大域微分幾何引言──細談整部書的脈絡（節錄）
像這樣多達八百多頁，分上、中、下三卷的專業數學書，很難想像有人會埋頭讀完整部書。寫這篇引言，是為了鋪陳全書的脈絡，讓讀者看到一連串自然而有趣的提問，像一幕幕風景一樣，沿路開展。是這些自然的風景，帶進來嚴謹的數學理論。讀者閱讀這部書時，不妨隨時來回翻閱這篇引言。若心中存著這條脈絡，讀起書來或許會更有動力，也不容易在這部大書的理論中迷失方向。
Sect. 1 較早的脈絡
1.1 白話
寫這部書時，我力求脈絡清晰，直接切入問題，減少「不那麼必要」的形式語言。與經驗連結，是引入抽象概念的前提。雖然這部書是專業研究的書籍，我仍然盡量把它寫得白話。
什麼是白話？白話就是鋪陳要自然：以自然的提問作為背景，一層層引入數學概念，使數學概念與人的感覺聯繫起來，讓人發生興趣，一步步深入數學未知的、複雜的抽象世界。
以「上卷」的脈絡，作為例子，來說明我力求白話的意義。微分幾何要處理的主要對象是「彎曲的空間」。空間如何彎曲？1860年代，Riemann的重要貢獻，就是引入Riemann曲率張量，來描述空間的彎曲。因此後人把彎曲的空間，稱為Riemann空間，或進一步叫Riemann流形。
一般幾何書籍都直接定義Riemann曲率張量[Ch.3(26)式；Ch.6(19)式]。但我們寧可回溯Riemann最早的思路：從詢問
「什麼時候空間是平直？」
而發現：「某個張量是否等於0？」為空間是否平直的關鍵。其中某個張量，就是後來的所謂Riemann曲率張量，以下簡稱Riemann張量。
「什麼時候空間是平直？」必須借助坐標來描述。換句話說，Riemann空間的坐標，什麼時候可以換成平直的新坐標？這牽涉到「新坐標該滿足的微分方程組，可否積分？」的問題。因此，我們必須先討論可積分條件。為了處理這樣的問題，我們證明了更普遍的Frobenius可積分定理——有時普遍反而變得自然。見Ch.2 sec2。
根據Frobenius可積分定理，便不難找到用來描述曲率的Riemann張量。一旦有了Riemann曲率張量，測地線的二階變分[Ch.7(21)式，有時稱為第二變分式]，就容易看出意義，因為計算出來的那一大堆式子，整併起來，原來就是Riemann曲率張量。
為了考慮二階變分等於$0$的情況（這相當於在初等微積分中找inflection point：亦即找x，使f''(x)=0），所謂的Jacobi場出現了。
如果測地線上，首度出現非零的Jacobi場[Ch.10(02)式]，我們說兩端點互為共軛(conjugate)。等到熟悉測地線與Jacobi場的遠方行為[Ch.9, 10, 11]之後，例如知道：「兩共軛點之間的測地線，若往外延長一點，便不再穩定(stable)，當然也就不是最短路徑」，我們便能夠利用測地線與Jacobi場，去了解Riemann空間（或稱Riemann流形）的整體樣貌，切入大域微分幾何的內核。譬如，我們可以控制正曲率流形的直徑[Bonnet-Myer定理，Ch.12]，也可以掌握負曲率空間的形狀[Hadamard定理，Ch.12]。
所有的概念，像Riemann張量、Frobenius可積分條件、Jacobi場、共軛點、cut point、…都不是空穴來風，而是為了瞭解彎曲空間的形狀，沿著一層層問題的思路，而發展出來的重要概念。這一切都很自然，而且整條脈絡清晰易明，一氣呵成。如此「上卷」忽忽結束。這就是白話的意思。
當然，發展這條脈絡的路邊，有很多花草，像共變微分、平行線、Riemann尺度、指數映照、凸鄰域、…，都必須一一引介。這整條脈絡，加上周邊的花草，就是「上卷」的主要內容。
1.2 零四講稿
這部書（以下有時稱本書）有：
上卷 前篇A、B、C三章
篇一到篇三，含Ch.1--Ch.12
中卷 篇四到篇六，含Ch.13}--Ch.21
下卷 篇七到篇九，含Ch.22--Ch.30
衍篇 三文}
它最早的形式是1998-2004年春，我多次在台大數學研究所，開幾何課的講稿——以下稱為「零四講稿」。
