數學教你不犯錯（下）：搞定期望值、認清迴...

媒體推薦：是有特色、文筆又好的數學科普書。──譯者李國偉教授
這本書將幫你瞭解， 生活中處處需要數學思考力。──《華爾街日報》
《數學教你不犯錯》可以幫你探索你的數學超能力。──《科學美國人》
艾倫伯格尋找現實生活情境中數學原則的才能，讓所有數學老師都嫉妒。──《華盛頓郵報》
詩人數學家為這個大數據時代提供有力且深具娛樂性的入門書……是值得任何人一讀的數學科普書。──《Salon》
作者避用艱深術語，並採用真實世界的逸聞、簡單的方程式與圖形，傳達出即使是簡單的數學，也是有力的工具。──《柯克斯書評》

第11章：你期望贏得樂透時，是在期望什麼
你該玩樂透嗎？
一般認為，回答不該才是精明。有句老話說，樂透是「笨人繳的稅」，是政府犧牲那些遭誤導去買樂透的人所攫取的收入。如果你把樂透看成稅收，你就知道為什麼美國各州的財政局都喜歡樂透。還有別的稅目能讓人在便利商店排長隊去繳嗎？
樂透吸引人並非新鮮事，它起源於十七世紀的熱那亞，是從選舉制度中意外產生的。熱那亞每六個月就要從執政委員會裡挑兩位來擔任首長，他們不採用投票選舉，而是以抽籤的方式決定人選：從120張寫著委員名字的籤條抽出2張。沒多久，城裡的賭徒就開始對人選投注龐大賭金。後來，對首長人選下注變得非常受歡迎，賭徒愈來愈難忍到選舉日才玩心愛的遊戲，不過他們很快就理解，如果只是對紙條堆裡挑出的紙條下注，根本就不需要靠選舉這檔事。於是數字取代了政客的名字，熱那亞從1700年起便開始舉辦樂透。當時的樂透在威力球（Powerball）玩家眼中，一定很眼熟：投注的人猜五個隨機抽出的號碼，猜中的號碼愈多，獎金愈豐厚。
樂透很快就風靡全歐洲，再飄洋過海到美洲。在美國獨立戰爭期間，大陸會議與各州政府都用樂透來籌措軍費以對抗英軍。哈佛大學基金在還沒有累積到九位數之前，也曾於1794年與1810年辦樂透，籌款興建兩幢大樓。（那兩幢大樓至今還在當新生宿舍使用。）
但並不是每個人都讚許這種發展。道德家認為樂透其實就是賭博，他們這麼想也沒有錯。亞當‧史密斯（Adam Smith）也反對樂透，他在《國富論》裡說：

從樂透彩在各地都經營得很成功的事實看出，人們很自然會把獲利機會估得過高。完全公平的樂透，也就是全部得利可抵償全部損失的，不僅從來沒有過，以後也不會有。因為要是這樣，經營者就一無所得。……獎金不超過二十磅的樂透彩，縱使在其他方面比一般國營樂透彩更接近於完全公平，但買這種樂透的人恐怕要少得多。為了增加中大獎的機會，有的人會同時購買數張樂透，有的人會合買更多張。但是，你冒險購買愈多的樂透彩，你就愈可能輸，這是數學上再確定不過的定則。假若你冒險購買全部的樂透彩，你肯定會虧損。你購買的張數愈多，損失就愈接近於上述肯定的損失。

亞當‧史密斯的文筆鏗鏘有力，量化思想的做法也確實令人欽佩，但是你不應該盲目相信他的結論。嚴格來說，他的結論是不正確的。一般買樂透的人，並不覺得買兩組會比一組更容易成為輸家，反而應該是有加倍贏的機會。這種想法才是正確的！當樂透的獎勵制度比較單純時，你自己都不難檢查這件事。假設樂透有一千萬組號碼，而只有一個贏家，其中每組號碼賣1元，大獎是6百萬元。
買了全部的號碼的人，是花1千萬元來獲得6百萬元獎金。換句話說，正如亞當‧史密斯所說，採取這種策略注定會成為輸家，而且整整輸掉4百萬元。相較之下，僅買1組號碼的小本經營者比較有利，至少他有千萬分之一的機會可以贏！
但如果你買2組號碼會怎麼樣？你輸的機會必定會降低，雖然只是從千萬分之9,999,999降到千萬分之9,999,998。然而只要你繼續買進號碼組，成為輸家的機會就持續下降，直到你買進6百萬組號碼為止。到那時，你贏得樂透並使獎金跟成本打平的機會剛好是60%，你只有40%的機會成為輸家。這跟亞當‧史密斯講的相反，你買更多樂透反倒讓自己更不容易輸錢。
然而再多買一組號碼，你就必定輸錢（至於是輸掉1元還是4,000,001元，就看你是否中獎而定）。
我們很難重新建構亞當‧史密斯的推理過程，不過他很可能是「所有曲線都是直線」錯誤觀的犧牲者，才會認為既然買光所有樂透號碼必輸無疑，那麼買愈多自然愈可能輸錢。
買6百萬組號碼能使輸錢的機會降到最低，但這不表示樂透就該這樣玩，因為輸多少事關緊要。僅買一組號碼的人幾乎必輸無疑，不過他知道輸這點錢不算什麼。買6百萬組號碼的人雖然輸的機會比較低，但是處境卻岌岌可危。或許你會覺得這兩種選擇都不怎麼聰明。就像亞當‧史密斯指出的那樣，如果國家必定贏得樂透，在賭局中選擇跟國家不同立場並不是好主意。
亞當‧史密斯反對樂透的論點中缺乏了期望值的概念，那是亞當‧史密斯直覺上試圖表達的數學概念。它的功用如下，假設我們持有一個物件，但不確定它的金錢價值，譬如說一組樂透號碼：

