用觀念學數學,十堂課讓你練出數學競爭力!
誰說社會組就一定學不好數學?
其實,擅長文字思考的人就該用自己的強項學數學!
本書幫你全面破解數學語言,從零開始掌握重要觀念,具備出色的數學力!
想把數學學好,卻始終不得要領?有四十五年教學經驗的杰瑞.金教授告訴你:別把數學想複雜了,所有的數學都來自基本原理!數學不是一大套複雜的法則,也不是死背硬記公式的學問。只要切實通曉重要概念,就能深入你想學的、或必須了解的任何數學領域!
作者也指出,我們也常以「數學」做為區隔的概念,將人分成不懂數學的人與懂得若干數學的人──就如同我們高中會區分社會組與自然組。這本書要解決的,就是盡量消除兩者的鴻溝,讓想學數學的文科學生,可以用他們對文字掌握力的強項來理解數學的語言;若是之前有一定數學造詣,卻因時間而遺忘所學的學生,也能重新喚醒記憶,打好基礎。
書中透過生動的文字及例子,從非常基本的初階觀念入手,運用十堂課程,循序漸進地引導大家享受有趣的數學之旅。其中任一頁所提的數學觀念,都能以先前探討的觀念根基來理解,不需具備高深的數學知識,只要帶著好奇的心,逐一隨著書中的篇章學習,就能體會數學美好有趣的一面,從此對數學改觀,找到學習的樂趣。
作者簡介:
美國里海大學(Lehigh University)名譽數學教授暨研究所名譽所長。他在里海講授數學四十五年,曾獲該大學兩項最高教學獎項。他的著作包括備受稱許的《數學的藝術》(The Art of Mathematics)和多篇專業論文與評論。
譯者簡介:
全職科普書譯者,累計作品已出版者近五十本。近作包括《小心壞科學》、《創作大師的不傳之祕》、《大腦比天空更遼闊》、《數學教室A to Z》、《大氣:萬物的起源》、《知識的365堂課》等。
各界推薦
名人推薦:
正如同詩歌之鑑賞能力需要適當訓練,對一般人而言,數學能力的養成,也必須要有紮實的功夫才行。……在本書中,作者根據教學原理,從最基本的概念出發,恰當且有系統地呈現學習材料,相信讀者一定有機會領悟初等數學所展現的真與美之一體兩面。──洪萬生 臺灣師範大學數學系退休教授
極具創造力的數學家們很少為非專業人士寫書,但是一旦寫了,就好得令人讚嘆,杰瑞.金也不例外。──馬丁.葛登能(Martin Gardner)《科學人》(Scientific American)雜誌「數學遊戲」專欄作家暨《跳出思路的陷阱》(Aha!Gotcha)作者
我們多數人都是反向學數學,彷彿重點是在得出正確的答案。杰瑞.金也知道,數學要緊的是能想出好問題,遠勝於算出好答案。《社會組也學得好的數學十堂課》談的是基本道理,還兼論種種第一原理,涉及算術、機率、微積分、數論以及真、美和優雅等其他題材。──彼得.貝德勒(Peter G. Beidler) 美國教育推展後援會一九八三年全國年度教授
這是愛求知讀者的必讀作品,《社會組也學得好的數學十堂課》透徹闡析真相和數學世界。金的文筆自成一家,博引實例,論述明晰,尤以優雅更擅勝場。沒有人比他更擅長向非數學家闡釋數學。──吉羅德.希格頓(Gerald Higdon) 菲齊堡州立學院數學副教授
杰瑞.金創造出一件珍寶:稱得上一趟壯遊。……買下來吧──可別把它當成教科書來讀,要細細品嘗,拿它當家教,撥出充裕時間,一章接一章慢慢研讀。進展要緩慢,要逐步累進,這樣或許就能第一次感受到,數學可以當成一門活生生的學科來學習,不再是個內容早經確立,一切全屬已知的煩悶領域。……輕鬆就坐,動腦筋好好賞讀。──戴夫.威廉斯(Dave Williams) 阿拉巴馬漢茨維爾大學校長
在數學家杰瑞.金心目中,藝術和人文學科的重要程度,和他自己的學門毫無二致。……金以《社會組也學得好的數學十堂課》書中內容,讓人文學科人士有機會習得和他本人水準兩相輝映的學識──也就是能從基本層次掌握美妙出奇,威力出色的數學原理。──瓊安.格朗尼(Joanne Growney)布?斯堡大學名譽數學教授、詩人暨《我的舞步是數學》(My Dance is Mathematics)作者
本書廣泛參照歷史、詩歌和藝術領域且多所引喻。……讀者可以看出,書中課題如何從起點條理組織,進展到高妙理念。儘管裡面有數學題材,卻沒有假定或預期讀者必須先懂得哪些數學知識。整個來講,這就是把數學介紹給圈外人士的一條奇妙途徑。──弗雷德里克.哈特曼 (Frederick Hartmann)維拉諾瓦大學數學科學教授
專文推薦:如果數學也可以像詩篇
洪萬生教授
在本書中,作者使用了數學vs. 詩篇的類比,強調即使是人文社會科學主修的學生,也可以學好數學。
個比喻當然很有意義!譬如說吧,偉大的女數學家卡巴列夫斯基(Sofia Kovalevskaia)就曾經引述柏林學派大師外爾斯特拉斯(Karl Weierstrass)的見證:「要成為數學家,不可能不是心靈上的詩人。」她還進一步指出:「為了領悟這個定義的精確性,我們必須拋棄古代人那種認為『詩人總是無中生有,且發明與想像乃是同一回事』的偏見。對我來說,詩人只是感知了一般人所沒有感知到的東西,他們看的也比一般人深。其實數學家所做的不也是同樣的事?」因此,如果吾人可以分享詩人的感知世界,那麼,理解數學家的心智世界,不也是同樣做得到嗎?
