★解決向量在老師與學生內心的疙瘩。
★難道一定要用物理概念才能學會數學向量嗎?
★內積、外積在數學與物理各自是什麼意思?
本書是為了解決一段人對向量的大量疑惑。因為從物理的功、力矩定義導入向量內積、外積概念,令人誤會沒有這兩個觀念就不能將解析幾何,由二度推到三度空間。及為什麼能用物理概念推論數學?本書詳細說明數學及物理的向量歷史,認知到解析幾何根本不需要「向量」概念,就能夠推廣,只是相當繁瑣。並理解是數學支撐物理,而不是物理來說明數學。
作者之一多年來在求學與教學深受上述問題困擾,因為用物理說明數學會導致學生不理解、造成教學困難。兩位作者都認為死背定義的數學學習,或說不清楚的數學,根本不配稱為好的數學教育。因為數學是一門可以被說清楚的演繹邏輯,不能說清楚的部分越少越好。想要保持數學直覺性與創意性,適當的途徑是研究這門學科的歷史和現狀。因此本書盡可能釐清內積、外積在數學與物理的混亂。希望學生不再有困惑,心理不再存在疙瘩,並了解在自然科學中,數學具有不可理喻的有效性。
作者簡介:
吳作樂
學歷 國立台灣大學數學系學士
美國哥倫比亞大學數理統計博士
經歷 長榮大學資訊管理系教授
數位內容創作學程主任
國家太空中心主任
國際宇宙航行學院 (International Academy of Astronautics) 院士
宏遠育成科技股份有限公司總經理
工研院電通所副所長
美國Bell core公司信號處理部研發經理(District Manager)
美國貝爾實驗室(Bell Labs) 衛星通訊部門研究員
吳秉翰
學歷 輔仁大學應用數學學士
章節試閱
1-2 數學與物理的關係
數學與物理的關係,這個問題可以連同「為什麼要學一堆幾何證明」一起回答。很多學生對於幾何證明的題目太多,感到有疑問,為什麼要練習那麼大量的幾何證明?幾何證明固然可以學習邏輯,但基礎概念理解後其他僅是練習,為什麼有那麼多題目?因為中世紀的僧侶,因戰爭避世,並肩負傳承知識,認為「上帝就是幾何學家(God is Geometer)」、「宇宙的建築師(Architect of the Universe)」,所以僧侶研究幾何問題產生大量的證明;同時文藝復興時期的歐洲人認為希臘的數學是哲學的基礎,故大量練習幾何證明(歐式幾何),更成為近代教科書的內容。
僧侶為什麼要研究數學?因為在西方的文化,理性占文化很大一部分,並且神學、哲學、數學的關係是密不可分的。同時更早希臘時期的大哲學家—柏拉圖也曾說過「經驗世界是真實世界的投影」。其意義為我們處的世界具有很多數學規則,有些已經理解成為了經驗,有些是由這些組合成為新的經驗,但仍不夠完善。所以要學習數學的目的是為了解神創造世界的原理。
為什麼他們從數學切入,而不是從其他科目切入,如:物理、化學?因為科目本質性的不同,可以從幾個角度來討論原因。
1.出錯修正的機率
數學是零修正,唯一需要修正的情形,僅是取有效位數產生的誤差,如:圓周率,微積分(200年來都沒變,且不需要改變)。
物理、化學則是隨時代進步而修正模型公式。
2.研究的方式
數學是演繹邏輯的學問。
物理、化學是經驗結果論(歸納邏輯)的科學,科技進步就會更改,如:拋物線的軌跡、四大元素到現在週期表。
3.由真實經驗假設最基礎的情形
數學是可以理解的、不必再質疑準確性的公理做為最小元件。
如:1 + 1 = 2。再以此基礎來組合定義新的數學式,且不需質疑與驗證。
並且數學進步可視作由小元件到大物品的組合。
物理、化學是以現在的科技能觀察到的情形,做為元件,因科技進步,觀察到在更大的情形不符合,就必須修正。如:牛頓力學與愛因斯坦的相對論,或是要說明此方程式對於此情形是正確的,須實驗確定真實性。並且物理、化學進步可視作元件由半成品到大物品的組合,但須驗證,因為不清楚此半成品的理論是否正確,可能會導致大物品的實驗產生錯誤;以及半成品是否可以分解為更細小的元件。如:四大元素→週期表→電子中子→夸克→超弦理論。
4.數學家與物理、化學家目標不同:
數學家組合出新數學式後,並不一定知道可以用在哪裡,只知道演繹出來的結果是正確的,並認為這是具藝術美感,不知道也不在乎有何意義,可能未來有一天就有用了。
例子1:數論學家哈代明確指出,他的數論研究就是一堆與現實沒關係卻正確而美麗的數學,但在50年後卻被大量用在密碼學上。
