數學教你不犯錯（上）：不落入線性思考、避...

名人推薦：是有特色、文筆又好的數學科普書。──譯者李國偉教授媒體推薦： 這本書將幫你瞭解， 生活中處處需要數學思考力。──《華爾街日報》
《數學教你不犯錯》可以幫你探索你的數學超能力。──《科學美國人》
艾倫伯格尋找現實生活情境中數學原則的才能，讓所有數學老師都嫉妒。──《華盛頓郵報》
詩人數學家為這個大數據時代提供有力且深具娛樂性的入門書……是值得任何人一讀的數學科普書。──《Salon》
作者避用艱深術語，並採用真實世界的逸聞、簡單的方程式與圖形，傳達出即使是簡單的數學，也是有力的工具。──《柯克斯...

股票經紀人的絕佳預測
這是一則寓言。有一天你收到來自巴爾的摩一位股票經紀人的廣告信，裡面說某支股票將會大漲。一週過去之後，正如巴爾的摩股票經紀人預測的那樣，那支股票真的起來了。下一週，你收到一封新的廣告信，裡面說某支股票將會下跌，結果真的敗下來。經過十週，每週都寄來預測股價的廣告信，而且每次都預測成真。
到了第十一週，你收到一封信請你把金錢交由這位巴爾的摩股票經紀人來投資，當然因為前十週廣告信的精準預測，使得他需要收取的佣金也相當高。
聽起來像似滿好的交易，對不對？巴爾的摩股票經紀人一定是有點本事，如果他不是掌握了股票市場特殊訊息，怎麼可能連續正確預測有起有伏的股價呢？事實上，你可以精準算出他的成功率。假設他每次猜對的機會是50%，那麼他頭兩次都對的機會是一半的一半，也就是四分之一。頭三次都對的機會則是那四分之一的一半，也就是八分之一。如此類推，連續十次都猜中的機會是

（1/2）（1/2）（1/2）（1/2）（1/2）（1/2）（1/2）（1/2）（1/2）（1/2）（1/1024）

換句話說，全靠矇對的機會幾近於零。
然而，如果從股票經紀人的角度來看事情，局面就大為改觀。你前面可能沒這麼想過，假如第一週你並不是唯一接到廣告信的人，而是有10,240人收到他的信。不過信件內容並不完全一樣，其中一半像你收到的信那樣，預測股票會漲，另外一半則做反向的預測。那5,120位接到錯誤預測信的人，自此再也不會接到廣告信了。你跟另外那5,119位接到同樣訊息的人，下一週都會接到新的預測。在你們這5,120人收到的第二封信裡，有一半預測會漲，有一半說會跌。這週之後，仍有2,560人連續接獲兩次正確的預測。
如此類推。
十個星期後，無論股市如何變化，都將會剩下十位幸運兒（？）：巴爾的摩股票經紀人提供給他們的訊息，連續正確了十次。股票經紀人也許觀察股市起伏敏銳如鷹眼，也許只是把雞內臟甩在牆上，根據汙跡做預測。無論他是哪種人，總有十位接到廣告信的人，會覺得他料事如神。他估計能從那十個人裡面回收大量佣金。但是對那十個人而言，過去的成績絕對無法保證未來的成果。

