數的誕生 ● 寫下方程式 ● 代數的時代 ● 這世界，永遠都不夠

第六章 掌握無限
與無限共處 ● 微積分的崛起 ● 不只微積分

第七章 數字的用途和娛樂
高興點！...