名人推薦：「伯林斯基在本書中探討了數學的『共通物』：自然數、0、負數和分數……對範疇廣泛的概念進行絲絲入扣的探索，讓這部作品精采生動。」――《圖書館學期刊》（Library Journal）

「一位數學家的精心傑作，以求知若渴和邏輯的心智……來釐清數學主要分支之一的基礎和美。」――《科克斯書評》（Kirkus Book Reviews）

「伯林斯基以廣博的文化涵養和豐富的幽默感，檢視了數學的一些基本概念……一場閱讀饗宴！」――賈汀（Gregory Chaitin），《超數學的世界》（Meta Math!）作者

「伯林斯基以機敏又富哲思的筆法，符號與歷史的...

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一隻羊、兩隻羊、三隻羊。成群的羊毛堆……

數

自然數1、2、3……在我們的日常事務中扮演了雙重角色。沒有這些自然數，我們無法計數，也就無法回答有多少？這個問題。一個人如果無法說出他看到一隻羊還是兩隻羊，表示他沒辦法辨識羊。他看到的只是一大堆在走動的羊毛。有了自然數，他就不會再「目中無羊」。12世紀時夏爾特的希瑞（Thierry of Chartres）曾說道：「數的創造，事物的創造。」

計數讓事物具備自己的身分（identity），同時賦予事物差異性。三隻羊代表三個事物。自然數體現了區別性和獨特性。畢竟，1與2之間什麼都沒有，而不同的事物無論在各個方面有多麼相似，彼此之間同樣什麼也沒有。自然數之間的離散性就像我們皮膚的表層一樣是絕對的，允許接觸，無法相互混合。

當然，世界上有些東西是無法計數的，例如泥巴。「泥巴」一詞似乎可以指涉在任何地方、以任何方式被發現的泥巴。但智性衝動讓我們總希望可以計數所有東西，所以日常英文提供了用以計數的工具，甚至可以藉由這些工具來計算泥巴數，例如一點兒泥巴、一小坨泥巴或一堆泥巴，因此可以說一點兒、兩小坨或三堆。用來計算羊隻的1、2、3，也可以用以形容泥巴多寡。自然數讓某個披著皮衣、雙頰凹陷、嘴嘟兩顆金牙的西班牙牧羊人，得以使他的羊群及乃至他的生活井然有序。
這些牧羊人會說，兄弟們，第一隻是我的，第二隻是你的，第三隻是他的。

抄寫技藝

五千多年前，沙漠太陽初升、萬物未朽時，蘇美人就教導他們的孩子「超基礎數學」。蘇美小孩學習基礎概念；他們的老師則已掌握精髓。他們發現這並不容易。蘇美抄寫員自小開始學習經年，以便把稅收紀錄、商業交易、法律規範、房地產交易刻寫在泥板上。他們對數學的嫻熟運用是歷史上所留下最早的相關紀錄。
他們不會為覺得自己未達天職所苦。一位抄寫員寫道：「抄寫技藝是大師之父。」
他補充說，僅只抄寫員本身就能「撰寫〔銘刻〕碑文；劃分田地，結清帳目」。
文本中有一處空白，使敘述中斷。
接著是一個前後被隔開的短句，顯示出這位抄寫員的崇高智識：……宮殿……。
接近西元前2000年時，蘇美帝國逐漸沒入沙漠沙土中，最終被時間擊垮。我想隨著世局或其他某種熱烈的思潮，讓中國人習得這種嫻熟「超基礎數學」的抄寫運用，這種對象形文字的嶄新運用讓他們沉醉，之後巴比倫人也學會了，於是在古文明各地都可看到這種數學運用。
不同的社會各自以自己的方式、針對各自的目的運用「超基礎數學」。每個社會都遺漏了某些東西，而且沒有一個社會，包括我們現在的社會，知道所有的一切。

局外人

1823年，克羅內克（Leopold Kronecker）出生於東普魯士小鎮利格尼茨（Liegnitz）。1944年底，利格尼茨遭俄國坦克占領，現更名為萊格尼察（Legnica），位於波蘭境內。東普魯士已不復存在。

你很難在照片上看清楚克羅內克的面容。刺眼的光線和延長曝光，使得臉部線條變得陰暗。剛毅的皺紋顯示出他與雪曼將軍（General William Tecumseh Sherman，美國南北戰爭北部聯邦軍將領）之間未被承認的血緣關係。兩人都是高額，近乎平頭的短髮；眼窩深凹，眼神陰鬱。從所有這些特徵看來，克羅內克無疑是純正的普魯士人，低調自制，但他的鼻子卻清楚明白地展現出超群不凡的一面，驕傲地在兩頰之間挺立著，再彎向凹溝狀的鼻尖。

