數學這樣教：國小數學感教育

名人推薦：數學感是數學物件心像與結構的整合

70年代開始，數學教育引進心理學，探討學生的數學認識論。在70年代初，什麼是數學瞭解，是個極待釐清的話題。英國數學教育理論學家Richard Skemp，在1976年發表其著名論文，「關係性了解」指的是理解解題方式之原因與脈絡而進行解題，「工具性瞭解」則是不懂解題方式之原因與脈絡、單純用背誦的公式進行解題。在關係性瞭解下學到的是，是較有數學感的關係性數學，工具性瞭解學習到的是，無數學感的工具性數學。Skemp在文中引進「搭配」的概念，來詮釋教室內的教學與學習現象；也就是說，若...

第ㄧ章 高觀點的數學感
作者進行國小數學教育研究多年，發現若從高觀點來看數學，可以了解數學的發展脈絡，對數學以及數學教學的感覺，欣賞數學的美。因此試著將作者的心得表達出來，供大家參考。
作者所提出來的數學感，所使用的理論是使用大家耳熟能詳的理論，是我們的老祖宗早就在使用的理論；也就是早從20世紀初盛行的行為主義（Behaviorism）到1950年代興起的認知主義（Cognitivism）；再加上作者個人的一些見解。作者認為教育先賢所發展的理論有它的理論背景，有它的時代脈絡、歷史意義與重要性；這些理論是先賢智慧結晶，是大家熟知的理論，因此我們不需要否定它。若我們可以加以去腐存菁與結構化，相信較能引起大眾共鳴。同時這樣所建構出來的數學感也才能說是從整個歷史背景中建構出來，也能經得起時間的考驗。
高觀點的數學可以從數學的宏觀結構、數學教與學的相關概念，以及作者想提倡的教學多元優選理念來描述。
壹、數學的宏觀結構
下文是我近幾十年來在數學的學習、教學與研究的心得。在此拿出來與大眾分享，希望能抛磚引玉，獲得更好的回響。也歡迎大家對我的見解提出疑問與呼應，使我國的數學教育能更往前邁向，學童能獲得更佳的學習機會。數學的宏觀結構可以看成數學的發展來自解決生活問題的需求，因而在數學體系內充份生成與繁衍發展，之後又回來解決先前未解的問題（或者適度理想化的問題、簡化變因的問題），進而促進人類文明、科技的進步。
一、數學來解自解決生活問題的需求
(一) 許多小學數學觀念來自生活觀念的理想化與抽象化
小學的數學觀念很多都是來自生活的需要。例如：
1. 學童為了了解他所擁有多少的事物，而需要使用自然數來表示，以及需要使用數數的概念來計數。
2. 學童為了了解兄弟兩人全部的錢數有多少，或者哥哥比弟弟多多少錢的問題，而需要使用加法和減法的概念。
3. 學童為了快速計算全班買作業簿子所需要的費用，而需要乘法概念。
4. 學童為了了解班上各有多少人支持某三位同學當班長，因此需要統計的觀念。
5. 學童為了描述日常生活中事物的形狀，而需要幾何學的觀念。

