NEWTON牛頓科學雜誌 11月號/2017 第121期：...

「質數（prime number）究竟具有什麼樣的性質呢？」以歐幾里得為首的偉大數學家們，從紀元前的古老時代就深深為質數所著迷。
所謂質數就是在2以上的正整數中，若僅有1與本身兩個正因數，則稱此正整數為質數。任何2以上的正整數均可表示成一串質數的連乘積，換句話說，質數可以說是整數之「元素」的數。
那麼，我們想要分辨某數是否為質數時，究竟該怎麼做呢？質數到底有多少個呢？質數的出現模式是否有規律性？接下來，讓我們來認識充滿謎團的質數性質。
在1∼100的整數中，有哪幾個是質數呢？
提示是「質因數分解」（prime factorization）。若某個數字在質因數分解中，除了1和自己本身以外，還可以整除其他數字的話，該數就不是質數。舉例來說，36就不是質數。
另外，所謂質因數（prime factor）就是在某整數的因數中，同時也是質數者，例如：2和3是36的因數，同時2和3也是質數，所以2和3是36的質因數。
在前面提到1∼100的100個整數中，共有25個質數。
調查某個數是否為質數，可以利用質因數分解的方法來分解該整數，但是如果想要調查的整數很多的話，將一個一個的整數進行質因數分解是一件非常花時間的事。
想要分辨巨大整數是否為質數十分困難
古希臘學者埃拉托斯特尼（Eratosthenes，約西元前276∼西元前194左右）發現從連續的眾多整數中，僅篩選出質數的方法，該方法稱為「埃拉托斯特尼篩法（簡稱埃氏篩法）」（sieve of Eratosthenes）。埃氏篩法簡單來說就是「消去法」（elimination）。
首先，將所欲調查的整數依序寫成一覽表。寫成一覽表後，首先將2的倍數全部消去（但2是質數必須留下）。接著，在剩餘的整數中，將3的倍數全部消去（3是質數，必須留下）。然後，消去5的倍數（5是質數，必須留下）。就這樣，將質數的倍數逐一消去，最後僅留下質數。不過，1並不是質數。
埃拉托斯特尼所發現的方法非常簡單而且原始，不過即使經過了2000年，至今仍未發現比埃氏篩法更卓越的方法。就算是利用電腦來揀選出質數，基本上也是採用讓電腦將質數的倍數予以消去的計算方法。
另外，倘若要判斷幾千萬位數的巨大整數是否為質數，縱然想要調查的整數只有這麼1個，並且使用超級電腦來計算，也是極為困難的。這是因為在調查該整數是否能夠質因數分解時，必須使用該整數之平方根以下的質數※一個一個地去除，確認是否有餘數之故。這裡舉個例子以供參考：四位數的最大質數9973以下的質數個數有1229個。
※：數學上指一數自乘，剛好等於某數，則此數即為某數的平方根。假設有個巨大的整數，即使僅由二個巨大的質數相乘所構成，這二個巨大質數必有一個會在該整數的平方根以下。
質數的普遍性質尚未闡明，仍有許多問題尚未解決。當看到巨大整數時，我們很難輕易分辨該整數是不是質數。
質數這種不易分辨的特性，有被當成「鑰匙」來有效利用的例子，這就是在網際網路中，在訊息被轉化為密碼傳送時所使用的「RSA加密演算法」（RSA encryption algorithm）。
近年來，陸續發現許多太陽系以外的行星。我們也常常可以在媒體報導中聽到：在這些系外行星（exoplanet）中，也發現可能與我們所居住之地球相似的行星。如此說來，整個宇宙中，似乎存在大量可能孕育生命的行星。那麼，與我們人類一樣具有智慧的生命體（外星人）也有很多嗎？嘗試探尋遙遠宇宙中之地外高智生命的計畫稱為「搜尋地外文明」（Search for Extra-Terrestrial Intelligence，簡稱SETI），已執行了50多年，但是至今仍未有任何發現。在這個宇宙中，究竟有多少地外文明呢？
美國的天文學家德雷克博士（Frank Donald Drake，1930∼）在1960年展開全世界第一樁將無線電波望遠鏡朝向宇宙以探尋來自地外高智生命之訊號的「奧茲瑪計畫」（Project Ozma）。另外，在翌年的1961年提出推估可能利用無線電波與我們進行通訊之地外文明數量的「德雷克方程式」
全世界首度展開「搜尋地外文明」（SETI）計畫是在1960年，經過50多年的現在，仍未發現任何來自地外高智生命的訊號。難道在宇宙中，除了我們人類以外，沒有任何高智生命存在嗎？
這個乍看下毫無頭緒的問題，卻有個可提供線索的公式，這就是「德雷克方程式」（Drake equation）。此方程式用來推測「在我們所居住的銀河系內，擁有可利用無線電波與我們地球通訊之技術的文明（地外高智文明）究竟有多少（以N來表示）」。這是以創立搜尋地外文明計劃（SETI）而聞名於世的德雷克博士在1961年構想出來的。
德雷克方程式以下列七個項目（參數）相乘來表示。
R＊：銀河系1年所產生的恆星數量
fp：恆星擁有1顆以上之行星的比例
ne：在行星系統中，擁有適合生命生存之環境的行星數量
fl：在行星上實際誕生生命的比例
fi：在誕生的生命中，演化出高智生命的比例
fc：該高智生命演變成具有無線電波通訊技術之文明的比例
L：該文明持續的時間（年）
那麼，方程式中所列的各項參數值分別是多少呢？而地外文明的數量又可能是多少呢？
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