養、套、殺的把式
我常聽人家講，巴爾的摩股票經紀人的故事是真的，但我還無法找到它確實發生過的證據。我能找到最接近它的事證，是2008年的一個實境秀。實境秀現在成為我們當代尋找寓言的場所了。當時英國魔術師布朗（Derren Brown）耍了一次類似的把戲，他寄出各種馬票賭法給數千位英國人，最終有一位相信布朗確實發明了百發百中的預測系統。（布朗喜歡揭穿、而不是宣揚那些號稱神祕的事蹟，他在節目結束時公開了戲法的道理，對英國教育所做的貢獻，可能遠大於BBC成打正經的特別節目。）
假如你把這場遊戲略加改變，讓它看起來更不像騙局，但是保持誤導的潛力，你會發現巴爾的摩股票經紀人依然存活在財務金融業。當一家公司發售共同基金時，他們經常會先在內部持有一段時間，才向大眾公開，這種做法稱為孵化（incubation）。
孵化中基金的生命並不像如孵化般溫暖安全。公司通常會同時孵化一大堆基金，並且試驗各種投資策略與分配，各個基金在子宮裡推擠競爭，有些回報豐厚，很快就向大眾公開，並且附上它們到目前為止獲利的證明文件。但是發育不健全的那些傢伙就會受到安樂死，大眾甚至不會知道它們曾經存在。
那些能從孵化過程中走出的共同基金，也許可能真的是精明投資的結果。銷售共同基金的公司可能也這麼認為。賭博手氣好的時候，誰不認為是自己的聰明與技術造成的呢？但是數據卻顯示出相異的結果：孵化出來的基金一旦到了公眾手裡，就不再保持問世前的表現，而會跟中等基金的獲利狀況差不多。
假如你有幸擁有足夠金錢來做投資，這種狀況對你來說有什麼意義呢？它的意義是說，你要忍得住誘惑，不受那些過去十二個月獲利都在10%的熱門新基金吸引。最好還是遵循你聽膩的老生常談，「多吃蔬菜、多走樓梯」式的財務健康方案：放棄追尋魔力系統或有金手指的導師，應該把錢放入大而無趣卻收費低廉的指數基金，然後把它拋到腦後。當你把儲蓄都投入那些讓人眼睛發亮的新孵化基金時，你正像把一生積蓄都投資給巴爾的摩股票經紀人的收信人。你受那些令人印象深刻的結果左右，卻不知道經紀人要達到那些結果的機會是多少。
這很像我八歲的兒子玩拼字遊戲的情況，他不喜歡從袋子裡抽出的那些字母時，就把它們丟回去重抽，一直重複這麼做，直到拿到喜歡的字母才停止。從他的立場看來，因為他一直閉起眼睛，無從知道抽到什麼字母，所以過程是公平的。但是如果你給自己足夠的機會，最終總會等到心裡想要的那個字母Z。這並不是因為你幸運，而是因為你作弊。
巴爾的摩股票經紀人之所以會成功，就像其他好的魔術一樣，不會從一開始就耍弄你。也就是說他不想嘗試告訴你錯誤的事，而是告訴你一些正確的事，不過很容易引導你推出錯誤的結論。預測股價連續十次都命中，或賭馬連續六次賭勝，或共同基金可獲利10%，確實都是些不太可能發生的事。因為遇上這些不太可能發生的事，所以會產生誤判。宇宙很巨大，但只要你想注意奇妙而不太可能發生的事情，你就會發現它們。不太可能發生的事，其實發生得不少。

巧合比你想的多
遭閃電擊中或中樂透，都是不太可能發生的事，但不斷會有人碰到這些事，這是因為世界上的人實在太多了，又有太多人去買樂透，或在打雷時還跑到高爾夫球場，或兩者都幹。從恰當的距離觀察，會發現大多數的巧合都沒什麼神奇。
2007年7月9日北卡州的5碼樂透開出4, 21, 23, 34, 39，兩天後，同樣五個號碼又再次開出。這看起來像是不可能發生的事，機會也真的極端的低。兩次樂透純粹靠機運開出同樣號碼的機會，在一百萬次裡小於兩次。但是在判定結果有多驚人時，這卻不是相干的問題。事實上，5碼樂透已經玩了將近一年，是有機會產生許多巧合。三天之內有兩次5碼雷同的機會，機率約一千分之一，其實沒有那麼神奇。此外5碼也不是市面上唯一的樂透，全美國有上百種用五個數字決定的樂透遊戲，也銷售了許多年頭，當你把它們都放到一起，就知道三天裡有兩次同號的巧合，沒那麼令人驚奇。如此說並不意味，個別的巧合機會不太會發生，讓我們重複前面說過的那句話：不太可能發生的事，其實發生得不少。
（摘自本書第六章：破解聖經密碼迷思）

股票經紀人的絕佳預測
這是一則寓言。有一天你收到來自巴爾的摩一位股票經紀人的廣告信，裡面說某支股票將會大漲。一週過去之後，正如巴爾的摩股票經紀人預測的那樣，那支股票真的起來了。下一週，你收到一封新的廣告信，裡面說某支股票將會下跌，結果真的敗下來。經過十週，每週都寄來預測股價的廣告信，而且每次都預測成真。
到了第十一週，你收到一封信請你把金錢交由這位巴爾的摩股票經紀人來投資，當然因為前十週廣告信的精準預測，使得他需要收取的佣金也相當高。
聽起來像似滿好的交易，對不對？巴爾的摩股票經紀人一定是有點本...

