HPM的最佳伴手禮：推薦蘇惠玉的《追本數源》
蘇惠玉老師出版這本HPM專書，較之於我自己的著作出版，我的雀躍與期待絕對是有過之而無不及。這種心情就好比看到年輕後輩終於獨當一面一樣，因此，我想藉此機會欣然分享二十幾年來，開拓HPM這個新興學門的價值與意義。
所謂HPM，原是指一個國際研究群International Study Group on the Relations between History and Pedagogy of Mathematics的縮寫，後來，逐漸演變成為一個學門的簡稱。這個學門的主旨，是為了探索數學史與數學教學的關連。事實上，就學門的分類來說，它是橫跨數學史與數學教學（研究）的一門新興學問，也因此，它的理想目標要是連結到數學教育的現實，無非是數學史與數學教學的研究結果之互惠。
HPM與我的直接關係要從一九九六年談起。當年夏天，我前往葡萄牙參加HPM 1996 Braga。那是四年一度的ICME(International Congress on Mathematics Education)之衛星會議，在會場我得以認識John Fauvel（英國數學史家）與Jan van Maanen（荷蘭數學史家），他們分別是1996−2000、2000−2004年間的HPM主席。由於下一屆ICME 2000即將在東京舉行，所以，他們希望我承辦HPM 2000。這是HPM的國際慣例，顯然大家都希望ICME與HPM分別在鄰近國家舉行。或許是基於數學史同行的某種默契吧，我沒有經過太多考量就承擔下來。
我當年所以決定接手，多半由於我年少時的數學普及夢想所引發的數學史研究志業。記得我在1981年出版的《中國π的一頁滄桑》自序中，就特別引述數學史家Morris Kline懷抱HPM精神的證詞：「循著歷史的軌跡介紹數學，這種方式是獲得理解、深入體會的最佳途徑。」現在，既然有這種機緣籌備此一盛會，就當作一種HPM實踐吧。另一方面，我有把握屆時好多學生可以提交學術報告，撐起在地的所謂「主場優勢」，同時他們也會樂意擔任HPM會議的志工。事實上，我的學術生涯最值得驕傲的一件事，就是在1991年榮獲科學史博士學位之後，有幸指導相當多位非常優秀學生（如蘇惠玉等人）撰寫數學史相關論文，他們大都從大四開始選修我開授的「數學史課程」，因而深深地被這門學問所吸引。
西元兩千年七月，HPM 2000 Taipei如期舉行，也如預期地博得好評。不過，在所有的行政資源支援中，最具有意義的一項，就是我也從當時的國科會獲得些許補助，得以創辦《HPM通訊》1，藉以推動在地的HPM，並分享HPM的研究成果以及相關資訊。至於這個刊物的主編，就邀請蘇惠玉擔任，從1998年10月一直到今天，她可以說是臺灣HPM的永遠志工。
由於惠玉的堅持與慧識，這份小眾刊物維持了我們臺灣HPM伙伴的學習動能。近二十年來，我們在數學史研究與HPM上的實踐，都在這個通訊上留下了珍貴的點點滴滴。業師道本周(Joseph Dauben)甚至以「通訊團隊」稱呼我們這一組數學史的愛好者。事實上，有許多伙伴都是由於惠玉的不時敦促，而在這個刊物上留下深具紀念性的文章，其中，當然包括惠玉本人的長期耕耘成果。
這些成果的精緻版本，其中就有部分收入這本《追本數源》。全部的這二十七篇「你不知道的數學祕密」，大致可分為四類。在這四類中，第一類所包括的單元（第1−15篇）有：
(1)數學概念：無理數、虛數、對數、費式數列、黃金分割比、
向量（含複數）、巴斯卡三角形（含巴斯卡傳記）；
(2)數學公式：餘弦定律、海龍公式、歐拉最美的數學公式；
(3)數學理論：三角學、圓錐曲線、機率初步；
(4)數學方法：數學歸納法、三次方程式解法（及優先權之爭辯）、高斯消去法的預備。
其中，〈機率初步〉（第9篇）可以「抽出」與〈機率論發展的第二樂章〉（第19篇）及〈統計學的興起與發展〉（第20篇）並列，合為第二類。另外，第16−18篇主題都是天文學的數學模型，可單獨成為第三類。至於第22−27篇等六篇，則是有關微積分的故事，我將它們歸屬為第四類。
（我的）上述分類多少忽略了年代學因素，不過，如此會比較方便我們推薦這些材料作為「特定的」教學用途。基於此一考量，首先，我要鄭重推薦第二類，因為在這三篇文章中，惠玉從數學史切入，為我們呈現了機率與統計之關係的一個簡要輪廓，譬如，她評論說：「當數學家由觀察事件發生的機率，推論事件真實機率的近似值時，就需要用到統計了。」這對於想要釐清所謂的「統計思考」之意義的老師（譬如我自己）來說，尤其是不可多得的參考教材。