9,999,999/10,000,000次：號碼組一文不值
1/10,000,000次：號碼組值6百萬元

儘管有不確定性，我們還是願意賦予每組號碼一個確定的價值。為什麼？好吧，倘若有一個傢伙願意用1.2元買一組號碼，那麼我是該保留這組號碼，還是為了賺2角就賣給他呢？答案取決於我賦予號碼組的價值，是低於還是高於1.2元而定。
現在來計算一組樂透號碼的期望值，我們把任一種可能結果的出現機率，乘上那個結果的價值。在下面簡化的例子裡，一共只有兩種結果：贏或輸，而你得到

9,999,999/10,000,000  0元 = 0元
1/10,000,000  6,000,000 元 = 6角

再把上面的結果加總：

0元 + 6角 = 6角

所以你對那一組號碼的期望值是6角。因此如果有樂透迷跑來對你說，願意用1.2元買你手上的那組號碼，期望值告訴你應該成交，但事實上期望值要告訴你的是，一開始就不應該花那1元去買一組號碼。
期望值不是你所期望的值
期望值是另一個不太名符其實的數學概念，有點類似前面討論的顯著性。我們當然不會「期望」一組樂透號碼才值6角，相反的它要嘛值1千萬元，要嘛一文不值，沒有居於中間的價值。
類似的例子，假設我對我認為有10%機會，會跑出第一名的狗押了10元的賭注。如果那隻狗贏了，那麼我會得到100元；如果那隻狗輸了，我就什麼也得不到。這場賭局的期望值是

（10%  100元）+（90%  0元）= 10元

當然，這並非我期望的結局。其實10元根本不是可能的結果，更不是我期望的結果。期望值更恰當的名稱或許應該是「平均值」，因為期望值真正量度的是，如果我對許多隻這樣的狗押了許多次同樣的賭注，我期望發生的結果。打個比方，這種每注10元的賭局我賭了一千次，或許會贏一百次左右（大數法則再次起作用），每次都贏100元，總共贏了1萬元。所以我那一千次的賭注，每注平均贏回來的是10元，長時間看來很可能不賺不賠。
期望值很適合用來標定物件的恰當價格，例如在真正價值並不確定的賭狗場合。如果我用12元下一注，長期下去我很可能會輸錢；反過來說如果我可以用8元下一注，那我或許應該盡量下注。現在很少有人還在賭狗，但是不論是對賭票、股票、樂透定價，或為人壽保險定費率，期望值都可產生同樣的作用。

（摘自本書第十一章：你期望贏得樂透時，是在期望什麼）

第11章：你期望贏得樂透時，是在期望什麼
你該玩樂透嗎？
一般認為，回答不該才是精明。有句老話說，樂透是「笨人繳的稅」，是政府犧牲那些遭誤導去買樂透的人所攫取的收入。如果你把樂透看成稅收，你就知道為什麼美國各州的財政局都喜歡樂透。還有別的稅目能讓人在便利商店排長隊去繳嗎？
樂透吸引人並非新鮮事，它起源於十七世紀的熱那亞，是從選舉制度中意外產生的。熱那亞每六個月就要從執政委員會裡挑兩位來擔任首長，他們不採用投票選舉，而是以抽籤的方式決定人選：從120張寫著委員名字的籤條抽出2張。沒多久，城裡的賭徒就開始...