【前言】什麼時候用得到數學？
此刻，在世界上某間教室裡，有一位學生正向老師抱怨，為什麼課後要計算30條定積分？那會耗費掉他大半個週末。
這位學生寧可做些別的事，事實上他最不想做的就是積分。上個週末他就曾經花了很多時間算另外30條定積分，看起來與這次的定積分好像差別不大。他看不出做這件事的重點，他告訴老師自己的想法。在師生的這場對話中，學生一定會問到一個老師最怕聽到的問題：
「我什麼時候用得到它？」
老師很可能這麼回答：
「我知道計算積分很乏味，但是你要記住，將來你不知道會選擇什麼樣的工作，你現在可能覺得定積分沒用，但也許有一天你幹的那一行，會需要又快又準的算出定積分。」
這種答覆很難讓學生滿意，因為它是假話。老師與學生都知道這不是真話。有多少成人需要用到（1  3x  4x2）2dx 的定積分？或是3 的餘弦？或多項式綜合除法？了不起幾萬人而已。
老師對這種假話也很不滿意，這我很清楚，因為我當了多年的數學教授，曾經要求成百上千的學生計算定積分。
幸運的是，還有一個比較好的答案，大致如下：
「數學並不只是靠背誦公式來做系列運算，一直算得你耐心與精力全失為止。雖然在你上過的某些數學課裡，數學好像就是那麼回事。學數學要計算定積分，猶如足球員要做體能訓練與柔軟操一樣。假如你想踢足球，我是說能真正的踢足球，到達能上場比賽的程度，你就必須做一大堆無聊、反覆、表面上看來毫無意義的操練。職業球員會有用到那些動作的機會嗎？你不會看到球場上有人丟擲重物或繞著交通角錐轉來轉去，但是球員會用到從日復一日乏味的操練中練出的強度、速度、直覺與彈性。學習這些操練就是在學習踢足球。
「假如你想當職業足球員，或甚至只是想進入校隊，都必須花很多乏味的週末在球場上進行操練，除此之外別無他法。現在給你一點好消息，假如你實在受不了苦練，你還是可以跟朋友一起玩球取樂。你在對方防守的間隙中傳出一球，或踢進一記遠球，獲得的樂趣跟職業球員一樣多。這會比坐在家裡看電視轉播的職業賽更健康、更快樂。
「數學也差不多這樣。你也許不必以需要大量數學的職業為目標，大多數人都如此，你不必覺得不好意思。但你還是可以做數學，其實你也許已經在做數學，只是你不叫它數學。我們在推理的過程中早已融入數學，而且數學會讓你的推理能力增強。會數學就像戴上了X光眼鏡，能從混亂無序的世界表像裡，看透其後隱藏的結構。數學是一門不會把事情搞錯的學問，它的技術與習慣經歷過許多世紀的辛勤努力與論辯。一旦手中有數學當工具，你可以更深刻、更穩健、更有意義的瞭解世界。你需要的只是一位教練，或甚至是一本書，教導你相關規則及基本戰術。讓我來當你的教練，讓我教你如何達成目標。」
因為時間的關係，我很少會在課堂裡說這些話。但是現在寫在書裡，就可以再加以引伸一些。我希望對我在前面提到的那些宏大的斷言，能拿出一些證據，我想告訴你，我們每天生活中碰到的問題，不論是政治、醫藥、商務、甚至神學，都摻雜著數學問題。光認識到這一點，你就會得到一些無法從其他手段獲得的真知灼見。
其實即使我有時間向學生講完激勵人心的演講，但如果這學生夠聰明，應該還是不會被說服。
他會說：「教授，雖然聽起來很有道理，但是太抽象了。你說會運用數學，就能把原來可能會犯錯的事搞對。那到底是些什麼事呢？給我一個具體的例子。」
這個時候我正好可以告訴他，沃德（Abraham Wald）與失蹤的彈孔的故事。
數學家運籌帷幄