我這樣描述不是為了嘲笑別人的鼻子，畢竟我自己也有個讓我原形畢露的鼻子，而是為了說明克羅內克有本事一方面表現得特立獨行，同時又能與其他數學家融合。克羅內克是思想史上的稀有動物，一位數學懷疑論者，對於他無法完全理解的想法，不輕易表露支持的態度，而他很快就推斷出他無法百分之百地理解大多數數學概念。縱然「陰鬱的克羅內克」以表達不支持著稱――不支持負數、不支持實數、不支持集合――他對自然數表達的支持眾所周知，對於這些歷史悠久的思想和經驗客體表達了堅定的支持，這項支持發展成包括運用自然數以有限的一連串步驟得出的任何數學建構。

表達無數不支持的克羅內克，與表達單一支持的克羅內克，兩者合為獨一人格：溫文、順從又自滿。
克羅內克二十多歲時從商，在他舅舅位於東普魯士的房地產公司擔任主管。他在商業實務上極有天分，僅僅八年時間便成為富翁。之後他在柏林購置華宅，與舅舅的女兒普勞絲妮澤（Fanny Prausnitzer）結婚後，這座宅第成為文化和高尚生活的中心。
龐大的財富使克羅內克對於歐洲頂尖數學家愛玩的大風吹遊戲絲毫不感興趣，一旦席位很少的教授職位有空缺，便有一堆人搶著要。音樂一停，他們就粗莽地爭先恐後搶空位。無可避免地，大多數人失望告終。像是鼎鼎大名的數學家康托爾（Georg Cantor）為了柏林的教授職位空等多年，最後仍無法達成願望。

克羅內克先生對於成為教授先生興趣缺缺。他不需要爭搶教授的位置，更不需為了生活搶取位置。他所沒有且真正想要的是在柏林大學講課。他的論文致力於數論、橢圓函數和代數的研究，極為突出，卻不具革命性。他在1861年獲選進入柏林科學院，因而得以在柏林大學講課。
雖然他並未努力力爭上游，卻已成為頂尖人物。一旦躋身名家，克羅內克便決心糾纏那些他不認同的人。他對此樂此不疲。

在一切人類心智中

人類歷史初始時，一位新石器時代的獵人在他的斧柄上鑿了幾道砍痕或刻痕。他在記錄獵殺的野牛嗎？我不知道。我寧願這麼想，身為我的祖先，他性好沉思默想，並將數字視為物自身（things in themselves），把那些醃燻野牛留給對手。
如果自然數在人類歷史初始時便出現，那麼它們也同時出現在一切人類心智中。否則我們就無法學習算術了。人類學家往往對不同社會用以使最基本的經驗事實條理井然，所採行的完全不可共量（incommensurable）的方式，感到驚奇。據說體驗這一點是旅行的樂趣之一。儘管如此，我們所說的1、2、3，拉丁文的unus、duo、tres，以及阿卡德語（Akkadian）的dis、min、es等，指的正是相同的數字。縱然羊眼在蘇丹首都喀土穆（Khartoum）是佳餚，在紐約卻非美食，但在這兩個城市中三隻羊眼無疑都比兩隻羊眼多一隻。
因為自然數一體通用，所以極少讓我們反思這些數。我們將自然數視為理所當然。沒有自然數，我們會不知所措。
自然數就是自然數。
自然數是什麼，完全是另一個問題。
英國邏輯學家和哲學家羅素（Bertrand Russell）強烈激昂地反對一次大戰，他利用做為拒服兵役者而遭監禁的機會，系統化他對數的本質的看法。或許有人認為羅素是在苦行的情況下寫作，但他在其著作《羅素自傳》（Autobiography）中指出，除了沒有自由之外，獄卒提供他一切便利。