換句話說,如果一般人可以被詩篇所感動,那麼,他們又何嘗無緣參與數學知識活動呢?當然,正如同詩歌之鑑賞能力需要適當訓練,對一般人而言,數學能力的養成,也必須要有紮實的功夫才行。這麼說來,哪些數學的學習可以幫助一般人文社會組的學生達到此一目的呢?本書作者認為基本的邏輯推理訓練、集合論、從自然數經整數、有理數、實數到複數的數系發展、數論、函數(含解析幾何)、機率論以及微積分等等,都是不可或缺的主題,這些材料已經在數學認識論與方法論兩方面,提供了充分的示範例證,足以培養數學思維的基本能力。另一方面,作者又高度重視數學知識的結構面向(structural aspects),譬如從自然數系到微積分的縱深統整(vertical integration)論述,就明確地演示數學的意義與價值不僅在於它的廣泛應用,而且也關乎它自身的真與美。
如此主張或許有一點高調,然而,若不此之圖,那麼,作者十分在乎的兩種文化(two cultures)之鴻溝恐怕就很難縮小。這是因為誠如作者所辯稱:「數學扮演兩種文化的區隔起因,卻也能轉變為一種癒合良方。」既然如此,在本書中,作者根據教學原理,從最基本的概念出發,恰當且有系統地呈現學習材料,相信讀者一定有機會領悟初等數學所展現的真與美之一體兩面。更重要地,作者還告訴我們:本書是為詩人而寫的。他的《數學的藝術》(The Art of Mathematics)曾告訴詩人,數學是連接兩種文化的橋樑,至於本書呢,則是指點過橋的走法。現在,我們就邀請所有的讀者,好整以暇,按部就班地走入本書作者所布置的真與美之數學世界。(本文作者為台灣師範大學數學系退休教授)
名人推薦:正如同詩歌之鑑賞能力需要適當訓練,對一般人而言,數學能力的養成,也必須要有紮實的功夫才行。……在本書中,作者根據教學原理,從最基本的概念出發,恰當且有系統地呈現學習材料,相信讀者一定有機會領悟初等數學所展現的真與美之一體兩面。──洪萬生 臺灣師範大學數學系退休教授
極具創造力的數學家們很少為非專業人士寫書,但是一旦寫了,就好得令人讚嘆,杰瑞.金也不例外。──馬丁.葛登能(Martin Gardner)《科學人》(Scientific American)雜誌「數學遊戲」專欄作家暨《跳出思路的陷阱》(Aha!Gotcha)作者
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章節試閱
緒論
這本書的目的是向更廣大的讀者群呈獻一部內含適量數學的讀物。我希望觸及兩群富有學養的專業人士:生平第一次真正想學數學的人,還有一度具有數學造詣,卻經歷這麼些年,眼睜睜看著知識流失的人。書中的論述會從容展現,不會帶來壓力,基本上都能完備自足。課題也都經過挑揀,以使讀者能領會數學家心目中的基本原理。我們從最基本的層級開始讀起。這裡幾乎完全沒有預設事先該懂哪些數學知識,只要讀者能夠點算物件就行。
我經常教大一新生微積分。於教學時使用一本旁人挑的,煤渣磚大小的教科書。那本書的重量超過兩公斤半,失手跌落還會砸傷你的腳。我上課時不帶那本書。走進教室時,往往只帶一支樸實的白色粉筆。然後我就邊講課,邊在黑板上書寫數學運算,連講五十分鐘,毋須筆記,也幾乎完全沒有片刻歇息。這不是什麼偉大壯舉,我和我的所有同仁,沒有一個把教科書記在心中。事實上,我們是學會了一些原理。由於這些原理,講課就像尼羅河水流向大海一般勢不可擋。
拿起我那本厚重的微積分教科書,隨便翻開一頁,指向頁面上一條複雜的公式。現在就去找個數學家,要他憑記憶講出那條公式。你大有可能發現他辦不到。不過你還能發現,給他一段合理的時間,他就能為你導出那條公式。這還只是初步作業:給那位數學家充裕的時間,他就能重新寫出那整本教科書。當然不是逐字重現,不過也夠接近了。(結果說不定還會寫出一本更棒的書。)
這裡該學得的功課是:那位數學家是由於根基扎得穩,才那麼通曉微積分。他穩健地吸收了那門學科的基本觀念,而倚仗這些根基,接下來在必要時他就能構思出其餘部分。事實上,他的數學全都是這樣學來的。