零四講稿的內容是：現今前篇的章C、上卷三篇、及中卷到篇五。前篇的章C簡述可微流形。有了可微流形，加上Riemann尺度(metric)，才成為Riemann流形。
可微流形最根本的出發點是維數(dimension)。從日常的生活經驗，一維、二維、三維、…等維數的概念，似乎明白易辨。但1890年Peano曲線的出現，使數學家對維數這樣司空見慣的概念，開始感到不安。在前篇章~\ref{chc}，開始定義可微流形之前，我們也證明了維數的拓撲不變性。
很多數學者都相信，維數在拓撲變換之下不變，但一生從來沒讀過或做過證明。這部書主張人進入幾何專業之前，總要讀過一遍維數拓撲不變性的證明（當然，能自己證明出來更好。這是流形概念的基礎，它的證明是nontrivial。對數學專業者來說，nontrivial是數學品味的判準之一。
一旦確認維數的拓撲不變性，並引入坐標鄰域疊合延拓的概念，可微流形的簡介也就結束。我們跳過可微流形最有趣也最nontrivial的內容：Poincaré-de Rham-Hodge的理論，這是令人遺憾的事。但de Rham的理論龐大而深刻，篇幅相當於一本書。我們不得不略過，為了早點進入本書的主題「彎曲的空間」。就這樣，本書談過前篇的章C之後，我們依剛剛1.1所說，一路討論完上卷。
零四講稿的後面兩篇[即中卷篇四、篇五]，在2004春的課堂中，並沒來得及討論，因為講過前篇章C及上卷到Ch.12、一個學期已匆匆過去。
1.3 大域與局部
大域微分幾何，經常在考慮局部與大域之間的辯證問題。曲率是由局部幾何（而且是infinitesimally local）決定的，那麼局部的曲率如何影響空間大域的形狀？前述1.1提到的Bonnet-Myer與Hadamard定理，便是這樣的兩個例子。
關於這層辯證關係，古典的Gauss-Bonnet定理，是最早出現的重要成就：「在封閉的曲面上，高斯曲率的總積分決定曲面的拓撲！」[前篇章A§8}]。
Gauss-Bonnet定理的證明，主要的觸媒是Hopf-Poincaré的標數定理。後者把整體拓撲，歸結到向量場在一個奇異點附近的標數(index)，這使得大域與局部的幾何聯繫起來。Hopf-Poincaré的標數定理意義深刻，卻不難理解，我們提早在前篇章A，便加以詳述，雖然那裡所考慮的，還只是二維曲面。這個利用標數的精神，可以延伸到後來高維的情況，完成高維Gauss-Bonnet定理的證明[中卷篇六，Ch.19}]，揭開最早局部與大域之間的辯證關係。
其實這層辯證關係（亦即聯繫曲率與拓撲），可以說是大域微分幾何的主要課題。Gauss-Bonnet之後，我們看到Synge-Frankel類型的大域定理。
在上卷中，我們注意到一個有趣又重要的事實：「曲率越大，測地線也不穩定。」[Ch.7§3}]。這個事實可以從測地線的二階變分得到。利用它，我們容易得到Synge與Frankel等幾個定理的證明[Ch.7]。
Synge定理說的是：封閉的Riemann流形，若為偶數維、可定向而且正曲率，則必為單連通。在這裡「正曲率」如何影響流形的整體樣貌？這又是局部與大域辯證關係的另一個好例子。
我們注意到透過測地線的二階變分，局部性的曲率起了作用，影響到測地線是否穩定的大域行為，亦即：封閉測地線在正曲率流形中的不穩定性，使得任何封閉測地線必須越縮越小，終至變成一個單點，所以流形必然是單連通。
這類利用測地線的變分，是切入大域幾何的第一道重要方法。
事實上，前言1.1談到Bonnet-Myer與Hadamard定理，也都是這方法的例子。
這方法的延伸，我們稱為「幾何變分學」。幾何變分學(calculus of variations in geometry)是這部書下卷的主題。在上卷中我們利用測地線的變分；測地線是一維的。到了下卷，我們會提升幾何變分學的層次，把一維的測地線，提高成二維以上的最小曲面，或常均曲率的曲面，而得到更多、更複雜、更深刻的大域定理。
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