例子2:虛數 的意義是什麼?一開始源自卡當的三次方程式求解。但在實際生活應用上不知能做什麼,但在19世紀發展成複變函數理論,成為近代通訊、與物理的基礎。
例子3:複數的奇異點討論,是以純數學的角度在討論,完全不知道與大自然有何關連性,但是近代物理學家發現黑洞的概念完全吻合奇異點的數學描述。
物理學家與數學家相當不同,大部分是先有目標,再尋找適當的數學式,並驗證,但有可能不符合而需要修正,有些時候也會與數學家合作找出適當的數學式。
當然在早期的科學,也是有著研究出不知能做什麼用的情形,如:法拉第對於電磁學的研究,做出了馬達,見圖1,他展示給國王看。國王問說能做什麼用?法拉第回:不知道,但總有一天能從此物品延伸的器械上抽取稅賦。之後果然可以抽取稅賦。
結論:討論數學對於研究真理是具有成效的。也要明白數學不是科學,而是幫助描述科學的語言。如果我們對數學學習感覺不舒服、不直覺,這是不對的。數學建構在邏輯之上,不熟悉要多練習、不理解要多思考。但總不會突兀的多了一個新的方法,令人不舒服、不直覺。數學的產生雖不像物理、化學全因現實需要而產生關係式,但也是因計算需要而產生關係式。這可以引用數學家龐加萊的話「如果我們想要預見數學的將來,適當的途徑是研究這門學科的歷史和現狀。」
同理如果對於學習不舒服、不直覺,將會干擾學習的熱忱,並且對數學家產生神化的感覺。同時臺灣的數學教育大多利用背公式而不去理解,將會降低創意與思考,變相來說就是影響了數學未來的發展。所以可以把數學家龐加萊這段話延伸到另一個層面,「如果我們想要學習數學的保持直覺性與創意性,適當的途徑是研究這門學科的歷史和現狀。」
補充1:戰爭避世產生一堆幾何證明,好比黑死病時期部分人躲在城堡中寫吸血鬼、狼人小說。
補充2:複數的奇異點討論,近代物理學家發現吻合黑洞的概念。因此近代物理學家,開始思考是否有更多的純數學理論可以吻合大自然。而實際上的情形的確如此,如:超弦理論。為什麼可以這樣作?因為數學的演繹邏輯不會有錯誤,而物理的歸納邏輯有時會出現問題。這樣的情況再次說明:「在自然科學中,數學不可理喻的有效性。」
1-3 數學的歷史
在學習數學過程中,從1、2、3、……的整數,到分數,到小數,到未知數,到負數,也到了虛數與複數;圖形觀念也從規則的幾何形狀,到不規則的拓樸等;同時也從二度空間走向三度,甚至是多維度,及無窮維度空間的討論。
有趣的是,數學歷史可以自成一個脈絡,不用夾雜其他的科目,順利的延伸。但在臺灣的數學教育有關於行列式、向量、矩陣,卻必須加入物理概念,相當混亂。作者猜測是為了幫助簡化學習而設計的課程,但卻會令人感覺相當突兀,太多的名詞,與突如其來的定義。而這些問題從歷史上來看就一目了然,由原本的方法太過麻煩並且無法推廣,不斷的更新與修正。
首先從傳統幾何意義與座標系開始,也就是解析幾何,其實已經可以解決當時很多問題。但當數學家將代數問題慢慢推廣後發現原本的方法不夠使用,首先出現了行列式(這與現在課本順序不同),接著出現矩陣的概念;同時物理學家為了解決所遇到的數學式問題,將行列式拆開成一行一行來研究,發明出向量的概念。
而後數學家也將物理學家向量的概念繼續發展,使得更加完善。可以發現數學的起源,也需要其他科目的靈感來加以茁壯。最後這三個概念(行列式、矩陣、向量)內容的相互討論,就是現在的高中數學內容。
向量與矩陣是現代數學的一個分支,也是電腦動畫的根本。需要了解到,數學的知識必須走在科技前面,即便是數學知識在當下不知能否用到,但在未來的某一天它可能成為科技的重要基礎。參考圖1,了解歷史順序。
1-2 數學與物理的關係
數學與物理的關係,這個問題可以連同「為什麼要學一堆幾何證明」一起回答。很多學生對於幾何證明的題目太多,感到有疑問,為什麼要練習那麼大量的幾何證明?幾何證明固然可以學習邏輯,但基礎概念理解後其他僅是練習,為什麼有那麼多題目?因為中世紀的僧侶,因戰爭避世,並肩負傳承知識,認為「上帝就是幾何學家(God is Geometer)」、「宇宙的建築師(Architect of the Universe)」,所以僧侶研究幾何問題產生大量的證明;同時文藝復興時期的歐洲人認為希臘的數學是哲學的基礎,故大量練習幾何證明(歐式幾何)...