羅素在獄中所寫的《數學哲學導論》（Introduction to Mathematical Philosophy）是一部邏輯分析著作。這本書深深影響了數學家和哲學家，因為它以自然數以外的某種東西來說明自然數。羅素堅信這樣的說明有其必要，因為數在本質上是「難以理解的」，而且雖然在最尋常的活動中都能察覺數的作用――要知道，數羊時就會用到數字――它們的作用仍遠比它們如何發揮作用容易確定。
首先，數字不是實體物件。它們根本不是物件。三隻羊在牧草地上。除了羊之外，並沒有三個數字在晃蕩吃草。
然而，這裡也沒有實體物件的數字的性質。三隻羊的隻數是3，就像牠們的顏色是白色一樣。這個步驟方向正確。但要論證隻數是3，就像要說顏色是白色一樣，會引發使三隻羊的隻數成為3的性質究竟是什麼的問題。我們知道使牠們是白色的性質是什麼：就是牠們的顏色。如果說使牠們的隻數成為3的性質是牠們的數字，似乎算不上有進展。如果我們知道數是什麼，就可以知道牠們共計3隻是什麼意思。
針對是什麼使三隻羊的隻數是3這個問題，羅素認為，這三隻羊與其他三個事物的集合相似，例如三胞胎、三巨頭或三重奏。這點顯而易見。三隻羊與三位牧羊人是一樣的。它們都是三個。羅素接著證明，不需要借助數字3，就可以解釋它們一樣都是三個。這個步驟至關重要。如果每位牧羊人可以與一隻且只一隻羊配對，反之亦然，則三隻羊與三位牧羊人是一樣的。不需要數字就能知道。每隻羊都與一位牧羊人成對，且每一位牧羊人都與一隻羊成對。

這項論證很巧妙，卻也讓人失望。為了便於解釋類似的集合，數字3注定會消失，但究竟是什麼讓一個三隻羊的集合成為隻數3的羊的集合，而不是隻數4？四位牧羊人與四隻羊也可以組合對應，使得沒有東西剩下來，沒有羊也沒有牧羊人被遺漏。顯而易見的答案是，四隻羊的集合比三隻羊的集合大。
事實上，正好多1隻羊。

妻子、山羊、數

自然數從1開始，逐次加1，然後一直延續到無限大。了解自然數的這項特性是民族的遺贈。的確，人類學家指出，某些部落沒有關於數的完整觀念。他們的計數方式是1、2、很多，提到任一大於2的數字時便愁眉地說那是很多。一位崇高的酋長可能會說有一位酋長、兩隻山羊、很多妻子。
我很懷疑這類敘述，因為我非常確定如果拐走酋長的一個妻子，一定會讓酋長注意到他擁有的很多妻子少了一個。如果他能確定自己擁有的妻子比他所需要的少一個，他同樣能確定自己擁有的妻子比他所想要的多一個。因此，迫於部落生活的急切需求，他可以累加細數自己接續不斷的不滿：很多妻子、比很多多一個妻子、比很多多一個多一個妻子，依此朝堂而皇之的家庭夢魘發展。
反言之，他可以累減到至最少的數字1，此時他可以讓他愛爭吵的妻子數與酋長數相當――兩者都是1。這樣的數字系統確實相當費力，但腦力勞動者往往不太關心現實考量。

上帝的工作

如果解釋數是什麼很困難，那麼要說明如何運用數同樣非易事。計數數量不多的羊最常見的方式是握拳再伸展手指，數一隻羊就伸一根手指；我們想數羊時都是這麼做的。但用這種方式解釋數羊有個缺點，就是儘管我們對數手指再熟悉不過，解釋數手指並不比解釋數羊更容易。我們應該借助一次數一隻羊的方式來解釋如何數三隻羊嗎，每次做一個具體動作來說明計數1，例如把那些羊一隻一隻從牧草地上移到牧場內？這種解釋方式很吸引人。某件事正完成中，而當這件事已完成，某人就完成了某件事。但顯而易見地，如果我們想了解數三隻羊是什麼意思，告訴我們必須先一次數一隻羊地數三次，很難讓我們更清楚了解這件事。適用於計數的解釋也適用於排序，就像牧羊人用他們妙用無窮的手指解釋第一隻羊在第二隻羊之前走進牧場，而第二隻羊在第三隻羊之前走進牧場。手指猛力伸出：第一隻、第二隻、第三隻。然而，如果羊以某種特定順序行進，就很難說手指的排序可以與羊群中的排序相同。如果手指的排序與羊群中的排序不同，手指的作用是什麼？如果兩者排序相同，這個類比的作用又是什麼？
在某個時間點，或許就是現在，可以合理地認為，沒有數或運算，而以某種更基本的東西取代來進行分析，是不可能的。數就是最基本的東西。可以更清楚地了解數；可以更清楚地描述數；但數本身無法變得更清楚。
克羅內克評論道，自然數是上帝的禮物。其他一切都是人造的。這個想法很激進，一方面承認自然數無法解釋，另一方面指出數學家固有的工作必須接受這份奇特的禮物，並且由這份禮物推導所有其他東西。
了解到我們在「超基礎數學」中正在做上帝的工作，令人欣慰。

