下卷的主題是幾何變分學。含三篇
篇七 均曲率幾何的基礎
篇八 Plateau與Berstein問題
篇九 均曲率方程
共九章，即Ch.22-30。
如前所述，微分幾何處理的主要對象是彎曲的空間。上卷已經建立了彎曲空間的基本概念，例如向量場的共變微分與曲率張量，並藉由彎曲空間中測地線的變分，來探測彎曲空間大域的幾何性質，例如對正、負曲率空間，分別有Bonnet-Myers定理、與Hadamard定理。
1. 幾何變分學的鋪陳
二十世紀中期之後，幾何分析(Geometric Analysis)成為幾何學研究的主流。
它涵蓋甚廣，活潑、複雜而深刻。幾何變分學只是其中的一支。我們選幾何變分學作為下卷的主題，主要因為它的提問，自然而有趣。同時它與幾何分析的基礎概念相通。像Hopf最大原理(maximum principle)、比較原理(comparison principle)、流形上的變分、最小曲面及常均曲率曲面的穩定性、stability operator的特徵值、絕對最小與calibration、Sobolev函數、值譜定理、…等，都是幾何分析必要的基礎概念。這些全放進了書的下卷。
幾何變分學中很多經典的idea與貢獻，則為下卷探討的主題，例如：Laplace的毛細估計、Plateau問題、Bernstein問題、迷人的Hopf猜想、與凸性問題等。
在下卷的開始，即篇七Ch.22、Ch.23兩章，我們談均曲率的一些基礎概念，但同時鋪陳一些自然的問題。例如Ch.22中，談曲面積的絕對最小、引入calibration、作出ℝ4中的Plateau解；又從二階變分的計算，證明了Barbosa-do Carmo有趣的定理：ℝn+1中的封閉區面Mn，若均曲率為常數(簡稱cmc = constant mean curvature)，而且為穩定(stable)，則Mn必為球面。這個所謂stable sphere theorem，其實是1950-1980年間許多幾何學家在思考Hopf猜想(Hopf's conjecture)時，分出去的一條軌跡。
Ch.23也一樣，在探討最小曲面的穩定性這條自然的脈絡中，我們介紹了Jacobi場，Sobolev空間，並證明一般的值譜定理(spectrum theorem)。然後我們以特徵值的估計，證明了鼓面愈大，聲音愈低沉；而且在鼓面面積相同的情況下，證明：鼓面愈對稱，聲音愈低沉。同時，我們把這些有趣的古典分析，與現今的問題相連結。
2. Plateau與Bernstein問題
Plateau問題與Bernstein問題的交會，是1960-70年代幾何界的大事。下卷篇八，三章(Ch.24-26)集中在訴說這個故事。著名的Plateau問題是古典問題，1930年代Jesse Douglas有突破性的進展，他用「三定點手法」成功的控制面積泛函的minimizing sequence，使其極限成為Plateau solution。我們用Ch.24一整章，完整的敘述他原創性的證明。然後我們進入1960年代之後最小曲面的極盛時期，細說那時期幾何學界蓬勃綻放的美麗花朵。
Plateau問題的起源，是在答覆這樣的問題：給定ℝ3中的一條封閉曲線，有沒有以這曲線為邊界，而面積為絕對最小的曲面（稱為Plateau解）？又如果有解，解曲面有否奇點？Bernstein問題則為：在ℝ2上全定義的minimal graph（即表成u=u(x), x ∈ℝ2），是否必為平面？Bernstein定理就某種意義來說，可以說是一種非線性的Liouville定理。
有趣的是，Plateau解曲面有沒有奇點，與Bernstein定理對不對，是同一件事。[Ch.25]。如果我們躲進Plateau solution那奇點的無限小鄰域，去看Plateau的解曲面，我們會看到一個cone（錐面）。相應的，如果我們跑到無限遠處，回頭看Bernstein解曲面，也會看到一個cone。
於是問題轉化成：「在ℝN空間中，除超平面之外，是不是存在minimal cone？」的問題。亦即：是不是有這樣一個面積為絕對最小的錐面(稱之為minimal cone)，它不是ℝN-1？若有，則Plateau solution有奇點，Bernstein定理也跟著不對。若沒有，則Plateau solution為regular（沒有奇點），Bernstein定理正確。
這是兩個問題美麗的交會。
3. 意大利學派
藉Ch.25，我們先介紹Bernstein問題的古典背景，亦即在最簡單的ℝ2上考慮minimal graph，並用Chern的觀點，把最小曲面的metric改造[見Ch.25(12)式]，將問題歸結為Liouville定理。隨後我們進入1960年代最小曲面論的highlight：James Simons對兩問題交會所做的貢獻；然後用活動標架法估計第二基本式，而得到維數不大於6，不會有平面之外的minimal cone。藉Ch.26，我們進入意大利學派Bombieri與de Giorgi的世界，引入BV函數(functions of bounded variation)，延伸Bernstein定理到7維，建構ℝ8中非平面的minimal cone S3(1/√2) x S3(1/√2)$，並給出8維以上著名而深刻的反例。另外，1970年代Schoen-Simon-Yau直接估算第二基本式，一方面標誌活動標架法的威力，另一方面開啟幾何分析的研究，把幾何與分析做緊密而漂亮的結合，這工作也放在Ch.26，作為篇八的結束。
4. 毛細液面
篇九從Young-Laplace-Gauss對毛細液面的貢獻談起。1805年Thomas Young導出：液面的內外壓力差為均曲率(mean curvature)的常數倍[Ch.27(01)式]。同時，Laplace觀察到：液面的均曲率，與液柱的高度成正比[Ch.27(4)式]。他們的工作開啟了毛細液面與均曲率的研究。我們知道在無重力的狀態下，毛細液面的均曲率必為常數，亦即必為cmc（常均曲率曲面）。