作者序
前言
本書是針對高中生學習「向量」時,產生大量疑惑而寫的一部著作。高中數學課本從物理學的功、力矩的定義導入向量內積、外積的概念,造成學生極大的困惑,並誤以為僅能經由功、力矩的概念,才能推導出向量的內積與外積,這是相當大的錯誤認知。其中最大的問題是:
1. 如果沒有「功」和「力矩」的概念,就沒有「內積」和「外積」嗎?
2. 沒有「內積」和「外積」,就不能將解析幾何,由二度空間推廣到三度空間嗎?
3. 為什麼會用物理概念來推論數學,不是說數學是科學的語言嗎?
有鑑於此,作者從歷史演進說明及數學推導傳統解析幾何根本不需要「向量」的概念,就能夠推廣至三度空間,只是相當繁瑣而己。誠然物理學家創造了向量的概念,並啟發了數學家。換句話說,物理為了正確描述力學現象,建立一套數學語言,而後由數學家接手,建構了向量分析、線性代數,及希爾伯特空間(Hilbert Space),也就是n維度空間。但我們仍然不可以將數學與物理混為一談、這樣會導致兩者關係的混亂,誤會數學需要物理,事實上數學不需借助外力,本身就可說明清楚,也就是自圓其說。
作者在本書所要釐清的重點是:
1. 高中數學使用向量學習三度空間內容,是因為比傳統方法簡潔,而非必要,這個重點應該讓學生清楚知道,並讓學生知道數學不該存在破綻,一門演繹邏輯的科目,不該被誤解為歸納邏輯。
2. 本書依實際發生過的歷史進展過程詳加說明,徹底去除學生因課本的陳述方式,所產生的歷史錯亂與困惑感,如:柯西不等式、行列式、參數式。為了解決這種問題,本書將不屬於向量範疇的內容移除,以免學生誤會一定要先會向量才能學會那些內容,並了解傳統解析幾何就足以推導,但較為繁瑣,必須知道不用借助向量也可以推導。
3. 點出數學與物理之間的關係,數學是物理的語言,數學可以和物理緊密相關,也可能亳不相關。然而有趣的是,表面上和物理不相關的數學,竟然常常被物理學家或工程師使用在新的領域。有興趣的讀者可參考物理學家Eugene Wigner有名的論述:「在自然科學中,數學不可理喻的有效性。」原文是:「The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences」。
4. 了解內積、外積在數學、物理兩方的關係,而不是混為一談。數學「餘弦定理」會對應到物理的「功」,其運算動作都稱為「內積」;數學「平面方程式係數」會對應到物理的「力矩」,其運算動作都稱為「外積」。現行的內積、外積教學方式,大抵如下述:內積直接用物理來定義,硬套用到數學,不一定解釋。外積用公垂向量解釋外積,或直接用物理來定義,硬套用到數學,不一定解釋。本書詳細說明向量在數學及物理的歷史發展,並說明數學支撐物理。
5. 認識向量是基礎數學和基礎物理的交界點之一,高中數學從物理應用切入三度空間的數學,導致許多學生產生困惑。雖然數學和物理有錯綜複雜的關係,但我們仍然不該混為一談。必須理解到數學是建構在演繹邏輯的語言,而物理是建構在歸納邏輯的自然科學,只是用數學語言來表達,物理與數學兩者高度相關,但不相同。作者將所有產生困惑的原因全面清理,期望學生或教師們終能理解。
6. 如果不說明清楚向量概念的原由,將失去一次可以說明數學與物理之間的關係(另一次是拋物線的內容)。而數學與物理之間的關係,實際上是數學支撐物理,而不是物理來說明數學。如果不了解兩者關係,使得有一部分的人將數學當作物理,也就是誤會數學公式如同物理公式一般,會隨著時代被修正,也就是將演繹邏輯當歸納邏輯。
作者認為數學教科書應該使學習者學習順暢,而非死背定義。現行教科書用向量作為定理來說明解析幾何,也就是用物理概念強迫學生學向量,再處理數學的解析幾何問題。學生可能不明白內積的意義,若要死背公式(內積)來硬套數學題目,必然會令學習者相當困惑。