5
數學是冷酷的大師，而邏輯更加冷酷。這是普遍的認知，不過也離事實不遠。

冷酷的大師

1079年，阿伯拉（Pierre Abélard）出生於現今的布列塔尼；而做為中世紀盛期（High Middle Ages, c. 1050-1300）最重要的邏輯學家，他正好處於邏輯史上兩個重要時期的交接點，第一個時期在古希臘，第二個時期在19世紀和20世紀的歐洲。他出身於低階貴族家庭，由於身為長子，他被期待成為軍人，後來他寫道，因為他比較喜歡「戰利品爭論的衝突」，所以拒絕了這個職業。其後，阿伯拉在主要是經院哲學家羅塞林（Jean Roscelin）的帶領下開始接觸11世紀哲學。完成學業之後，阿伯拉漫遊羅亞爾河流域，如他所言：「只要聽到有人對於辯證藝術有強烈興趣，就會像一個真正的逍遙學派哲學家一樣與人爭論。」
「最後我到了巴黎。」阿伯拉寫道。當時巴黎就像今日一樣，散發著魅力且名氣響亮，吸引吟遊詩人和詩人、邏輯學家和哲學家、建築師、工匠、石匠、金匠、誇誇其談的高級教士、追逐大教堂合約的投資者，以及為數眾多的娼妓、流浪漢、下層階級、寄生蟲、廢人、輕罪犯、耍戲法者、巫師、占星家、低階神職人員、浪蕩貴族、異教徒，當然也少不了駝子。
將自己的流浪圈轉移到流浪者的中心之後，阿伯拉立刻開始指責他的鄉下老師羅塞林的看法。關於羅塞林宣揚的學說具體內容，目前所知不多。羅塞林被稱為唯名論者，堅信文字，因此成為哲學上的極簡派。柏拉圖和其他許多人認為紅色的、良好的、勇敢的、忠誠的和多毛的等詞只是用來表示共相（universal）或柏拉圖形式（Platonic form）時所使用的名稱，羅塞林則停留在邊緣，認為文字除了本身之外，不具有其他意義。他在1092年被宣告為異端，並放逐到英格蘭。天主教會明智地公告，任何人只要有懷疑共相存在的傾向，就表示他懷疑三位一體。阿伯拉對羅塞林的批評跟著載送羅塞林的大艇或小艇，橫越波濤洶湧的英吉利海峽。面對英格蘭的海岸時，他的憤慨也愈來愈強烈，阿伯拉的批評對他有如芒刺在背。
「如果你曾品嚐到一點點基督宗教的甜美」，羅塞林後來寫道，而接下來是教師常有的抱怨，也就是他們總是痛苦地發現學生不再在乎從他們的教誨中獲得的「良多獲益」。
當時還沒有大學。沒有學位。沒有委員會。沒有教授職位。沒有終身職。學校是教師自己設立的。他們辛苦地爬上山坡，站在一排排學生面前，對著空氣上課。阿伯拉認為同時代的人都是十足的笨蛋。「我開始認為自己是全世界唯一的哲學家，其他人都無可懼怕。」他寫道。阿伯拉日後之所以能有如此高的名聲，很大一部分得歸功於刻意遇見年紀較長、成就較高的哲學家尚波的威廉（William of Champeaux），如阿伯拉所言，他是「這個領域的最高宗師」。威廉是巴黎的副主教及聖母院修道院學校的校長，一個知名又令人震懾的重要人物，能夠機敏地表達哲學態度，卻絲毫無法以容易理解的方式來為自己的態度辯護，這種不值稱羨的能力使他的聲名大受影響。如果說羅塞林否定了共相的存在，威廉則是重新確認共相的存在。他緩緩而慎重地搖著光禿禿的腦袋，堅持正義、人性、良善、潔白和美麗就像蘇格拉底或亞里斯多德一樣真實，蘇格拉底是人這個命題指謂的是蘇格拉底這個真實存在的個人，並且指涉他的人性。
講堂後方爆出一陣緊張不安像是咳嗽的哼聲。阿伯拉搖搖晃晃地站起來。他問道，若蘇格拉底是人，且亞里斯多德是人，則在兩人上的人性相同嗎？
威廉不太清楚該說什麼，最後說道：「在共相存在的世界裡，整個物種〔是〕在其每一個個體上實質上都相同……」於是阿伯拉再度逼問可憐而困窘的威廉，他的教鞭正憤怒地揮著，從一件荒謬之事到另一件，最後斷定，如果依照威廉的看法，蘇格拉底跟一頭驢子完全相同。「雖然他〔威廉〕剛開始很歡迎我，」阿伯拉寫道：「但很快就非常討厭我，因為我開始反駁他的某些論證，而且經常跟他唱反調。」
據同時代人所稱，12世紀初始二十年間，阿伯拉的身影遍及巴黎各處，談天、寫作、演講，而且通常伸出緊繃的食指，戳著許多退縮和挺起的胸膛，他的邏輯技巧已十分純熟，似乎連他呼吸的空氣，都能在不斷劃分下切成一片片。聆聽阿伯拉演講時，神學家拉昂的安瑟倫（Anselm of Laon）似乎也變得「瘋狂妒忌」。阿伯拉將這個情況歸咎於各種可能的原因，除了他已經開始採取的行動之外。