我們也該如此。本書就是朝著那個方向邁出的一步。這裡的論點是:研習數學的方法就是切實、妥善地學習數學的若干基本成分。一旦這點做到了,就可以著手研習數學的其他必學要項。
本書的課題和呈現方式,都是秉持這個論點來選定的。最首要的重點在於:紮實學會基本觀念,接著就可以把它當成跳板,用來學習更複雜的觀念。我很有把握,這就是數學家鑽研數學的做法。而我也很有把握,這是學習數學科的最輕鬆做法。事實上,這有可能是學數學的唯一途徑。
羅素悖論
世上存有這些精微奧義,特別該注意的是一類自相矛盾,號稱「悖論」的述句。讓我們快速地檢視三個例子。
有一則實至名歸的著名悖論,據稱是西元前六世紀的克里特哲學家埃庇米尼得斯(Epimenides)的作品,他說:「克里特島人永遠撒謊。」這則述句是真的嗎?若是真的,那麼既然埃庇米尼得斯是個克里特島人,他肯定是在撒謊。因此這則述句必然是假的。這樣一來,我們就擁有一則述句悖論實例,而且這有個特質:若述句為真,則該述句肯定為假。
另一個例子來自一段個人經歷。有一次,我女兒正在打包,為了大一生活做準備時,我走進她的臥房。
「妳要上大學了,我要給妳一個行前建議,」我說。
「我就知道你會有話想講,」她說。
「是有關教授的事,」我說。
「當然囉。」
我告訴她:「教授在課堂外告訴妳的事情,完全不要認真看待。」
她不耐煩地看著我。
「喔,爸爸,」她說。「你就是教授,而且我們現在也是在課堂外。」
就這點我無話可說。每次她正經八百叫我「爸爸」,就代表她覺得我講了特別愚蠢的事情。我有嗎?
第三個例子出自集合論。接近十九世紀尾聲之際,致力奠定數學邏輯根基的羅素想出一個集合,其本身就構成一項悖論。底下將描述那個集合,且命名為 R,以表彰羅素勳爵的功績,由於他確認了幾項相關的邏輯困境,如今大家統稱之為羅素悖論(Russell’s paradox)。羅素悖論有個通俗版本敘述如下:
在一個男子不蓄鬚的村子裡面住了一個理髮師。依照定義,「理髮師只幫不自己刮臉的男子刮臉」。那麼誰幫理髮師刮臉?倘若他幫自己刮臉,那麼他就是由理髮師來刮臉。因此他並不自己刮臉。話說回來,倘若他並不自己刮臉,那麼他肯定就是由理髮師幫忙刮臉。因此,理髮師幫自己刮臉,若且唯若他不自己刮臉。
有種做法可以用來處理羅素悖論,那就是硬拗,表示世上沒有非常集合。當我們說「集合」一詞,意思就是指一群物件的聚集體。不過同時我們還表明,這是指不含本身為其一元素的聚集體。就任意集合S,S∈S始終為假。也就是說,S ∉ S始終為真。(請記得,S⊂S始終為真。集合始終都為本身的子集。)
緒論
這本書的目的是向更廣大的讀者群呈獻一部內含適量數學的讀物。我希望觸及兩群富有學養的專業人士:生平第一次真正想學數學的人,還有一度具有數學造詣,卻經歷這麼些年,眼睜睜看著知識流失的人。書中的論述會從容展現,不會帶來壓力,基本上都能完備自足。課題也都經過挑揀,以使讀者能領會數學家心目中的基本原理。我們從最基本的層級開始讀起。這裡幾乎完全沒有預設事先該懂哪些數學知識,只要讀者能夠點算物件就行。
我經常教大一新生微積分。於教學時使用一本旁人挑的,煤渣磚大小的教科書。那本書的重量超過兩公斤半,失...
目錄
專文推薦 如果數學也可以像詩篇 洪萬生教授
如何閱讀本書
緒論
第一章 真與美
第二章 一、二、三到無窮大
第三章 比計數更高明
第四章 數論
第五章 實數和虛數
第六章 數字工具機
第七章 機率
第八章 微積分
第九章 模式和悖論
第十章 總結
致謝
註釋
符號淺釋
索引
專文推薦 如果數學也可以像詩篇 洪萬生教授
如何閱讀本書
緒論
第一章 真與美
第二章 一、二、三到無窮大
第三章 比計數更高明
第四章 數論
第五章 實數和虛數
第六章 數字工具機
第七章 機率
第八章 微積分
第九章 模式和悖論
第十章 總結
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