但作者也能理解到傳統解析幾何非常繁瑣,所以也不希望完全走回原本的老路,最起碼也應該用數學餘弦定理的概念來說明內積,用公垂向量來說明外積,避開物理概念的硬套,才能讓學生接受。如果非要用物理也應該說清楚從何而來,為什麼物理與數學可以相互呼應。為此本書說明了物理為什麼需要創造向量與內積、外積。
作者之一多年來,在求學與教學深受上述問題困擾,因為用物理說明數學會導致學生不理解、造成教學困難。作者認為死背定義的數學學習方式,或說不清楚的數學,根本不配稱為好的數學教育。因為數學是一門可以被說清楚的演繹邏輯,不能說清楚的部分愈少愈好。因此本書盡可能將向量產生的疑惑納入討論,希望學生不再有困惑,心裡不再存在疙瘩。
本書詳述了非常多的細節部分,但實際的核心價值是「釐清內積、外積在數學與物理的混亂」,想要快速解除困惑可以參考CH1、CH5、CH6的6-1到6-5、CH7、CH9,至於細節部分可以斟酌跳過。
「如果我做的物理問題呈現意料外的豐富數學結構,那麼這個物理理論一定是正確的。我們都知道這個假說曾經被驚人的驗證過,例如愛因斯坦的重力理論與狄拉克的電子理論。」
徐一鴻,華裔美國物理學家
本書雖經多次修訂,缺點與錯誤在所難免,歡迎各界批評指正,得以不斷改善。如有問題也可以連絡作者,作者信箱praxismathwu@gmail.com
前言
本書是針對高中生學習「向量」時,產生大量疑惑而寫的一部著作。高中數學課本從物理學的功、力矩的定義導入向量內積、外積的概念,造成學生極大的困惑,並誤以為僅能經由功、力矩的概念,才能推導出向量的內積與外積,這是相當大的錯誤認知。其中最大的問題是:
1. 如果沒有「功」和「力矩」的概念,就沒有「內積」和「外積」嗎?
2. 沒有「內積」和「外積」,就不能將解析幾何,由二度空間推廣到三度空間嗎?
3. 為什麼會用物理概念來推論數學,不是說數學是科學的語言嗎?
有鑑於此,作者從歷史演進說明及數學推導傳統解析幾...
目錄
前言
第1章 疑惑與歷史
1-1 向量常見的疑惑
1-2 數學與物理的關係
1-3 數學的歷史
1-4 太多新的定義
1-5 向量的教學順序令人困惑
第2章 傳統解析幾何
2-1 笛卡兒的平面座標
2-2 平面座標系的直線方程式(1):由來
2-3 平面座標系的直線方程式(2):斜截式
2-4 平面座標系的直線方程式(3):點斜式、截距式
2-5 平面座標系的直線方程式(4):兩點式
2-6 平面座標系的直線方程式(5):參數式
2-7 空間座標系的平面方程式(1):由來
2-8 空間座標系的平面方程式(2):表示方法
2-9 空間座標系的直線方程式
2-10 平面座標系的兩直線夾角
2-11 空間座標系的兩直線夾角
2-12 平面座標系、空間座標系的距離問題
2-13 平面座標系的點到線的距離(1):畢氏定理
2-14 平面座標系的點到線的距離(2):三角函數
2-15 平面座標系的點到線的距離(3):參數式
2-16 空間座標系的點到線的距離、兩平行線的距離
2-17 空間座標系的點到面的距離
2-18 各個平行情況的距離
2-19 空間座標系的兩歪斜線的距離
2-20 空間座標系的兩平面相交直線方程式
2-21 空間座標系的兩平面夾角
2-22 整合此章的數學式
2-23 參數式的起源:拋物線
第3章 行列式
3-1 解聯立方程式:兩變數
3-2 解聯立方程組:三變數
3-3 行列式的運算(1):二階
3-4 行列式的運算(2):三階
3-5 克拉碼行列式求平面方程式
3-6 二階行列式與面積關係
3-7 三階行列式與體積關係
3-8 變形的二階行列式(測量員公式)求多邊形面積(1)
3-9 變形的二階行列式(測量員公式)求多邊形面積(2)
第4章 高斯列運算
4-1 加減消去法與列運算(1):兩變數
4-2 加減消去法與列運算(2):三變數
4-3 高斯列運算求平面方程式
第5章 向量在物理的意義
5-1 向量在物理的意義