【結語】什麼時候用得到數學
我們在本書裡遇見的數學家，並不只是拆穿不恰當精準性的人，或只是算數的批評者。他們有所發現，也有所建樹。高爾頓發現趨向平均數的迴歸的概念；康道塞替社會決策的制定開創了新的典範；鮑耶發明了一種完全新奇的幾何學，是一個怪異新宇宙；夏濃與漢明做出自己的幾何，在那種空間裡住的是數位訊號而非圓與三角；沃德幫忙把裝甲放到飛機上正確的地方。
每位數學家都會創造出新東西，有些創造的東西大，有些創造的東西小。所有數學的寫作都是創意寫作。我們能用數學創造出來的東西，沒有任何物理上的極限；它們可以是有限的或者無窮的，它們在可見的宇宙裡也許能夠實現也許不能夠。這種狀況有時候讓局外人以為，數學家是航行在迷幻似的危險心靈火焰國度，直直盯著那些會使勇氣不足的人發瘋的景象，偶爾還真的把自己也逼瘋了。
從我們已經看過的事實，上面的說法並不真確。數學家不是瘋子，我們不是外星人，我們也不是神祕客。
真實的狀況是，數學理解的感受是特殊經驗，你會突然之間明瞭到底在做什麼，而且是全然的確定，一路通到事理的最底層。這種經驗在生活中，幾乎沒有別的地方可以領受。你會感覺好像達到了宇宙內部，伸手抓住了操控索。這種感受很難向無此經驗的人描述。
我們造出一些狂野的物件，卻不能想說它們是什麼就是什麼。它們需要定義，而且一旦定義好了，就跟樹與魚一樣並非虛幻，它們就是它們自己。做數學就是同時既有熱火的觸感又有理性的約束。這並不會發生矛盾，邏輯形成一條狹長的渠道，在其中直觀以洶湧的威力向前奔騰。
我們學到數學的教誨很簡單，而且不需用到數字：就是世界裡有結構，我們有希望瞭解其中一部分，勿須瞠目結舌僅接受感官訊息；我們能夠加強直覺，只需再用形式的骨架撐起來。數學確定性是一回事，我們在日常生活裡，難以擺脫的溫和陳見是另一回事，我們應該盡量保持兩者的分際。
你觀察到，好東西多了並不見得總是更好；你記起，只要給予足夠機會，不太可能發生的事也會多發生，從而抵擋住巴爾的摩股票經紀人的誘惑；你做決策時，不要只關注到最可能的未來，應該看到所有可能未來興起的雲霧，注意到哪些比較可能、哪些比較不可能；對於群體信念與個體信念的規則應該相同的想法，你不再堅持；或者，你就是找到了認知的甜蜜點，在此可以放任直覺狂奔在形式推理造就的軌道網；這些事發生時，即使沒有寫下一條方程式、沒有畫出一幅圖像，但你就是在做數學，你正以額外手段擴充常識。你什麼時候才用得到數學？你自從生下來就在用數學，大概也會不停的用數學。你要好好的用數學。
（摘自本書結語　如何做才能正確）

【結語】什麼時候用得到數學
我們在本書裡遇見的數學家，並不只是拆穿不恰當精準性的人，或只是算數的批評者。他們有所發現，也有所建樹。高爾頓發現趨向平均數的迴歸的概念；康道塞替社會決策的制定開創了新的典範；鮑耶發明了一種完全新奇的幾何學，是一個怪異新宇宙；夏濃與漢明做出自己的幾何，在那種空間裡住的是數位訊號而非圓與三角；沃德幫忙把裝甲放到飛機上正確的地方。
每位數學家都會創造出新東西，有些創造的東西大，有些創造的東西小。所有數學的寫作都是創意寫作。我們能用數學創造出來的東西，沒有任何物理上的極限；它...

PART III 期望值是什麼？
第11章：你期望贏得樂透時，是在期望什麼
第12章：錯過更多班機
第13章：火車鐵軌相交之處

PART IV 認清迴歸，不錯估趨勢
第14章：平庸會出頭
第15章：高爾頓的橢圓
第16章：肺癌令你抽菸嗎？

PART V 存在性的真實意義
第17章：沒有民意這種東西
第18章：「我從虛空中創造出一個新奇宇宙」
結語 如何做才能正確

PART III 期望值是什麼？
第11章：你期望贏得樂透時，是在期望什麼
第12章：錯過更多班機
第13章：火車鐵軌相交之處

PART IV 認清迴歸，不錯估趨勢
第14章：平庸會出頭
第15章：高爾頓的橢圓
第16章：肺癌令你抽菸嗎？

PART V 存在性的真實意義
第17章：沒有民意這種東西
第18章：「我從虛空中創造出一個新奇宇宙」
結語 如何做才能正確