廢墟

「自人類伊始，」阿伯拉在其自傳《我的災難人生》（Historia Calamitatum）中帶點粗暴地提到：「女性〔已〕將最高貴之人帶入廢墟。」
「當時在巴黎，」阿伯拉寫道：「有個年輕女孩叫哀綠綺思。」
哀綠綺思生於1100年，成長在巴黎外圍某個地方，並在阿讓特伊（Argenteuil）的聖母修道院接受教育，從女孩隱沒慢慢變為女子，阿伯拉也從毛躁的青少年變成男人。我想這是雙雙蛹化，這種情況完全符合亞里斯多德對於偶然事件（chance event）的看法，就像那些獲得自由的蝴蝶在飛行時相遇。我可能曾經透過窗戶看見他倆。哀綠綺思迅疾行經，輕快地朝某個方向前進；膚色黝黑、衣著寬大的阿伯拉，身上的黑色長衣拍動著，正緩緩地從另一頭朝她走來。她輕快地走著，他突然站定，再次細看，這個男子的感官一瞬間被完全占據。他立刻「全身燃燒著對這個女孩的慾望」。哀綠綺思和叔父福貝特教士（Canon Fulbert）同住在碼頭的一棟房子裡。原始建築大半已毀損，因為幾支堅固耐久的中世紀木材而保存下來，但還有個標誌足以記念這個許久以前發生在那裡的浪漫非凡的故事。透過一連串的追求行動，將阿伯拉從學院的邏輯學家變成身邊的情人。「我有著年輕和俊秀的外表，還有他人給予我的名望。」他寫道。還提到了一些共同的朋友。他們注意到阿伯拉做為教師的卓越聲名，以及他堅定的自制力。「我們合而為一。」阿伯拉寫道：「先是在一棟屋子裡，接著在心中，於是，我們以上課為託辭，完全讓自己放縱在愛情中。」
福貝特叔叔雖然從未以其智識著稱，也必定在某個時點注意到有呻吟聲和心煩意亂的咕噥聲從上方的閣樓傳來，閣樓裡有著稻草棧板、被煙熏黑的牆，那些小小的窗戶俯視著下方混濁的河流。但是他的理解能力顯然比較差。阿伯拉滿意地引用聖傑羅姆（Saint Jerome）的話寫道：「我們總是最後才知道自己家裡的魔鬼。」但如果福貝特聞不到煙味，相信最後也會看到火光，正如阿伯拉不算含蓄卻帶著點頑固自尊的說法，主要因為他和哀綠綺思「被當場抓到」。
「我倆都會毀滅。」根據阿伯拉引用的內容，哀綠綺思明晰地說：「留給我們的只有和我們的愛同樣深沉的痛苦。」
她說得沒錯。他們的熱情使他們引火焚身。阿伯拉與哀綠綺思分離又重聚。他們的故事和藉口愈來愈精巧；而整個過程中，福貝特叔叔飽受事件煩擾，又無力控制他們，生氣、震怒、受騙、欺瞞交織，最後憤怒難抑，找來一幫流氓採取行動，駭人地閹割了阿伯拉。其後，阿伯拉和哀綠綺思都投身宗教生活。阿伯拉是因為無法構思另一項計畫，哀綠綺思則是因為阿伯拉而被迫如此。她進入修道院大半不是出於自願，很清楚他們會讓她在修道院終老，而後來確實如此。
阿伯拉後來心灰意冷，就如他個性中的一部分。他在一連串長期爭執中度過餘生。哀綠綺思不願放棄這段為她帶來光輝的愛情，她在給阿伯拉的信中加了每一位情人都知道的那句懇求：「哦，想著我，勿忘我。」
而接著是：「永遠再見了！」