數學的觀念，則是生活觀念的理想化。例如
1. 在生活中，我們在計數個物時，可以不理會個物是否一樣大，是否為相同的個物。像是在生活中「家裏有10個蘋果，吃掉3個以後，剩下多少個蘋果？」10個蘋果可以不一樣大。「家裏的水果有3顆蘋果和5根香蕉，家裏共有多少水果？」水果可以包括蘋果和香蕉，甚至單位不同（顆和根），也沒有關係。
2. 在數學上，我們是把它理想化，看成是相同而且一樣大的物件，要不然沒有辦法處理進一步的問題。例如「小明有5顆糖果，小華有3顆糖果，誰的糖果比較多？」或者「小明吃了 個蛋糕，小華吃了 個蛋糕，誰吃得比較多？」此時的糖果一定要相同、要一樣大，蛋糕一定要是相同口味和大小的蛋糕；否則大小不同、口味不同的糖果、蛋糕便無法比較，便不知道比較多、誰吃得比較多了。即使相同大小但口味不同的草苺蛋糕和巧克力蛋糕，價錢也可能不一樣，又怎麼比較？在數學上，當我們把它理想化成相同的個物以後，就知道小明的5顆糖果比小華的3顆糖果多，知道小明吃的 個蛋糕比小華吃的 個蛋糕多，而且知道多多少。
3. 在生活上，我們很難把蛋糕平分；數學上我們把它理想化成可以平分，同時把被切割的每一份看成完全相同。
4. 在生活中，一瓶牛奶不是剛剛好等於1公升；在數學上，我們會把它理想化成剛好是1公升。
5. 在生活中的線段是有寬度的，但是在數學上，我們把它理想化為沒有寬度，因此線段的面積是0平方公分。
6. 在生活中的正方形，不管它有沒有包含內部，不管它有沒有邊（框），邊（框）有多粗或多細，我們都稱它是正方形；但是在數學上，我們定義的正方形是四個邊等長、四個直角、四個頂點的四邊形，它是沒有內部的（因此我們說正方形的面積，在數學上指定的是正方形所包圍區域的面積）。

數學觀念也來自生活觀念的抽象化。例如，人類早期，為了記錄他飼養多少隻羊、牛、馬，都用畫線的方式記錄；小學教材上，則用積木或者畫圓圈圈來代替有多少個蘋果、多少個人、多少張椅子、…。最後再把它抽象化為數的概念。也就是是說數是量的抽象化。
(二) 數學觀念的學習有它的啟蒙脈絡
每一個數學觀念大都有它的啟蒙脈絡或啟蒙例。我們除了從學理方面了解數學觀念的啟蒙脈絡之外，也可以試著問學童相關的問題，像是請學童舉一個相關的例子，然後從大多數的學童的回答中，整理出數學概念的啟蒙脈絡或者啟蒙例。例如
1. 自然數的啟蒙脈絡來自我們要計數離散量（一個一個獨立存在在那邊，例如蘋果、人，…）的個物。例如桌上的蘋果有五個，操場上有五個人在玩。離散量是相對於連續量（一整個沒有切割的東西，例如水的重量，體積…）的名詞。一般而言，學童比較不會主動說出他要計數水的容量有1公升，2公升，…等等。
2. 整數加法和減法的啟蒙概念來自離散量的計數過程中，由部份產生全體，或者由全體拿走部份。因此加法運算和減法運算來自改變型（可分成添加型「家裏有2個蘋果，媽媽又買了8個蘋果回來，問家裏現在有多少個蘋果？」和拿走型「家裏有8個蘋果，吃掉3個蘋果，問家裏現在有多少個蘋果？」）和合併型（可分成併加型「我右手有3顆彈珠，左手有5顆彈珠，問我手有幾顆彈珠？」和併減型「我手裏有8顆彈珠，左手有3顆彈珠，問我右手有幾顆彈珠？」）的問題；它們是由二個部份合併成一個全體的概念，或者一個全體要分成二個部份的概念。當我們要求學童舉一個加減法的例子，大都數的學童都會舉類似上述的例子；學童比較不會舉「5公升水，喝掉2公升，剩下幾公升？」的連續量問題。(很複雜…要不要用表格輔助)
3. 整數乘法的啟蒙來自累加相同的個物，也就是加法的簡寫或者上位概念，因此也是部份累積為全體的概念。例如累加型(等組、等量型)問題「一瓶飲料12元，3瓶共要多少錢？」；矩陣型問題（每一排都是12元，3排有幾元？）就是把12元累加3次，記成12×3。
4. 除法的啟蒙概念來自把多個離散的個物，每固定個數分一堆，也就是累減的簡寫或者減法的上位概念，因此也是把全體累減部份的概念。例如「12個蘋果，每3個分一堆，可以分成幾堆？」（我們把它稱為包含除）。
5. 除法的另一個概念是把多個離散的個物，平分成少數的堆數，例如「12個蘋果，平分成3堆，一堆有多少個蘋果？」（我們把它稱為等分除）記成12÷3。它也來自累減的概念，但是必須要做語意的轉換（我們以後再說它）。初學除法概念時，包含除比較簡單，但後來大部份的學童較容易記得等分除的例子。因為我們的研究發現，教科書在整數除法的教學時，時常從包含除的例子引入，因為它不需要做語意的轉換。但是當我們要求學童舉一個整數除法的例子，學童時常舉等分除的例子。因此我們把包含除和等分除同列為除法的啟蒙概念。
6. 分數概念啟蒙來自要把一個東西分給多數的人，不夠分才要切，因此它的概念是將原本連續的個物切開來計數。例如「一個蛋糕要平給八個人，先把一個蛋糕平分成八份，每個人得到其中一份，得到的是 個蛋糕。」因為分數的啟蒙脈絡和自然數的啟蒙情境不相同，分別是連續量和離散量。因此在教學時老師要特別留意，在自然數是否有出現連續量的情境，在分數是否有出現離散量的情境，以提供學童豐富的學習情境。
7. 一般而言，我們可以把小數「看成」是分數概念的特例，當我們把一個連續量平分成十份時，就可以用小數來表示。因此，小數的啟蒙概念和分數一樣，來自一個連續量的平分。例如「一杯水要平給十個人，先把這一杯水平分成十份，每個人得到其中一份，就是0.1杯水。」
二、在數學內部生成與繁衍
(一) 數學觀念包括概念、運算和性質
我們所學的數學觀念可以分成概念、運算和性質三種。當我們教給學童「一個新的概念之後，會定義它的運算，並討論相關的性質」。在小學，學習的數概念主要有全數（自然數和零的集合）、（非負）分數和（非負）小數；運算則是它們的加、減、乘、除四則運算；性質則是交換律、結合律、分配律等等（到了國中、高中，性質有時候會被說成定理）。
例如，一開始我們先教全數，再學全數的四則運算，再學全數的性質（交換律、結合律、分配律等性質），之後再學分數和小數，再學分數和小數的四則運算和運算的性質。到了國中和高中，再學整數、無理數、實數、複數、指數和對數、三角函數…，之後都會探討它們的運算和性質。