5-2 功與內積
5-3 力矩與外積
5-4 向量的定義
5-5 向量的基礎計算(1)
5-6 向量的基礎計算(2)
5-7 向量的基礎計算(3)
5-8 正射影與正射影長
5-9 向量與藝術:投影幾何
5-10 向量數學式總結
第6章 向量改變數學的教法
6-1 數學的夾角與內積
6-2 向量與平面上的直線方程式關係
6-3 數學的平面方程式係數與外積(1):解析幾何方法
6-4 數學的平面方程式係數與外積(2):法向量與力矩
6-5 數學的平面方程式係數與外積(3):法向量怎麼求
6-6 利用向量求平面上點到線的距離
6-7 利用向量求空間中點到平面的距離
6-8 利用向量表示傾斜程度(斜率)
6-9 向量與柯西不等式(1):如何證明
6-10 向量與柯西不等式(2):柯西不等式與配方法的關係
6-11 向量與柯西不等式(3):如何記憶
6-12 利用向量與二階行列式,求平面座標系的三角形面積
6-13 利用向量與三階行列式,求平面座標系三角形面積、及兩向量張出的平行四邊形面積
6-14 利用向量與二階行列式,求空間座標系的三角形面積、及兩向量張出的平行四邊形面積
6-15 空間座標系的「兩向量張出的平行四邊形面積值」等於「兩向量外積後的公垂向量長度值」
6-16 三角錐體積與行列式(1):拉格朗日
6-17 三角椎體積與行列式(2):向量方法
6-18 空間座標系的三向量張出平行六面體體積
6-19 空間座標系的點到線的距離(1)
6-20 空間座標系的點到線的距離(2)
6-21 歪斜線的向量討論(1)
6-22 歪斜線的向量討論(2)
6-23 三垂線定理的討論
6-24 向量方法證明畢氏定理、三角不等式
6-25 傳統解析幾何的分點公式與向量的三點共線定理
6-26 計算三角形重心
6-27 計算三角形內心(1):向量方法
6-28 計算三角形內心(2):傳統解析幾何
6-29 外心、垂心的向量性質
6-30 兩面角與兩平面交線的向量求法
6-31 二度空間的角平分線與三度空間的角平分面
6-32 三度空間的角平分線
第7章 向量從物理到數學,再回到物理
7-1 物理數學家與數學物理家
7-2 向量對數學的意義
7-3 數學與物理互相幫助
第8章 矩陣
8.1 動畫的由來(1)
8-2 動畫的由來(2)
8-3 動畫的由來(3)
8.4 矩陣的由來
8-5 矩陣的運算(1):二階矩陣PART1
8-6 矩陣的運算(2):二階矩陣PART2
8-7 矩陣的運算(3):二階矩陣PART3
8-8 矩陣的運算(4):三階矩陣
8-9 矩陣的運算(5):二階矩陣的反矩陣的由來
8-10 矩陣的運算(6):三階矩陣的反矩陣的由來與記法
8-11 矩陣的應用(1):轉移矩陣的概念
8-12 矩陣的應用(2):如何求轉移矩陣
8-13 矩陣的應用(3):血型的轉移矩陣
第9章 總結
9-1 相關歷史
9-2 結論
附錄
附錄1.為什麼負負得正呢?
附錄2.為什麼阿拉伯數字會長這樣?
附錄3.配方法與雙重配方法
附錄4.相關聯結
前言
第1章 疑惑與歷史
1-1 向量常見的疑惑
1-2 數學與物理的關係
1-3 數學的歷史
1-4 太多新的定義
1-5 向量的教學順序令人困惑
第2章 傳統解析幾何
2-1 笛卡兒的平面座標
2-2 平面座標系的直線方程式(1):由來
2-3 平面座標系的直線方程式(2):斜截式
2-4 平面座標系的直線方程式(3):點斜式、截距式
2-5 平面座標系的直線方程式(4):兩點式
2-6 平面座標系的直線方程式(5):參數式
2-7 空間座標系的平面方程式(1):由來
2-8 空間座標系的平面方程式(2):表示方法
2-9 空間座標系的直線...
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