1
一隻羊、兩隻羊、三隻羊。成群的羊毛堆……

數

自然數1、2、3……在我們的日常事務中扮演了雙重角色。沒有這些自然數，我們無法計數，也就無法回答有多少？這個問題。一個人如果無法說出他看到一隻羊還是兩隻羊，表示他沒辦法辨識羊。他看到的只是一大堆在走動的羊毛。有了自然數，他就不會再「目中無羊」。12世紀時夏爾特的希瑞（Thierry of Chartres）曾說道：「數的創造，事物的創造。」

計數讓事物具備自己的身分（identity），同時賦予事物差異性。三隻羊代表三個事物。自然數體現了區別性和獨特性。畢竟，1與2之間什麼都...

緒論

這本小書的主題是超基礎數學（absolutely elementary mathematics, AEM）；也就是說，本書談的是自然數、0、負數和分數。這不是一本教科書，不是專門論著，也非參考書。我希望以這本書做為我其他數學書籍的支柱。
數學家向來設想數學就像一個城市，城市天際線矗立著三座雄偉的高塔，如同一個強大智識文化各領域的掌管者――恰如我們現在的文化一樣。這三座雄偉的建物分別致力於「幾何」、「分析」和「代數」，探究的對象各是空間、時間及符號和結構。
這些建物就像巴比倫的寶塔，散發出神聖的氛圍。
它們所立足的共同基礎一樣很神聖，因為人類足跡雜沓而顯得神聖。
這就是超基礎數學的領域。
數學中有許多領域散發著迷人的光采，這些領域都很奇特。基礎數學一方面讓我們想到尋常可見的日常事物，例如支付帳單、標記生日、劃分債務、切割麵包和測量距離，都是些再實際不過的事。假設明天教科書都沒了，書中的珍貴知識也隨之消失，微積分大概要過幾百年才會重新被發現，但我們的債務只要幾天就會再度被提到，而用來表示債務的數字也會跟著出現。
研究經常會學到且有時會用到的基礎數學，必須沉浸在混雜之中。耐心是必備條件，樂趣則不會那麼快出現。小數點似乎會遊走，負數變成正數，分數還會突然上下倒轉過來。
3/4除以7/8是多少？
電子計算機讓幾乎所有人都以漫不經心、無關緊要的態度處理這類問題。計算機計算得快速、正確又輕鬆，而且比百年前的人大費周章得出的答案更好。認為自己已經很熟悉基礎數學（儘管是記得一半而忘了一半）的想法讓人欣慰，準確得近乎過分的計算機和電腦也是如此。然而，記憶和科技的必然性卻帶來一個顯而易見的問題：為什麼要花力氣去學我們已經知道，或者至少我們認為自己知道的事？
這個問題體現一種混淆的情況。基礎數學的技巧是一回事，但解釋基礎數學完全是另一回事。每個人都知道如何將兩個單純的自然數相加，例如2 + 2。要說明加法的意義，以及證明它確實可行，卻困難得多。數學能解釋加法的意義，也能提出證明它確實可行的理由。因此而得出的理論必須兼具的精巧和細緻，與所有偉大智識努力的特質完全相同。
原本情況很可能完全不是這麼回事。儘管基礎數學十分重要，卻可能與它的理論不連貫，以致展開後就像一張地圖，地圖上的路不是毫無理由地分叉，就是通往絕望的一團亂中不知所終。不過，可以用來解釋基礎數學及證明相關技巧確實可行的理論，在智識上具有連貫性。它效用強大，十分合理，而且毫不違反直覺，因此適用於它的學科。如果說最簡單的數學運算――還是加法――還有些我們不了解的東西，那只是因為在自然（或生命）中沒有什麼是如我們所希望那樣全然了解的。
儘管如此，得出的理論是十分根本的。不要懷疑這一點。初期教育的主要內容已經消失無蹤。有一個觀念仍然存在，因此這個觀念成了主流：超基礎數學的計算和概念，受一個人的單一計數行為控制。這個分析有一種經濟效益，並且將經驗化約為一些要點，引人注目的程度與在自然科學中所見的一切不相上下。
19世紀末之前，沒有人了解這一點；一世紀之後，依然沒有被廣泛了解。學校教學沒有太大幫助。德國數學家蘭道（Edmund Landau）在其著作《分析之基礎》（Foundations of Analysis）中寫道：「請忘記你在學校學過的東西，你根本沒有學會。」
有時候，我會要求讀者自己忘記某些東西。