就像第二次世界大戰很多的故事一樣，開頭是一位猶太人遭納粹追捕而逃離歐洲，結尾是讓納粹得不償失吃足苦頭。沃德於1902年出生在前奧匈帝國的克勞森堡（Klausenburg）。他進入少年期的時候，已有一場世界大戰寫入了書本，他的家鄉也變成了羅馬尼亞的克盧日（Cluj）。沃德的祖父是猶太人的拉比，父親是猶太潔食烘焙師，但是小沃德幾乎自始就是數學家。他在數學上的天賦很早就受賞識，因此維也納大學錄取他去攻讀數學。他喜愛集合論與度量空間，這是即使以純數學的標準來看，都相當抽象又深奧的課題。
但是沃德完成學業時，已經到了1930年代中期，當時奧地利的經濟十分蕭條，外國人幾乎不可能在維也納找到教職。最終解救沃德的是摩根史坦（Oskar Morgenstern），摩根史坦後來移民美國，並協助發明了賽局理論，但在1933年他是奧地利經濟研究所的所長。雖然摩根史坦只給沃德一個低薪的職位，處理一些零星的數學工作，卻是促成了有利於沃德的機會：因為沃德在經濟學上的經驗，當時在美國科羅拉多泉的經濟學機構考爾斯（Cowles）委員會，提供給他獎學金。雖然政治局面日益惡化，沃德仍不情願跨出會使他永遠離開純粹數學的一步。但是納粹征服了奧地利，終於幫沃德下定出走的決心。不過沃德在科羅拉多泉待沒幾個月，哥倫比亞大學就請他去擔任統計學教授，他再度整裝，踏上前往紐約的征途。
他就是從那裡開始參戰的。
第二次世界大戰期間，沃德主要在統計研究組（SRG）工作，SRG集合了美國統計學界的力量，是如同曼哈頓計畫的機密單位，只不過不是在發展原子彈，而是發展方程式。SRG的所在地也的確座落在曼哈頓，就在距離哥倫比亞大學一個街口的晨邊高地西118街401號。現在那座大樓是哥倫比亞大學的教師公寓，也有一些診所進駐。但是在1943年，那裡是戰時忙進忙出的數學中心。在哥倫比亞的應用數學組裡，數十位年輕女性俯首於桌上型計算機，忙著計算戰鬥機在空中的最佳飛行路線，以便把敵機鎖定在機關砲的射擊範圍裡。從普林斯頓來的研究人員，在另一個房間發展戰略轟炸的規程，而哥倫比亞的原子彈小組就它的在隔壁。
最終在這些小組裡，就屬SRG最具能量，也最有影響力。這個單位結合了類似學系的開放學術氛圍，以及敵愾同仇的目標。SRG的組長華里斯（W. Allen Wallis）說：「只要我們做出建議，經常事情就有所改變。根據沃弗維茲（Jack Wolfowitz）的建議，戰鬥機會搭配不同種類的彈藥，戰鬥機飛行員可能因此成功返回或不再回來。海軍飛機使用的飛彈，裝填的火藥通過格西克（Abe Girshick）設計的取樣方案檢查。飛彈有可能會爆炸而毀掉我方飛機與飛行員，或一舉消滅目標。」
這項任務如此重大，因此必須集結一等一的數學頭腦來進行。按照華里斯的說法，「無論以量或以質而言，SRG都擁有最突出的一群統計學家。」戰後創辦哈佛大學統計系的莫斯提勒（F. Mosteller）在那兒，決策論先驅以及貝氏統計學的推動者莎維奇（J. Savage）也在那兒，麻省理工學院的數學家暨模控學發明者韋納（N. Wiener）會不時來訪。日後獲得諾貝爾經濟學獎的傅利曼（M. Friedman），在那個小組裡經常只算是第四聰明的人。
小組裡最聰明的人通常是沃德。沃德曾經是華里斯在哥倫比亞大學的老師，對小組而言是顯赫的人物。因為他算是來自敵國的外國人，從技術上來說，他並未獲准閱讀他自己寫的祕密報告。在SRG盛傳的一則笑話說，沃德一寫完一頁筆記，祕書就要立刻從他手裡奪過來。從某方面看來，沃德最不該屬於這個小組，因為他天性傾向於抽象化，會迴避直接的應用。但是他想用自己的才能對抗軸心國的動機很明顯。而且每當你想把籠統的觀念轉化為堅實的數學時，沃德正是你最想要的人物。