對於Young-Laplace方程[Ch.27，(04)及(05)兩式]，Gauss用虛功原理(virtual work)加以證明，打開變分學的一頁。在Ch.27，我們用現代語言重新詮釋這些，並建立普遍的理論架構，據此深入毛細液面（包含cmc）及相關曲面的探討。
毛細現象有很多有趣的問題，例如一棵樹為什麼可以把土壤裡的水分吸到樹頂？根據早先Laplace的計算，以現有導管的粗細，毛細現象最高只能把水分吸到$10$英尺[Ch.27(31)式]。但很多樹都遠高於10英尺。植物學者認為原因是：葉面水分蒸發具有真空吸力的效果。可是很多溫帶的大樹，冬天葉子都掉光，地裡的水分如何被吸到樹頂？使的樹木存活？Robert Finn給出了答案：因為樹幹中導管的橫截面，實際上不是圓形（如Laplace所假設），而是偏向六角形。秘密就在那些角，當角夠小時，毛細液面會以1⁄r的速率爬升。
這樣的例子揭示我們必須正視毛細液面的複雜性。接連很多問題都與毛細液面的幾何有關。
當重力越小，管壁對液面分子的吸附力（或排斥力）的影響越大，液面越變化多端。尤其當重力越小時，液面的幾何越豐富。例如有趣的凸性問題，見Finn-Korevaar [Ch.27，定理4]與Chen-Huang [Ch.27，定理5、6}]。
又例如一個封閉的容器，裡面除了留有一些空隙之外，幾乎注滿水，把容器拿到太空中，這時空隙會變成什麼樣子？是不是一個球狀？答案是對的（當然也可能是n個球狀）。理由是：這時空隙的邊界是常均曲率的液面。Alexandrov在1956年證明任何一個安裝（embedded，或譯為鑲映）於ℝn+1中的n維封閉曲面Mn，若均曲率定常（即cmc），則必為球狀[Ch.28，定理2]。
但embedding這個拓樸條件是否必要？例如：假定（cmc的）Mn不限定embed（鑲映），而只知immersed（浸映）於ℝn+1中呢？這就是著名的Hopf猜想(conjecture)。Hopf自己證明了：M2若與球面S2同胚，則浸映的cmc M2只能是標準球面。然後是一些有趣的努力：例如前述Barbosa-do Carmo [Ch.21]的穩定球定理，與項武義(Wu-Yi Hsiang)四維空間ℝ4中的反例。1983年，Wente終於證明了Hopf猜想不對：在ℝ3中存在很多cmc環面的反例。
篇九前兩章[Ch.27-28]，把Hopf's differential與Alexandrov的對稱化方法分別做了介紹，並得出他們的定理。在衍篇中，我們附上王藹農簡介Wente環面的幾何。
5. cmc的幾何
篇九的後兩章(Ch.29-30)，與本書作者的工作有關，例如：凸性問題、大凹陷定理與Jacobi場的分佈。
1950-1983年間，幾何學家會支持Hopf猜想，其直覺的理由是：cmc封閉曲面$M$似乎不能有凹陷（指Gauss曲率為負的地方）。如果這個直覺是對的，那麼由Hadamard定理，M必然圍出一個convex body，亦即M鑲映於ℝ3中，因此根據Alexandrov定理，M必為球形。
Wente的眾多反例，告訴我們上述的直覺是錯的：M確實有凹陷。Huang-Lin（我與林俊吉）的大凹陷定理，在釐清上述直覺成立的範圍。它說，如果範圍不大，cmc封閉曲面確實不能有凹陷。換句話說，它若有凹陷，凹陷的範圍必須很大，至少包含一個extremal domain。
任何一個domain都可以一直拓廣到成為extremal [即λ1(M)=0，見Ch.29，§2]，extremal domain是相當大的面域，例如M中的一塊面域，若為non-parametric（即可以表成u=u(x), x ∈ℝ2時），它都比extremal domain小。可見cmc曲面凹陷的範圍很大。大凹陷定理的證明，也支持早先我對凸性問題的主張：1970-80年代Brascamp-Lieb、Caffarelli-Friedman、Finn、Korevaar、Chen-Huang、Shih等人處理的凸性問題，關鍵在於：問題是不是well-posed？
亦即，當我們期望在凸區域(convex domain)上的任何一個橢圓方程解，本身也是convex時，邊界條件不能加在零階(Dirichlet)，或一階(capillary或Neumann)，而應加在二階[Ch.29}，§1}]。
另外，在cmc曲面上的一個domain D(t)隨著時間t，從一個點鄰近的小小範圍連續加大，記成{D(t), 0≤t
在篇九Ch.30，亦即，在本書的最後一章，我們把這問題與Morse index定理連結起來，一如在測地線的情況一樣（最簡單的一維測地線，現在變成二維以上的cmc曲面）。本章的主要結果是：介於$D[λk-1=0]與$D[λk=0]之間，必有非零的Jacobi場出現過，而且其重數(multiplicity)可以控制。[Ch.30}，Thm.8]。
這問題遠比測地線上的Jacobi場的分佈複雜，因場域不再是一維的測地線，而是高維的曲面，況且是有體積制限(volume constraint)的cmc曲面。勻滑的C∞-手法，不適合應付這問題。我們必須把C∞-架構提升為Sovolev架構。Ch.23曾經考慮Sobolev函數空間，據此證明值譜分析定理。現在我們必須縝密的經營Sobolev的理論，看到它生動而成功的解決C∞-架構中自然的提問，才知Sobolev理論的精緻。為了這項工作，我又耗掉一年多的時間研究並寫完第30章。
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