現在必須透露一個祕密。它是所有撰寫數學作品（或教數學）的人都很熟悉的祕密：沒有人非常喜歡這門學科。這句話最好立刻說出來。數學就像西洋棋一樣，擁有令人著迷的力量，但通常不容易讓人愛上它。
為什麼會這樣――我的意思是，為什麼大家不喜歡數學？
有兩個顯而易見的原因。數學讓初學者感到陌生，這種陌生感與數學運用神祕艱澀符號的程度大致成正比。有一種關於數學符號使用的看法，也可以說是一種牢騷，就是當一件事需要耐心時，似乎很難從中獲得樂趣。
幹嘛這麼麻煩？
如果說數學的符號工具是使它難以廣受喜愛的原因之一，論證（argument）就是另一個原因。數學攸關證明，否則什麼都不是。但證明當然不會來得那麼容易。即使是一個簡單的數學論證，論述的詳盡程度往往仍相當驚人；而更糟的是，一個證明的複雜結構與該證明意欲演示（demonstration）的簡單明瞭之事，兩者之間落差極大。0與1之間沒有自然數。誰會懷疑這件事？但你必須證明這一點，而且一步步證明。這得用上一些很困難的觀念。
幹嘛這麼麻煩？
無可避免地，這個過程涉及棘手的交易。在數學中，有投入才會有收穫，而收穫絕不像投入那樣如此顯而易見。許多人不願參與這樣的交易。
真的，幹嘛這麼麻煩？
這個問題並不可恥。它值得回答。
就數學的許多領域來說，答案是清楚明白的。幾何研究的是空間，是點與點之間神祕難解的事物。對幾何漠不關心，就是對物質世界漠不關心。這就是為什麼高中生在學習歐幾里得時，多半認為自己正被迫學習某種他們必須了解的東西，覺得不太情願。
那麼代數呢？代數符號有種控制事物不斷變動的神奇力量，這種感覺向來能抵消這門學科（在高中）引起的反感。古代教科書的主要內容談的是農民和肥料，但現代教科書的主要內容則是其中的能量和質量數字。愛因斯坦只需要高中代數就能建立他的狹義相對論，一定需要高中代數，否則他將無法建立這個理論。
數學分析以微積分的形式，讓歐洲數學家慎重關注。他們幾乎立刻了解到，他們已經獲賜最重要且在某些方面來說最偉大的科學理論。懷疑分析的重要性，或者嘲弄它的主張，就是忽視人類所獲取最豐富且最極度發展的知識體系。
是的，沒錯。這確實令人振奮，但超基礎數學如何？不久之前，法國數學家孔恩（Alain Connes）發明古數學（archaic mathematics）一詞，用以描述構想處於原始階段且尚未區分為不同學科的領域。這個措詞很優雅，描述貼切。它顯示出如果正確理解，基礎數學絕對力量非凡的原因。它是基本的事物，而且就像語言一樣，是一種人類本能的表示。
超基礎數學理論是以現代詞彙，描述某種想像深處的事物。這個理論數百年來的發展，象徵自我意識的一種非凡運用。
這就是需要花費這麼多心力的原因。透過數學家之眼來觀看一個古老而熟悉的領域，我們能夠獲得力量，第一次透徹了解它。
它絕對不是不重要的東西。

2010年於巴黎

緒論

這本小書的主題是超基礎數學（absolutely elementary mathematics, AEM）；也就是說，本書談的是自然數、0、負數和分數。這不是一本教科書，不是專門論著，也非參考書。我希望以這本書做為我其他數學書籍的支柱。
數學家向來設想數學就像一個城市，城市天際線矗立著三座雄偉的高塔，如同一個強大智識文化各領域的掌管者――恰如我們現在的文化一樣。這三座雄偉的建物分別致力於「幾何」、「分析」和「代數」，探究的對象各是空間、時間及符號和結構。
這些建物就像巴比倫的寶塔，散發出神聖的氛圍。
它們所立足的共同基礎一樣很神...