機身上消失的彈孔
現在問題來了。因為你不希望飛機遭敵方的戰鬥機打下來，所以想要加強飛機的裝甲。但是增加裝甲會讓飛機變重，比較重的飛機既難操控又耗油。飛機的裝甲太厚會成問題，太薄也會成問題，厚薄之間應該有一個最佳解。而之所以把一批數學家塞進紐約的公寓，就是想算出最佳解。
軍方把認為有用的數據交給SRG。美國的飛機從歐洲出任務回來後，全機會布滿彈孔，但分布卻不很均勻，機身上的彈孔較多，引擎部分的彈孔卻很少。

飛機的區段 每平方英尺的彈孔數
引擎 1.11
機身 1.73
燃料系統 1.55
飛機其他部分 1.8

軍方看出了提高飛機效能的機會，可以使用較少的裝甲達成同等的保護作用，也就是把裝甲集中在飛機最需要的部分──中彈最多的區段。問題是該增加多少裝甲？又要在哪些區段加裝？軍方想請沃德幫算出答案，然而得到的結果卻大出他們預料。
沃德說，不該在彈孔多的地方加強裝甲，而是要加強在彈孔少的地方，也就是該在引擎的部分加強。
沃德的洞識在於先問一個簡單的問題：少掉的彈孔到哪裡去了？假如槍彈均勻打在整架飛機上，那麼引擎蓋上不也應該滿布彈孔嗎？沃德很確定自己知道少掉的彈孔到哪兒了，是在那些回不來的飛機上！能返航的飛機在引擎上的彈孔都很稀疏，是因為引擎遭受嚴重轟擊的飛機，根本飛不回來了。大多數安全返航的飛機，機身都像多孔瑞士乳酪，強烈顯示機身禁得起槍彈轟擊，因此不需特別加強裝甲。假如你去醫院的恢復室看看，你會發現腿上有槍傷的人，比胸部有槍傷的人更多，這並不是因為胸部不容易挨槍彈，而是胸部吃子彈的人難以存活。
數學家有套老把戲能使狀況明朗：把某些變數設定為零。在目前的例子裡，可以調整的是飛機引擎中彈後，繼續飛行的機率。把這個機率設定為零，意思是說引擎只要挨了一顆子彈，飛機就會墜落。現在數據會呈現什麼狀況？你會看到返航的飛機，彈孔分布在機翼、機身、機頭，但是就是沒有在引擎上。軍方的分析師有兩種方法解釋這種情形：德國的子彈哪裡都打就是不打引擎，或是引擎是最脆弱的地方。兩種方式都可以說明呈現的數據，不過後者有道理多了。所以彈孔稀疏的地方反而要加強裝甲。
軍方馬上把沃德的建議付諸實施，在韓戰與越戰中，海軍與空軍也持續遵守他的原則。我沒法精確告訴你，有多少美國飛機因此避免墜亡，今日美軍承繼SRG處理數據的部門，毫無疑問會很清楚真實狀況。美國國防當局從來都很瞭解，戰勝的一方並不是因為比對方更勇敢，或更自由，或更受上帝眷戀。戰勝的一方經常是少被擊落5%的飛機，或者少消耗5%的燃油，或能用95%的成本讓步兵多攝取5%的營養。這些都不是製作戰爭電影的素材，卻是打勝真正戰爭的要件。這裡面每一步都需要數學。（摘自本書前言）

【前言】什麼時候用得到數學？
此刻，在世界上某間教室裡，有一位學生正向老師抱怨，為什麼課後要計算30條定積分？那會耗費掉他大半個週末。
這位學生寧可做些別的事，事實上他最不想做的就是積分。上個週末他就曾經花了很多時間算另外30條定積分，看起來與這次的定積分好像差別不大。他看不出做這件事的重點，他告訴老師自己的想法。在師生的這場對話中，學生一定會問到一個老師最怕聽到的問題：
「我什麼時候用得到它？」
老師很可能這麼回答：
「我知道計算積分很乏味，但是你要記住，將來你不知道會選擇什麼樣的工作，你現在可能...

前言 我什麼時候才會用到數學？

第一部 線性思考錯了嗎？
第一章：更不像瑞典
第二章：局部平直，大域彎曲
第三章：每個人都肥胖
第四章：相當於死了多少美國人？
第五章：派餅比盤子還大

第二部 這樣推論可以嗎？
第六章：破解聖經密碼
第七章：死魚不會讀心
第八章：歸渺法
第九章：內臟占卜學
第十章：上帝，祢在嗎？是我，貝氏推論

前言 我什麼時候才會用到數學？

第一部 線性思考錯了嗎？
第一章：更不像瑞典
第二章：局部平直，大域彎曲
第三章：每個人都肥胖
第四章：相當於死了多少美國人？
第五章：派餅比盤子還大

第二部 這樣推論可以嗎？
第六章：破解聖經密碼
第七章：死魚不會讀心
第八章：歸渺法
第九章：內臟占卜學
第十章：上帝，祢在嗎？是我，貝氏推論