第ㄧ章 高觀點的數學感
作者進行國小數學教育研究多年，發現若從高觀點來看數學，可以了解數學的發展脈絡，對數學以及數學教學的感覺，欣賞數學的美。因此試著將作者的心得表達出來，供大家參考。
作者所提出來的數學感，所使用的理論是使用大家耳熟能詳的理論，是我們的老祖宗早就在使用的理論；也就是早從20世紀初盛行的行為主義（Behaviorism）到1950年代興起的認知主義（Cognitivism）；再加上作者個人的一些見解。作者認為教育先賢所發展的理論有它的理論背景，有它的時代脈絡、歷史意義與重要性；這些理論是先賢智慧結晶，是大家...

第一章　高觀點的數學感
第二章　全數(WHOLE NUMBER)
第三章　分數（FRACTION）
第四章　小數（DECIMAL）
第五章　數運算的概念推廣
第六章　量與測量（ＭEASUREMENT）
第七章　幾何（GEOMETRIC）
第八章　統計（STATISTIC）
第九章　代數（ALGEBRIC）

第一章　高觀點的數學感
第二章　全數(WHOLE NUMBER)
第三章　分數（FRACTION）
第四章　小數（DECIMAL）
第五章　數運算的概念推廣
第六章　量與測量（ＭEASUREMENT）
第七章　幾何（GEOMETRIC）
第八章　統計（STATISTIC）
第九章　代數（ALGEBRIC）