1. 一隻羊、兩隻羊、三隻羊。成群的羊毛堆……

2. 亨利有六個老婆，但「Henry」這個英文字有五個字母。數字與它們的名字是兩個不同的概念。如果無法區別兩者，就無法了解數字如何被命名，也就不可能了解位置記數法（positional notation）的久遠歷史和文明藝術。

3. 喜歡追根究底並非物理學家獨有的特性。如果存在有比數更根本的事物，為何我們必須認為數是萬物的最根本？究竟為什麼？

4. 人類知識極不穩定。我們彼此之間只是陌生人，甚至我們也不認識自己。當我告訴你說，你根本不知道你以為自己知道的事情，其實我的意思是，你根本就不知道。

5. 數學是冷酷的大師，而邏輯更加冷酷。這是普遍的認知，不過也離事實不遠。

6. 公理系統的概念是數學體系的核心，如同哥德式大教堂代表了中世紀建築風格。數學家汲汲追求的是形式。

7. 皮亞諾公理是極大的成就，因為它們將自然數納入公理系統；而它們的蘊涵也很深遠，因為它們賦予了後繼這個概念重要性。

8. 加法是「超基礎數學」的四種運算之一。其他運算包括乘法、減法和除法。每一種運算都是用兩個數產生第三個數。有2，還有3——這是兩個數，然後有2+3，於是有了第三個數：5。

9. 「加法的定義」這個詞似乎意味著歷經好幾世紀的努力，當代數學家現在終於能夠徹底說清楚加法的含意。但其實並非如此。

10. 古代商人發現了將數相加的方法，當然也知道如何把數相乘。他們運用的技巧是蘇美帝國抄寫技藝的一部分。

11. 位置記數法是數的命名原則，但到目前為止，這種方法只限於以兩個名字指涉的數，例如27或32，也就是形式為ab的數。

12.勞倫斯（T. E. Lawrence）為道堤（Charles M. Doughty）的《阿拉伯沙漠旅行記》（Travels in Arabia Deserta）寫序時，在文中試圖描述他和道堤都很稱道的沙漠阿拉伯人的性格。「這個民族絲毫不令人厭惡。」勞倫斯寫道：「他們毫不質疑地接受生命這個禮物，將它當成公理。」

13. 19世紀初，劍橋或牛津什麼都不好。

14. 算術定律。這個措辭本來就古怪，再加上發現這個定律的數學家是律師，顯得更為古怪了。

15. 定義遞降帶來一個問題：文字遊戲如何含括無限運算？數學家可以借助遞迴定理，令人信服地表示一切沒問題。

16. 在這些枯燥乏味的細節中，不妨體會一下它們隱含的熱情，以及它們引發的戲劇性事件。

17. 加法的結合律指出，對每一個數z和任兩個特定數a和b，a + (b + z) = (a + b) + z。如果它的意義就是如此，下面提出證明。

18. 自然數就是自然數；0就是0。它們的存在難以捉摸，也沒有形狀。

19. 加法是把數加入數；減法是由數取出數。取走抵消加入。

20. 某些數學家擁有它――我說的是那種「悸動」。他們感覺到有什麼東西就要出現了。

21. 群在「超基礎數學」中占有一席之地；但真正獲得注意和受到熱愛的是環。

22. 負數最讓人傷腦筋的一件事，就是符號律。負2加負2是負4；負2乘負2卻是正4。兩個結果的數字部分都是4，但前面掛著不同的符號。

23. 「萊茵德紙草書」（Rhind payrus）是一張羊皮紙，1858年由萊茵德在埃及的路克索（Luxor）遭到非法挖掘出土。其後在貪污官員間轉手數次，之後因為一次大規模的皇室貪污案爆發，最終由大英博物館收藏。

24. 相信半條麵包比沒有還好的人，不會對1/2這個數感到不安。

25. 加法、乘法和減法在數學生命中一直是強大的創造力。

1. 一隻羊、兩隻羊、三隻羊。成群的羊毛堆……

2. 亨利有六個老婆，但「Henry」這個英文字有五個字母。數字與它們的名字是兩個不同的概念。如果無法區別兩者，就無法了解數字如何被命名，也就不可能了解位置記數法（positional notation）的久遠歷史和文明藝術。

3. 喜歡追根究底並非物理學家獨有的特性。如果存在有比數更根本的事物，為何我們必須認為數是萬物的最根本？究竟為什麼？

4. 人類知識極不穩定。我們彼此之間只是陌生人，甚至我們也不認識自己。當我告訴你說，你根本不知道你以為自己知道的事情，其實我的意思是，你...