另一方面，第四類文章可充當微積分特色課程之教材。惠玉從有關無窮概念的問題談起，總共處理了它們的三個面向：芝諾悖論(Zeno paradox)、潛在無窮與實在無窮（之對比），以及不可分量(indivisible)與無窮小量(infinitesimal)。然後，再以另三則故事來說明微積分的誕生，其中涉及數學家除了牛頓與萊布尼茲之外，還論及沃利斯(Wallis)及費馬所扮演的過渡角色。不過，最重要的數學史洞識，莫過於她引述數學史家凱茲(Victor Katz)的見解，說明何以我們會將牛頓與萊布尼茲並列為微積分的發明人。這對於喜歡「提問」並「告知」「誰率先發明○○○？」的人來說，頗有醍醐灌頂之功！因為唯有深入（知識的及歷史的）脈絡，我們才能判斷此類提問是否恰當？或者，即使問題有意義，是否還適合簡單的回答？
再有，本書第三類文章針對「西方歷史上的數學與天文之關係」，提出了非常詳盡的解說與圖示。惠玉深入相關原典史料所進行的論述與敘事，說明她打算為這一類特色課程，提供一個相當前瞻的參照，讓高中教師同行借鏡。她的故事始於托勒密的《大成》，經歷哥白尼天文學革命，終於克卜勒的行星三大運動定律。針對克卜勒最終發現橢圓的天文（物理）意義，惠玉給了十分動人的評論：「如果當初克卜勒沒能打破一千多年來對圓形軌道在哲學、美學與宗教上的『盲目』信念，或許我們現在還體會不到這個宇宙簡單、純粹與和諧之美。」
最後，我們回到本書第一類文章。這一類所涉及的，都是HPM「曝光率」最高的單元。也因此，這些故事要說得別出心裁，尤其需要數學史、HPM的素養與功力，甚至是數學知識本身的洞察力。譬如說吧，惠玉在〈有意思的餘弦修正項〉（第11篇）一文中，針對畢氏定理vs.餘弦定理之對比，就提出了非常有趣的觀察：「一般定理的出現都有其脈絡，當數學家們發現了直角三角形三邊所作的正方形有著畢氏定理這樣的關係時，接下來感興趣的課題自然而然就是非直角三角形時是否保持一樣的關係？或是要作如何的修正？從特例到通例，從熟悉的已知推廣到未知，餘弦定理的出現脈絡為數學定理的發現做了個很好的示範。」
還有，在〈圓錐曲線的命名〉（第15篇）一文中，對比高中數學教材僅從代數面向來看待拋物線、橢圓與雙曲線，惠玉從「問題的起源、名稱的由來以及表徵方式」，重新考察這三個曲線，從而進一步發現「正焦弦」在「徒然」計算之外的重大意義。原來這個線段的長度，都出現在阿波羅尼斯圓錐截痕(conic sections)的表徵之中。因此，針對圓錐截痕的不同定義方式，她明確指出：「仔細觀察就可發現它們都有個相同不變的形式，那就是相等（parabola，拋物線）、超過（hyperbola，雙曲線）與短少（ellipse，橢圓）。藉由這個因性質而起的名字由來，圓錐截痕（圓錐曲線）的觀念得以整合成一體，而不再只是零碎的三個不相關曲線而已。」
這個有關正焦弦的故事，在數學與數學史兩方面都深具洞識，是數學教師專業發展中不可多得的範例。惠玉在《HPM通訊》發表後沒多久，我在MAA所發行的Convergence線上期刊上2，也發現類似的論述，「德不孤必有鄰」，充分見證惠玉乃至於臺灣團隊伙伴的HPM之國際化視野。
總之，無論從教師專業實作成果，或是數學史甚至是HPM研究來看，本書都忠實地反映作者的深厚學養。它字字珠璣，筆調溫暖，而且洋溢著數學知識活動的練達反思。所有這些，都保證了它的HPM跨界（譬如國界）可能性。因此，本書將是HPM的最佳伴手，也是HPM伙伴獻給臺灣數學教育界的最佳禮物。透過它，我們一定可以想像數學教育的更美好未來！
洪萬生
國立臺灣師範大學數學系退休教授
2017年11月寫於木柵仙跡巖末端
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1 http://math.ntnu.edu.tw/~horng/letter/hpmletter.htm。
2 MAA是Mathematical Association of America的縮寫。Convergence是由這個團體所發行的HPM期刊。
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